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三角函数公式总表(完美版)_图文

三角函数公式总表
一、角的概念的拓展 1.与 ? 终边相同的角的集合: ?? | ? ? ? ? 2k? , k ? Z? 二、弧度制
1.长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,在弧度制下,1 弧度记作 1rad(rad 可以省略) . 弧度制下的弧长公式: ? ? l ,即 l ? ? r .
r

? 1 1 l 2 1 ? r2 ? ? r2 ? r ? lr. | ? |? 2? . 2? 2 2 r 2 1 ㈠将角度化为弧度: 360 ? 2? rad ; 180 ? ? rad ; 1 ? ? rad ? 0.01745 rad 180
扇形面积公式: S ? ㈡将弧度化为角度: 2? rad ? 360 ; ? rad ? 180 ; 1 rad ?

180

?

? 57.3

三、三角函数的定义
y x y x r r 1. sin ? ? 、 cos ? ? 、 tan ? ? 、 cot ? ? 、 sec ? ? 、 csc ? ? r r x y x y
2.三角函数线:角 α 与单位圆的交点 P(x,y) 过 P 点向 x 轴引垂线,垂足叫 M,过 A 点向 x 轴 引垂线,交角的终边或反向延长线与点 T,则 x x y y sin ? ? ? ? y ? MP , cos ? ? ? ? x ? OM , r 1 r 1

y

y
P A
(2)T

T
A

P
M

o
y

x
(1)

o
y

M

x

T

y MP AT ? ? ? AT . x OM OA 有向线段 MP,OM,AT 分别称为正弦线,余弦线,正切线. 3. 三角函数符号:一正二正弦,三切四余弦. tan ? ?

M

o

A

x

o

MA

x

P

(3) (4)

P T

四、同角三角函数基本关系式

六边形记忆法图形结构“上弦中切下割左正右余中间 1”
1

1.记忆方法“对角线上两个函数的积为 1 2.阴影三角形上两顶点的三角函数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平方 3.任意一顶点的三角函数值等于相邻两个顶点的三角函数值的乘积 四、诱导公式 公式组一 ( k ? Z ): sin(2k? ? x) ? sin x, 公式组二: sin(? x) ? ? sin x
cos(2k? ? x) ? cos x; tan(2k? ? x) ? tan x

tan(? x) ? ? tan x, cos(? x) ? cos x

公式组三: sin(? ? x) ? ? sin x, cos(? ? x) ? ? cos x, tan(? ? x) ? tan x 公式组四: sin(? ? x) ? sin x, tan(? ? x) ? ? tan x,cos(? ? x) ? ? cos x 公式组五: sin(2? ? x) ? ? sin x, cos(2? ? x) ? cos x, tan(2? ? x) ? ? tan x
?? ? ?? ? ?? ? 公式组六: sin ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? , tan ? ? ? ? ? cot ? ?2 ? ?2 ? ?2 ? ?? ? ?? ? ?? ? 公式组七: sin ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? , tan ? ? ? ? ? ? cot ? ?2 ? ?2 ? ?2 ? ? 3? ? ? 3? ? ? 3? ? 公式组八: sin ? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? ? sin ? , tan ? ? ? ? ? cot ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ? 3? ? ? 3? ? ? 3? ? 公式组九: sin ? ? ? ? ? ? cos ? , cos ? ? ? ? ? sin ? , tan ? ? ? ? ? ? cot ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?

记忆法则:奇变偶不变,符号看象限
?? (k ? Z)的三角函数值 2 1)当k 为偶数时,等于?的同名三角函数值,前面加上 k? 2)当k 为奇数时,等于?的异名三角函数值,前面加上

?

一个把? 看作锐角时原三角函数值的符号; 一个把? 看作锐角时原三角函数值的符号;

四、两角和与差公式
cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? cos( ? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin? sin ? sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ? sin( ? ? ? ) ? sin? cos ? ? cos? sin ?

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

五、二倍角公式
sin 2? ? 2 sin ? cos ?

cos 2? ? cos2 ? ? sin2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin2 ?

tan 2? ?

2 tan? 1 ? tan2 ?

常用数据:

30 、 45 、 60 、 90 的三角函数值

2

sin15 ? cos 75 ?

6? 4

2

, sin 75?

? cos15? ?

6? 4

2

tan15? ? cot 75? ? 2 ? 3

? ? , tan75 ? cot15 ? 2 ? 3

注: ⑴以上公式务必要知道其推导思路,从而清晰地“看出”它们之间的联系,它们的变化 形式.如 tan(? ? ? )(1 ? tan ? tan ? ) ? tan ? ? tan ?
1 ? cos ? ? 1 ? cos ? ,sin 2 ? 等. 2 2 2 2 从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式. ⑵三角变换公式除用来化简三角函数式外,还为研究三角函数图象及性质做准备. ⑶三角函数恒等变形的基本策略。 ①常值代换:特别是用“1”的代换,如 1=cos2θ +sin2θ =tanx·cotx=tan45°等。 ②项的分拆与角的配凑。如分拆项: sin2 x ? 2cos2 x ? (sin2 x ? cos2 x) ? cos2 x ? 1? cos2 x ; 配凑角(常用角变换): 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) 、 2? ? (? ? ? ) ? (? ? ? ) 、 ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ?? ? ? 、? ? 、 ? ? (? ? ? ) ? ? 等. 2 2 2 2 ③降次与升次。即倍角公式降次与半角公式升次。 ④化弦(切)法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切) 。 cos 2 ?

?

⑤引入辅助角。asinθ +bcosθ = a 2 ? b 2 sin(θ + ? ),这里辅助角 ? 所在象限由 a、b 的符号确 b 定, ? 角的值由 tan ? = 确定。 a ? 六、半角公式: (符号的选择由 所在的象限确定) 2

① sin ? ?
2

?

1 ? cos? 2
1 ? cos ? 2

② sin 2

?
2

?

1 ? cos ? 2

③ cos ? ?
2

?

1 ? cos? 2

④ cos 2

?
2

?

⑤ 1 ? cos ? ? 2 sin 2
? ? ?

?
2

⑥ 1 ? cos ? ? 2 cos 2

?
2

⑦ 1 ? sin ? ? (cos ? sin ) 2 ? cos ? sin
2 2 2

?
2

⑧ tan ? ?
2

?

1 ? cos ? sin ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? sin ?

七、积化和差公式: 1 1 sin ? cos ? ? ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? cos ? sin ? ? ?sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )? 2 2 1 1 cos ? cos ? ? ?cos( ? ? ? ) ? cos( ? ? ? )? sin ? sin ? ? ? ?cos( ? ? ? ) ? cos ?? ? ? ?? 2 2 八、和差化积公式: ??? ??? ??? ??? cos sin ① sin ? ? sin ? ? 2 sin ② sin ? ? sin ? ? 2 cos 2 2 2 2 ??? ??? ??? ??? cos sin ③ cos ? ? cos ? ? 2 cos ④ cos ? ? cos ? ? ?2 sin 2 2 2 2
3

九、特殊角三角函数弧度数及三角函数值
角度 弧度 0° 0 0 1 0 210° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180°

?
6
1 2
3 2
3 3

?
4
2 2
2 2
1 240°

?
3
3 2

?
2
1 0 ∕ 300°

2? 3
3 2

3? 4
2 2
? 2 2

5? 6

?
0 -1 0

sin cos tan 角度 弧度

1 2
?
?

1 2

?

1 2

3 2
3 3

3
270°

? 3
315°

-1 330°

225°

360°

7? 6
?
?

5? 4
? ? 2 2 2 2
1

4? 3
? 3 2

3? 2
-1 0 ∕

5? 3
? 3 2 ?

7? 4
2 2 2 2
-1

11? 6
? 1 2

2?
0 1 0

sin cos tan

1 2
3 2

?

1 2

1 2
? 3

3 2
? 3 3

3 3

3

4