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2013高考数学(理)一轮复习课件:12-3


第3讲 几何概型

【2013年高考会这样考】 以选择题或填空题的形式考查与长度或面积有关的几何概型的 求法是高考对本内容的热点考法,特别是与平面几何、函数等 结合的几何概型是高考的重点内容.新课标高考对几何概型的 要求较低,因此高考试卷中此类试题以低、中档题为主. 【复习指导】 本讲复习时,准确理解几何概型的意义、构造出度量区域是用 几何概型求随机事件概率的关键,复习时要多反思和多领悟, 掌握方法要领.同时要加强与平面区域、空间几何体、平面向 量、函数结合等方面的训练.

基础梳理 1.几何概型 事件 A 理解为区域 Ω 的某一子区域 A,A 的概率只与子区域 A 的几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与 A 的位置和形状 无关.满足以上条件的试验称为几何概型.

2.几何概型中,事件 A 的概率计算公式

P(A)=

3.要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个; (2)等可能性:每个结果的发生具有 等可能性 .

一条规律 对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识,它只 与大小有关,而与形状和位置无关,在解题时,要掌握“测 度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方 法.

两种类型 (1)线型几何概型:当基本事件只受一个连续的变量控制时. (2)面型几何概型:当基本事件受两个连续的变量控制时,一 般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样基本 事件就构成了平面上的一个区域,即可借助平面区域解决.

双基自测 1.(人教A版教材习题改编)在线段[0,3]上任投一点,则此点坐 标小于1的概率为( 1 A.2 解析 答案 1 1 B.3 C.4 D.1 ).

1 点坐标小于1的区间长度为1,故所求其概率为3. B

2.一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5 秒,绿灯的时间为40秒,当某人到达路口时看见的是红灯的概 率是( 1 A.5 解析 答案 ). 2 3 B.5 C.5 4 D.5

30 2 以时间的长短进行度量,故P= = . 75 5 B

3.(2012· 衡阳模拟)有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上 面扔一颗玻璃小球,若小球落在阴影部分,则可中奖,小明要 想增加中奖机会,应选择的游戏盘是( ).

3 2 2 1 解析 P(A)=8,P(B)=8,P(C)=6,P(D)=3, ∴P(A)>P(C)=P(D)>P(B). 答案 A

4.某人随机地在如图所示正三角形及其外 接圆区域内部投针(不包括三角形边界及圆 的边界),则针扎到阴影区域(不包括边界) 的概率为( π A.3 3 C. 4 ). 3 3 B. 4π D.以上全错

3 2 3 解析 设正三角形边长为a,则外接圆半径r= 2 a×3= 3 a, 3 2 a 4 3 3 ∴所求概率P= ? = . 3 ?2 4π π? a ? ? 3 ? ? ? 答案 B

5.在区间[-1,2]上随机取一个数x,则x∈[0,1]的概率为 ________. 解析 如图,这是一个长度型的几何概型题,所求概率P=

|CD| 1 = . |AB| 3 答案 1 3

考向一 与长度有关的几何概型 【例1】?点A为周长等于3的圆周上的一个定点.若在该圆周 上随机取一点B,则劣弧 [审题视点] 用劣弧 的长度小于1的概率为________.

的长度与圆周长的比值.

解析 如右图,设A、M、N为圆周的三等分点,当B点取在优 弧 上时,对劣弧 2 答案 3 2 来说,其长度小于1,故其概率为3.

将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一 点,该区域中每一点被取到的机会都一样,而一个随机事件的 发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点,这 样的概率模型就可以用几何概型来求解.

【训练1】 一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形的边上爬 行,某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概 率为________. 解析 如图,该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的

6 1 长度为:1+2+3=6,故所求概率为P= = . 12 2 答案 1 2

考向二 与面积有关的几何概型 【例2】?(2012· 华东师大附中模拟)设有关于x的一元二次方程 x2+2ax+b2=0. (1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中 任取的一个数,求上述方程有实根的概率; (2)若a是从区间[0,3]任取的一个数,b是从区间[0,2]任取的一个 数,求上述方程有实根的概率. [审题视点] (1)为古典概型,利用列举法求概率. (2)建立ab平面直角坐标系,将问题转化为与面积有关的几何 概型.

解 设事件A为“方程x2+2ax+b2=0有实根”. 当a≥0,b≥0时,方程x2+2ax+b2=0有实根的充要条件为 a≥b. (1)基本事件共有12个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1), (1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2).其中第一个数 表示a的取值,第二个数表示b的取值.事件A中包含9个基本 9 3 事件,事件A发生的概率为P(A)=12=4.

(2)试验的全部结果所构成的区域为{(a, b)|0≤a≤3,0≤b≤2},构成事件A的区域为{(a, b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b},所以所求的概率为P(A)= 1 3×2- ×22 2 2 =3. 3×2

数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法.用 图解题的关键:用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区 域,由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式,在图形中 画出事件A发生的区域,利用公式可求.

【训练2】 (2011· 福建)如图,矩形ABCD中, 点E为边CD的中点.若在矩形ABCD内部随 机取一个点Q,则点Q取自△ABE内部的概 率等于( ).

1 1 1 2 A.4 B.3 C.2 D.3 解析 1 S△ABE=2|AB|· |AD|,S矩形ABCD=|AB||AD|.

S△ABE 1 故所求概率P= =2. S矩形ABCD 答案 C

考向三 与角度、体积有关的几何概型 【例3】?在Rt△ABC中,∠A=30° ,过直角顶点C作射线CM交 线段AB于M,求使|AM|>|AC|的概率. [审题视点] 如图所示,因为过一点作射线是均匀的,因而应

把在∠ACB内作射线CM看做是等可能的,基本事件是射线CM 落在∠ACB内任一处,使|AM|>|AC|的概率只与∠BCC′的大 小有关,这符合几何概型的条件.



设事件D为“作射线CM,使|AM|>|AC|”.在AB上取点

C′使|AC′|=|AC|,因为△ACC′是等腰三角形,所以∠ 180° -30° ACC′= =75° , 2 μA=90-75=15,μΩ=90, 15 1 所以P(D)=90=6.

几何概型的关键是选择“测度”,如本例以角度为“测 度”.因为射线CM落在∠ACB内的任意位置是等可能的.若 以长度为“测度”,就是错误的,因为M在AB上的落点不是等 可能的.

【训练 3】

(2011· 沙 模 拟 ) 在 棱 长 为 2 的 正 方 体 长

ABCD-A1B1C1D1 中,点 O 为底面 ABCD 的中心,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 内随机取一点 P,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为________. 解析 点 P 到点 O 的距离大于 1 的点位于以 O 为球心,以 1 为半径的半球外. 记点 P 到点 O 的距离大于 1 为事件 A, P(A) 则 1 4π 2 - × ×13 2 3 π = =1-12. 23
3

π 答案 1-12

规范解答21——如何解决概率与函数的综合问题 【问题研究】 所谓概率,就是某种事件发生的可能性的大 小,而“事件”可以是日常生活中常见的例子,也可以是有关 的数学问题,如以函数的基本性质?定义域、值域、单调性、 奇偶性、周期性?为背景,设置概型,提出问题,考查考生综 合分析问题、解决问题的能力. 【解决方案】 首先认真阅读题目,把其中的有用信息向我们 熟悉的知识方面转化,实现知识的迁移,然后再利用概率的知 识去解决.

【示例】? (本题满分12分)(2011· 潍坊模拟)已知关于x的二次函 数f(x)=ax2-4bx+1. (1)设集合P={1,2,3}和Q={-1,1,2,3,4},分别从集合P和Q中 随机取一个数作为a和b,求函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增 函数的概率; ?x+y-8≤0, ? (2)设点(a,b)是区域?x>0, ?y>0 ?

内的一点,

求函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是增函数的概率.

本题以“二次函数的单调性”为背景,首先写出事件发生所 满足的条件,在第(1)问中,给出了有限个数据,从而判断是 古典概型问题,利用列举法写出事件发生的总数以及满足条件 的事件发生的个数,再利用公式求之;第(2)问中,a和b有无 限个数据,所以是几何概型问题,首先计算事件发生的总数与 满足条件的事件发生的个数的测度,再利用公式求之.

[解答示范] (1)∵函数f(x)=ax2-4bx+1的图象的对称轴为直线 2b x= ,要使f(x)=ax2-4bx+1在区间[1,+∞)上为增函数, a 2b 当且仅当a>0且 ≤1,即2b≤a.(2分) a 若a=1,则b=-1;若a=2,则b=-1或1;若a=3,则b=- 1或1. ∴事件包含基本事件的个数是1+2+2=5.(5分) 5 1 ∴所求事件的概率为15=3.(6分)

(2)由(1),知当且仅当2b≤a且a>0时, 函数f(x)=ax2-4bx+1在区间[1,+∞)上为增函数, 依条件可知事件的全部结果所构成的区域为

? ??a+b-8≤0, ? ?? ? ??a,b???a>0, ? ??b>0 ?? ? ? 部分.(8分)

? ? ? ? ,构成所求事件的区域为三角形 ? ? ?

?a+b-8=0, ? ?16 8? z由? 得交点坐标为? 3 ,3?,(10分) a ? ? ?b=2, ? 1 8 2 ×8×3 1 ∴所求事件的概率为P= = .(12分) 1 3 ×8×8 2

本题中先将f(x)在[1,+∞)上为增函数转化为满足条件2b≤a 且a>0,然后再联系已知条件,将问题转化为几何概型,实现 了知识的逐步迁移,这种转化迁移的思想值得考生注意,另 外,对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),在某一区间[m,+ ∞)上单调递增的充要条件是 ?a>0, ? ? b 切勿漏掉a>0. ?-2a≤m, ?

【试一试】 已知关于x的一元二次方程x2-2(a-2)x-b2+16 =0. (1)若a,b是一枚骰子掷两次所得到的点数,求方程有两正根 的概率; (2)若a∈[2,6],b∈[0,4],求方程没有实根的概率.

[尝试解答]

(1)基本事件(a,b)共有36个,方程有正根等价于a

-2>0,16-b2>0,Δ≥0, 即a>2,-4<b<4,(a-2)2+b2≥16. 设“方程有两个正根”为事件A,则事件A包含的基本事件为 (6,1),(6,2),(6,3),(5,3),共4个, 4 1 故所求的概率为P(A)= = . 36 9

(2)试验的全部结果构成区域Ω={(a,b)|2≤a≤6,0≤b≤4}, 其面积为S(Ω)=16, 设“方程无实根”为事件B,则构成事件B的区域为 B={(a,b)|2≤a≤6,0≤b≤4,(a-2)2+b2<16}, 1 其面积为S(B)= ×π×42=4π, 4 4π π 故所求的概率为P(B)= = . 16 4

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