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【2014-2015学年高中数学(北师大版,必修4)课时作业2.3.2第二章 平面向量


3 .2

平面向量基本定理

课时目标 1.了解基底的概念及基底的两个主要特征.2.理解并应用平面向量基本定 理解决有关问题.

1.平面向量基本定理 (1)定理: 如果 e1 , e2 是同一平面内的两个__________向量, 那么对于这一平面内的________ 向量 a,________________实数 λ1 ,λ2 ,使 a=____________. (2)基底:把__________的向量 e1 ,e2 叫做表示这一平面内________向量的一组基底. 2.对基底的理解 (1)基底的两个主要特征 ①基底是两个__________的向量;②基底的选择是________的. (2)零向量与任意向量________,故不能作为基底. 3.一个有用的结论 设 e1 ,e2 是平面内一组基底,当 λ1 e1 +λ2 e2 =____时,恒有__________.

一、选择题 1.若 e1 ,e2 是平面内的一组基底,则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( ) 1 A.e1 -e2 ,e2 -e1 B.2e1 +e2 ,e1 + e2 2 C.2e2 -3e1,6e1 -4e2 D.e1 +e2 ,e1 -e2 2.下面三种说法中,正确的是( ) ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底;②一个平面内有 无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可作为基底中的向量. A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ → → → → → 3.若OP 1=a,OP 2=b,P 1 P=λPP 2(λ≠-1),则OP 等于( ) A.a+λb B.λa+(1-λ)b 1 λ C.λa+b D. a+ b 1+λ 1+λ 4.如果 e1 、e2 是平面 α 内两个不共线的向量,那么在下列各命题中不正确的有( ) ①λe1 +μe2 (λ、μ∈R)可以表示平面 α 内的所有向量; ②对于平面 α 中的任一向量 a,使 a=λe1 +μe2 的实数 λ、μ 有无数多对; ③若向量 λ1 e1 +μ1 e2 与 λ2 e1 +μ2 e2 共线, 则有且只有一个实数 λ, 使 λ1 e1 +μ1 e2 =λ(λ2 e1 +μ2 e2); ④若实数 λ、μ 使 λe1 +μe2 =0,则 λ=μ=0. A.①② B.②③ C.③④ D.② → → → 5.设 P 是△ABC 所在平面内的一点,BC+BA=2BP,则( ) → → → → A. PA+PB=0 B. PB+PC=0 → → → → → C.PC+PA=0 D.PA+PB+PC=0 6.如图,

AF 1 在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,F 是 AD 上的一点,且 = ,连结 CF 并延长交 FD 5 AE AB 于 E ,则 等于( ) EB 1 1 1 1 A. B. C. D. 12 3 5 10 二、填空题 7.设向量 m =2a-3b,n=4a-2b,p=3a+2b,试用 m ,n 表示 p,p=________. 8.设 e1 、e2 是不共线的两个向量,给出下列四组向量:①e1 与 e1 +e2 ;②e1 -2e2 与 e2- 2e1 ;③e1 -2e2 与 4e2 -2e1 .其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是________.(写出 所有满足条件的序号) → → → → → 9.在△ABC 中,AB=c,AC=b.若点 D 满足BD=2DC,则AD=____________. → → → 10. 如图, 在平行四边形 ABCD 中, E 和 F 分别是边 CD 和 BC 的中点, 若AC=λAE+μAF, 其中 λ、μ∈R,则 λ+μ=________.

三、解答题 → → 11.如图,已知△ABC 中,D 为 BC 的中点,E ,F 为 BC 的三等分点,若AB=a,AC=b, → → → 用 a,b 表示AD,AE,AF.

→ → 12.如图所示,已知△AOB 中,点 C 是以 A 为中点的点 B 的对称点,OD=2DB ,DC 和 → → OA 交于点 E ,设OA =a,OB =b. → → (1)用 a 和 b 表示向量OC、DC; → → (2)若OE =λOA ,求实数 λ 的值.

能力提升 13.如图所示,OM∥AB ,点 P 在由射线 OM、线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区域 1 → → → 内(不含边界)运动,且OP =xOA +yOB ,则 x 的取值范围是________;当 x=- 时,y 的取值 2 范围是____________.

14.如图所示,在△ABC 中,点 M 是 BC 的中点,点 N 在边 AC 上,且 AN=2 NC,AM 与 BN 相交于点 P ,求证:AP ∶PM=4∶1.

1.对基底的理解 (1)基底的特征 基底具备两个主要特征:①基底是两个不共线向量;②基底的选择是不唯一的.平面内 两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件. (2)零向量与任意向量共线,故不能作为基底. 2.准确理解平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理的实质是向量的分解,即平面内任一向量都可以沿两个不共线的方 向分解成两个向量和的形式,且分解是唯一的. (2)平面向量基本定理体现了转化与化归的数学思想,用向量解决几何问题时,我们可以 选择适当的基底,将问题中涉及的向量向基底化归,使问题得以解决.

3. 2

平面向量基本定理 答案

知识梳理 1.(1)不共线 任一 存在唯一一对 λ1 e1 +λ2 e2 (2)不共线 所有 2.(1)①不共线 ② 不唯一 (2)共线 3.0 λ1 =λ2 =0 作业设计 1.D 2.B → → → → → → 3.D [∵P 1 P=λPP 2,∴OP -OP 1=λ(OP 2-OP ), → → → ∴(1+λ)OP =OP 1+λOP 2, 1 → λ → 1 λ → ∴OP = OP 1+ OP 2= a+ b.] 1+λ 1+λ 1+λ 1+λ 4.B [由平面向量基本定理可知,①④是正确的.对于②,由平面向量基本定理可知, 一旦一个平面的基底确定,那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于③,当两 向量的系数均为零,即 λ1 =λ2 =μ1 =μ2 =0 时,这样的 λ 有无数个,故选 B.] → → → → → 5.C [因为BC+BA=2BP,所以点 P 为线段 AC 的中点,即PC+PA=0 如图.]

AE → → 6.D [设AB=a,AC=b, =λ. EB AF 1 → → → ∵ = ,∴CF =CA +AF FD 5 → 1→ 1 → → → =CA + AD= (AB+AC)-AC 6 12 1 → 11 → 1 11 = AB- AC= a- b. 12 12 12 12 → → → CE =CA +AE λ → → =CA + AB 1+λ λ → → = AB-AC 1+λ λ = a-b. 1+λ → → ∵CF ∥CE , λ 1+λ 1 1 ∴ = .∴λ= .] 1 11 10 12 12 7 13 7.- m + n 4 8 解析 设 p=xm +yn,则 3a+2b=x(2a-3b)+y(4a-2b)=(2x+4y)a+(-3x-2y)b, 7 x=- ?2x+4y=3 4 ? 得? ? . ? 13 ? -3x-2y=2 y= 8

? ? ?

8.①②

解析 对于③4e2 -2e1 =-2e1 +4e2 =-2(e1 -2e2 ), ∴e1 -2e2 与 4e2 -2e1 共线,不能作为基底. 2 1 9. b+ c 3 3 → → → → 2→ 解析 AD=AB+BD=AB+ BC 3 → 2 → → =AB+ (AC-AB) 3 1→ 2 → 2 1 = AB+ AC= b+ c. 3 3 3 3 4 10. 3 → → 解析 设AB=a,AD=b, → 1 则AE= a+b, 2 1 → AF=a+ b, 2 → 又∵AC=a+b, 2 4 → 2 → → ∴AC= (AE+AF),即 λ=μ= ,∴λ+μ= . 3 3 3 → → → 11.解 AD=AB+BD → 1→ =AB+ BC 2 1 1 1 =a+ (b-a)= a+ b; 2 2 2 1 → → → → 1→ AE=AB+BE=AB+ BC=a+ (b-a) 3 3 2 1 = a+ b; 3 3 2 → → → → 2→ AF=AB+BF=AB+ BC=a+ (b-a) 3 3 1 2 = a+ b. 3 3 → 2→ 12.解 (1)由题意,A 是 BC 的中点,且OD= OB , 3 → → → 由平行四边形法则,OB +OC=2OA . → → → ∴OC=2OA -OB =2a-b, 2 5 → → → DC=OC-OD=(2a-b)- b=2a- b. 3 3 → → → → → (2)EC∥DC.又∵EC=OC-OE =(2a-b)-λa 5 → =(2-λ)a-b,DC=2a- b, 3 2-λ 1 4 ∴ = ,∴λ= . 2 5 5 3 1 3? 13.(-∞,0) ? ?2,2? 解析 由题意得: → → → OP =a· OM+b· OB (a,b∈R+ ,0<b<1) → → =a· λAB+b· OB

→ → → =aλ(OB -OA )+b· OB → → =-aλ· OA +(aλ+b)· OB (λ>0). 由-aλ<0,得 x∈(-∞,0). → → → 又由OP =xOA +yOB ,则有 0<x+y<1, 1 1 1 3? 当 x=- 时,有 0<- +y<1,解得 y∈? , . ? 2 2 2 2? → → 14.解 设AB=b,AC=c, 1 → 1 → 2→ 2 则AM= b+ c,AN= AC= c, 2 2 3 3 → → → 2 BN=BA+AN= c-b. 3 → → → → ∵AP∥AM,BP∥BN, → → → → ∴存在 λ,μ∈R,使得AP=λAM,BP=μBN, → → → 又∵AP+PB=AB, → → → ∴λAM-μBN=AB, 1 1 ? ?2 ? 由 λ? ?2b+2c?-μ?3c-b?=b 得 ?1λ+μ?b+?1λ-2μ?c=b. ?2 ? ?2 3 ? 又∵b 与 c 不共线, 1 4 λ+μ=1, λ= , 2 5 ∴ 解得 1 2 3 λ- μ=0. μ= . 2 3 5 4 → → 故AP= AM,即 AP ∶PM=4∶1. 5

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