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几何证明


立体几何知识点及解题技巧
一、常用结论:
1. 证明直线与直线的平行的思考途径: (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同第三条直线平行; (3)转化为线 面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行。 2. 证明直线与平面平行的思考途径: (1)转化为直线与平面无交点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行。 3. 证明面面平行的思考途径: (1)转化为判定两平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直。 4. 证明直线与直线垂直的思考途径: (1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转 化为线与形成射影的斜线垂直。 5. 证明直线与平面垂直的思考途径: (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; ( 2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5) 转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直。 6. 正面平面与平面垂直的思考途径: (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直。

二、平面的基本性质:
1. 公理一:如果一条直线上有两点在一个平面内,那么直线在平面内。 2. 公理二:不共线的三点确定一个平面。 3. 推论一:直线与直线外一点确定一个平面。 4. 推论二:两条相交直线确定一个平面。 5. 推论三:两条平行直线确定一个平面。 6. 公理三:如果两个平面有一个公共点,那么它们还有公共点,这些公共点的集合是一条 直线(两个平面的相交线)

三、空间图形的位置关系:
1. 空间直线的位置关系: (平行、相交、异面) (1)平行线的传递公理:平行于同一直线的两条直线相互平行。 (2)等角定理:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个叫相等或互补。 (3)异面直线判定定理:连平面内的一点与平面外的直线与这个平面内不过此店的直线为 异面直线。 (成角范围:0°- 90°) 2. 直线与平面位置关系: (平行、相交、线在面内) 3. 平面与平面的位置关系: (平行、相交[斜交、垂直])

四、平行关系证明: (线面平行、面面平行)
1. 线面平行: (1)定义:直线与平面没有公共点

a // b ? ? (2)判定定理: a ? ? ? ? a // ? (线线平行 ? 线面平行) b ??? ?

? ? (3)性质定理: a ? ? ? ? a // b(线面平行 ? 线线平行) ? ? ? ? b? ?
(4)证明方法: ①定义法:直线与平面没有公共点→线面平行(判断) ②判定法: 线线平行→线面平行(证明) ③性质法:面面平行→线面平行(证明) ④其它:垂直于同一条直线的直线和平面平行(判断) 2. 面面平行: (1)定义:空间内两个平面没有公共点 (2)判定定理 1:如果一个平面内的两条直线都平行于另一个平面,则两平面互相平行 推论:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一平面的两条直线,则两平面互 相平行 (3)判定定理 2:垂直于同一条直线的两平面互相平行

a // ?

(4)性质定理:①

? // ? ? ? ? a // ? (面面平行? 线面平行) a ???

? // ? ? ? ② ? ? ? ? a ? ? a // b(面面平行 ? 线线平行) ? ? ? ? b? ?
③夹在两个平行平面间的平行线段相等

五、垂直关系(线面垂直、面面垂直)
1. 线面垂直: (1)定义:一条直线垂直于平面内的任意一条直线,则此直线垂直于平面

a, b ? ? ? a ? b ? O? ? ? l ? ? ? ? l ? ? (线线垂直 ? 线面垂直) l?a ? ? l ?b ? ? (2)判定定理:
(3)性质定理:①直线垂直于平面,则直线垂直于平面内任意一条直线 ②垂直于同一平面的两条直线平行

(4)判定、证明方法: ①定义法: (判断) ②判定定理(证明) ③一条直线垂直于平面而平行于另一条直线,则另一条直线也垂直于平面 ④一条直线垂直于两平行平面中的一个,则直线也垂直于另一个平面 ⑤若两平面垂直,在意平面内有一条直线垂直一两平面的交线,则该直线垂直于另一平面 2. 面面垂直: (1)定义:若两平面的夹角成 90°,则两平面互相垂直 (2)判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直 (3)性质定理:①两平面垂直,则这两个平面的二面角的平面角为 90°

? ?? ? a ? ? ? AB? ? ? ? a ? ? (面面垂直 ? 线面垂直) a ?? ?
a ? AB ? ?

? ? ?? A ?? ? ?

?? a ?? A? a ? a??? ?

? ? ?? ? ? a ? ?或a // ? a???


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