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江西省临川区2013—2014学年度高三年级第二次模拟考试数学试题(理)

江西省临川区 2013—2014 学年度高三年级第二次模拟考试 数学试题(理科)
本试卷分为试题卷和答题卷两部分.全卷共 150 分,考试时间为 120 分钟. 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填在答题卷相应的位置 ) ........ 1.已知 i 是虚数单位,且 ( x ? i)(1 ? i) ? y ,则实数 x, y 分别为 A.x=-1,y=1 C.x=1,y=1 B.x=-1,y=2 D.x=-1,y=-2
y 1 y =x 3

2.若数列 ?a n ?满足 a1 ? 2, an?1an ? an ? 1,则 a2013 的值为 A. ?1 B.

1 2

C. 2

D. 3

-1

x O 1

3.如图,设 D 是图中边长为 2 的正方形区域, E 是函数 y ? x3 的 图象与 x 轴及 x ? ?1 围成的阴影区域.向 D 中随机投一点,则 该点落入 E 中的概率为 1 1 1 1 A. B. C. D. 4 16 8 2

-1

第 3 题图

4.一个几何体的三视图如图所示,已知这个几何体的体积为 10 3 ,则 h 的值为

A.

3 2

B. 3 D. 5 3

C. 3 3

5.若下边的程序框图输出的 S 是 126,则条件①可为 A.n≤5 B.n≤6 C.n≤7 D.n≤8 6.若 3 sin ? ? sin( A.

7 8

3? 1 ? ? ? ) ? ,则 sin( ? 2? ) 的值为 2 2 6 1 1 3 B. C. D. 8 4 4

7.有以下命题: ①命题“ ?x ? R, x ? x ? 2 ? 0 ”的否定是: “ ?x ? R, x ? x ? 2 ? 0 ” ;
2 2 2 ②已知随机变量 ? 服从正态分布 N (1, ? ) , P(? ? 4) ? 0.79, 则 P(? ? ?2) ? 0.21 ;

第 1 页 共 9 页

x ③函数 f ( x ) ? x 3 ? ( ) 的零点在区间 ( , ) 内.

1

1 2

1 1 3 2

其中正确的命题的个数为 A.3 个 B.2 个 8.如图, F1 , F2 是双曲线 C :

C.1 个

D.0 个

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的 a 2 b2 左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交
于 A, B 两点.若 ?ABF2 为等边三角形,则双曲线的 离心率为 A.

6 2

B. 3

C.

5 ?1 2

D. 7

9.已 知 不 同 的 三 点 A 、B 、C 满 足 AB ? ? BC ( ? ? R , ? ? 0 ) ,使 得 关 于 x 的 方 程 ,则此方程在实数范围内的解集为 x 2 OA ? xOB ? OC ? 0 有解(点 O 不在直线 AB 上) A. ? B.{一 1,0} C.{-1} D. ?

? ?1 ? 5 ?1 ? 5 ? ? ? , ? 2 ? ? 2 ? ?

10.若集合 A 具有以下性质:① 0 ? A , 1 ? A ;②若 x, y ? A ,则 x ? y ? A ,且 x ? 0 时,

1 ? A .则称集合 A 是“好集”.以下有 5 个命题: x (1)集合 B ? ??1,0,1? 是好集; (2)有理数集 Q 是“好集”; (3)设集合 A 是“好集”,若 x, y ? A ,则 x ? y ? A ; (4)设集合 A 是“好集”,若 x, y ? A ,则必有 xy ? A ;
(5)对任意的一个“好集 A ,若 x, y ? A ,且 x ? 0 ,则必有 则上述命题正确的个数为 A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个

y ?A. x

D. 5 个

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 把答案 填 在 答题卷中的横线上 ) ... . . ........ 11.已知 f ( x) ? a tan x ? b sin x ? 4 (其中以 a、 b 为常数且 ab ? 0 ) ,如果 f (3) ? 5 ,则

f (2012? ? 3) 的值为
12.已知椭圆

.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0), P( x, y ), Q( x?, y?) 是椭圆上两点,有下列三个不等式 a 2 b2
2 2

① a ? b ? ( x ? y) ; ②
2

xx? yy ? 1 1 1 1 ? 2 ? ( ? )2 ; ③ 2 ? 2 ? 1 . 2 a b x y a b

第 2 页 共 9 页

其中不等式恒成立的序号是 .(填所有正确命题的序号) 13.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为 1,2,?,9 的 9 个小正方形(如下图) , 使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且标号为“1、5、9”的小 正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有 种.

? x, y ? 0 ? 14.设 P 是不等式组 ? x ? y ? ?1 ? x? y ?3 ?

表示的平面区域内的任意一点,向量

?? ? ??? ? ?? ? ,则 2? ? ? 的最大值为 m ? (1,1) , n ? (2,1) ,若 OP ? ?m ? ? n ( ? , ? 为实数)
选做题:请在下列两题中任选一题作答.若两题都做,则按第一题评阅计分,本题共 5 分. 15(1)设 曲 线 C 的 参 数 方 程 为 ?

.

(2)若不等式 x ? 3 ? x ? 5 ? ax ? 0?x ? R, a ? 0? 恒成立,则实数 a 的取值范围为

? x ? 2 ? 3cos ? ??为参数? , 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 ? y ? ?1 ? 3sin ? 3? cos? ? 4? sin ? ? 3 ? 0 ,则曲线 C 上到直线 l 的距离为 2 的点有 个.
.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分) 在?ABC 中, 设角A、 B、 C 的对 边分 别为a、b、c , 已知cos2 A ? sin 2 B ? cos2 C ? sin A sin B . (1)求角 C 的大小; 17. (本小题满分 12 分) 已知 {an } 是一个公差大于 0 的等差数列,且满足 a3a6 ? 55, a2 ? a7 ? 16 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)令 bn ? (2)若 c ? 3 ,求 ?ABC 周长的取值范围.

(n ? N * ) ,记数列 {bn }的前 n 项和为 Tn ,对于任意的 n ? N * ,不等式 a ?1 m Tn ? 恒成立,求实数 m 的最小值. 100
2 n ?1

4

18.(本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是菱形, ADNM 是矩形,平面 ADNM ⊥平面

ABCD , ?DAB ? 60? , AD ? 2 , AM ? 1 , E 是 AB 的中点. (1)求证: AN //平面 MEC ; M (2)在线段 AM 上是否存在点 P ,使二面角

N

P ? EC ? D 的大小为

? ?若存在,求出 6

若不存在, 请说明理由.[来源:学科网] AP 的长 h ;

D

C

A E B 19.(本小题满分 12 分) 在一个盒子中,放有大小相同的红、白、黄三个小球,现从中任意摸出一球,若是红球 记 1 分,白球记 2 分,黄球记 3 分.现从这个盒子中有放回地先后摸出两球,所得分数 分别记为 x 、 y ,设 O 为坐标原点,点 P 的坐标为 ( x ? 2, x ? y ) ,记 ? ? OP . (1)求随机变量 ? =5 的概率; (2)求随机变量 ? 的分布列和数 学期望.
第 3 页 共 9 页

??? ?2

20.(本小题满分 13 分)

x2 y 2 ? ? 1(a ? 10) 的右焦点 F 在圆 D : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 上,直线 a2 3 l : x ? my ? 3(m ? 0) 交椭圆于 M 、 N 两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若 OM ? ON ( O 为坐标原点),求 m 的值;
已知椭圆 C : (3)设点 N 关于 x 轴的对称点为 N1 ( N1 与 M 不重合) ,且直线 N1 试问 ?PMN 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明 理由.

M 与 x 轴交于点 P ,

21.(本小题满分14分) 序号 答案 1 D 2 A 3 B 4 B 5 B 6 A 7 A 8 D 9 A 10 C 已 知 函 数

1 ax f ( x) ? ln( ? ) ? x 2 ? ax 2 2 (a为常数,a >0).

1 是函数 f ( x) 的一个极值点,求 a 的值; 2 ?1 ? (2)求证:当 0< a ? 2时,f ( x)在 ? , ?? ? 上是增函数; ?2 ? (3)若对任意的 a ? ?1,2?, 总存在 x0 ??1,2? , 使不等式f ( x0 ) > m 1 ? a 2 成立, 求实数 m
(1)若 x ?

?

?

的取值范围.

江西省新余市 2012—2013 学年度高三年级第二次模拟考试 数学试题(理科)参考答案

一、选择题

二、填空题 11.3 ;12. ①②③ ; 13.108 ;14.5; 15.(1)3 ; (2) 0 ? a ? 2 三、解答题 16.解(1)由题意知 1 ? sin 2 A ? sin 2 B ? 1 ? sin 2 C ? sin A sin B , 即 sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? ? sin A sin B ,

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ?ab ,即 cosC ?
第 4 页 共 9 页

a 2 ? b2 ? c2 1 ? ? ?????3 分 2ab 2

2? .??????5 分 3 a b c ? ? (2)? ,? a ? 2 sin A, b ? 2 sin B , sin A sin B sin C 则 ?ABC 的周长为 L ? a ? b ? c ? 2(sin A ? sin B) ? 3 ,??????7 分 ? ? 即 L ? 2[sin A ? sin( ? A)] ? 3 ? 2 sin( A ? ) ? 3 ,??????9 分 3 3 ? ? ? 2? 3 ? ? 0 ? A ? ,? ? A ? ? ,? ? sin( A ? ) ? 1 ,????11 分 3 3 3 3 2 3 ? 即? 2 3 ? 2 sin( A ? ) ? 3 ? 2 ? 3 , 3 ? ?ABC 周长的取值范围为 (2 3,2 ? 3 ] .??????12 分
又 0 ? C ? ? ,? C ? 17 (1)解:设等差数列 ?an ? 的公差为 d,则依题设 d >0 由 a2+a7=16.得 2a1 ? 7d ? 16 ① ②
2

由 a3 ? a6 ? 55, 得 (a1 ? 2d )(a1 ? 5d ) ? 55

由①得 2a1 ? 16 ? 7d 将其代入②得 (16 ? 3d )(16 ? 3d ) ? 220 .即 256 ? 9d ? 220

? d 2 ? 4, 又d ? 0,? d ? 2, 代入①得a1 ? 1 ? an ? 1 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1
(2)由(1)得 an ? 2n -1

?????6 分

bn ?

4 a
2 n ?1

4 1 1 1 ? ? ? 2 ? 1 (2n ? 1 ) ? 1 n?n ? 1? n n ? 1
=

1 1 1 1 1 1 Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? ) =1<1 2 2 3 n n ?1 n ?1 m m ? 1 ? m ? 100 . 恒成立 ? Tn ? 100 100 ? m 的最小值为 100 ?????12 分
18.解(1)连接 BN ,设 CM 与 BN 交于 F , 连接 EF .由已知, MN / / AD / / BC , MN ? AD ? BC , 故四边形 BCNM 是平行四边形,F 是 BN 的中点. 又因为 E 是 AB 的中点,所以 AN // EF .???3 分 M 因为 EF ? 平面 MEC , AN ? 平面 MEC , 所以 AN // 平面 MEC .?????4 分 (2)假设在线段 AM 上存在点 P , 使二面角 P ? EC ? D 的大小为

N

F

? . 6

P A Q H

D B

C

法一: 延长 DA 、 CE 交于点 Q ,过 A 做

AH ? EQ 于 H ,连接 PH .
第 5 页 共 9 页

E

因为 ADNM 是矩形,平面 ADNM ⊥平面 ABCD , 所以 MA ⊥平面 ABCD ,又 EQ ? 平面 ABCD , 所以 MA ⊥ EQ , EQ ? 平面 PAH 所以 EQ ? PH , ? PHA 为二面角 P ? EC ? D 的 平面角. 由题意 ?PHA ? 在

?
6

.?????7 分 ,

?QAE



AE ? 1



AQ ? 2



?QAE ? 120?





EQ ? 12 ? 22 ? 2 ?1? 2cos120? ? 7
AE ?AQ sin120? 3 所以 AH ? .?????10 分 ? EQ 7
又在 Rt ?PAH 中, ?PHA ?

?
6

,所以 AP ? AH ?tan 30? ?

所以在线段 AM 上存在点 P ,使二面角 P ? EC ? D 的大小为 此时 AP 的长为

3 3 1 7 ? ? ? ? 1. 7 3 7 7 ?
6


7 .??????12 分 7
z N M F P D E x C y

法二: 由于四边形 ABCD 是菱形, E 是 AB 的中点, ?DAB ? 60? , 所以 ?ABC 为等边三角形,可得 DE ? AB . 又 ADNM 是矩形,平面 ADNM ⊥平面 ABCD , 所以 DN ⊥平面 ABCD . 如图建立空间直角坐标系 D ? xyz .???5 分 则 D(0,0,0) , E ( 3,0,0) ,

C (0, 2, 0) , P( 3, ?1, h) . ??? ? ??? ? CE ? ( 3, ?2.0) , EP ? (0, ?1, h) .??7 分 设平面 PEC 的法向量为 n1 ? ( x, y, z ) . ??? ? ? ? ? 3x ? 2 y ? 0, ?CE ? n1 ? 0, ? 则 ? ??? ,所以 ? ? ? ?? y ? hz ? 0. ? EP ? n1 ? 0.

A

B

令 y ? 3h .所以 n1 ? (2h, 3h, 3) .??????9 分 又平面 ADE 的法向量 n2 ? (0,0,1) ,??????10 分 所以 cos ? n1 , n2 ?? 即

n1 ? n2 3 ? .??????11 分 n1 ? n2 2

3 7 ,解得 h ? ? 1 . 所 以 在 线 段 AM 上 存 在 点 P , 使 二 面 角 2 7 7h ? 3 ? 7 P ? EC ? D 的大小为 ,此时 AP 的长为 .??????12 分. 6 7 19.解(1)? x 、 y 可能的取值为 1 、 2 、 3 , x ? 1 , y ? 3 或 x ? 3 , y ? 1 时, ? ? 5 2 ?? (x ? 2) ? ( x ? y)2 ? 5 ,且当 又有放回摸两球的所有情况有 3 ? 3 ? 9 种,
2

3

?

第 6 页 共 9 页

2 .??????6 分 9 (2) ? 的所有取值为 0 , 1, 2 , 5 . ? ? ? 0 时,只有 x ? 2 , y ? 2 这一种情况. ? ? 1 时,有 x ? 1 , y ? 1 或 x ? 2 , y ? 1 或 x ? 2 , y ? 3 或 x ? 3 , y ? 3 四种情况, ? ? 2 时,有 x ? 1 , y ? 2 或 x ? 3 , y ? 2 两种情况. 1 4 2 ? P (? ? 0) ? , P (? ? 1) ? , P(? ? 2) ? ,???????8 分 9 9 9 则随机变量 ? 的分布列为: ? P(? ? 5) ?

?

P

0 1 9

1
4 9

2
2 9

5 2 9

???10 分

1 4 2 2 ? 1? ? 2 ? ? 5 ? ? 2 .??????12 分 9 9 9 9 2 2 20 解(1)由题设知,圆 D : ( x ? 2) ? y ? 1的圆心坐标是 ( 2,0) ,半径为1, 故圆 D 与 x 轴交与两点 (3,0) , (1,0) .?????1 分 所以,在椭圆中 c ? 3 或 c ? 1 ,又 b 2 ? 3 , 所以, a 2 ? 12 或 a 2 ? 4 (舍去,∵ a ? 10 ), ?????3 分 x2 y 2 于是,椭圆 C 的方程为 ? ? 1 .??????4 分 12 3
因此,数学 E? ? 0 ? (2)设 M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) ;

?x ? m y ? 3 ? 直线 l 与椭圆 C 方程联立 ? x 2 , y2 ?1 ? ? ?12 3 2 2 化简并整理得 (m ? 4) y ? 6my ? 3 ? 0 .??????5 分 ? 6m ?3 ∴ y1 ? y2 ? 2 , y1 ? y2 ? 2 , m ?4 m ?4 24 ∴ x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 6 ? 2 , m ?4 ? 3m2 ? 18m2 36 ? 12m2 .??7 分 x1 ? x2 ? m2 y1 y2 ? 3m( y1 ? y2 ) ? 9 ? 2 ? 2 ?9? m ?4 m ?4 m2 ? 4 36 ? 12m 2 ? 3 ∵ OM ? ON ,∴ OM ? ON ? 0 ,即 x1x2 ? y1 y2 ? 0 得 ?0 m2 ? 4 11 11 2 ∴m ? ,m ? ? ,即 m 为定值.??????9 分 4 2 (3)∵ M ( x1 , y1 ) , N1 ( x2 ,? y2 ) , y ? y1 x ? x1 ? ∴直线 N1M 的方程为 .????10 分 ? y2 ? y1 x2 ? x1 y1 ( x2 ? x1 ) y x ? y2 x1 ? x1 ? 1 2 令 y ? 0 ,则 x ? y1 ? y2 y1 ? y2
第 7 页 共 9 页

? 6m 18m ? 2 2 2m y1 y2 ? 3( y1 ? y2 ) m ? 4 m ? 4 ? 24 m ? ? ? ? 4, ? 6m y1 ? y2 ? 6m m2 ? 4 ∴ P(4,0) .??????11 分 1 1 2 解法一: S ?PMN ? FP ? y1 ? y2 ? ? 1 ? ( y1 ? y2 ) ? 4 y1 y2 2 2
? 1 36m 2 12 m2 ? 1 ? ? ? 2 3 2 2 ( m 2 ? 4) 2 ( m 2 ? 4) (m 2 ? 4)

=2 3

1 9 (m 2 ? 1) ? 2 ?6 m ?1

?2 3

1 12

当且仅当 m2 ? 1 ? 3 即 m ? ? 2 时等号成立. 故 ?PMN 的面积存在最大值 1.?????13 分 (或: S?PMN ? 2 3 ? 令t ?

?m

m2 +1
2

? 4?

2

=2 3 ? ?

?m
1 6

1
2

? 4?

2

?

1 , m ?4
2

1 ? 1? ? ? 0, ? , m ? 4 ? 4?
2

则 S?PMN ? 2 3 ? ?3t 2 ? t ? 2 3 ? ?3(t ? ) 2 ? 当且仅当 t ?

1 ? 1 .???12 分 12

1 ? 1? ? ? 0, 时等号成立,此时 m 2 ? 2 . 6 ? 4? ? 故 ?PMN 的面积存在最大值 1.?????13 分
解法二: MN ?
2

( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? (m2 ? 1) ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2

?

?

? 36m2 12 ? m2 ? 1 ? (m ? 1) ? 2 ? 2 ?4 3 2 .??????10 分 2 m ? 4? m ?4 ? (m ? 4) ? 4?3 1 ? 点 P 到直线 l 的距离是 . 2 m ?1 m2 ? 1
4 3 1 m2 ? 1 m2 ? 1 ? 2 ?2 3 2 (m2 ? 4)2 m2 ? 1 m ? 4 1 1 .??????11 分 ? 2 3 ? 3( 2 )2 ? 2 m ?4 m ?4 1 ? 1? ? ? 0, ? , 令t ? 2 m ? 4 ? 4? 1 1 2 3 S?PMN ? 2 3 ? 3t 2 ? t ? 2 3 ? 3(t ? )2 ? ? ? 1 ,??12 分 6 12 12 1 ? 1? 当且仅当 t ? ? ? 0, ? 时,此时 m 2 ? 2 , 6 ? 4? 故 ?PMN 的面积存在最大值,其最大值为 1.?????13 分
所以, S?PMN ?

第 8 页 共 9 页

a2 ? 2 1 2ax( x ? ) a 2a . 2 ? 2x ? a ? 21.解: f ?( x) ? 1 1 1 ? ax ? ax 2 2 1 a2 ? 2 (1)由已知得: f ?( ) ? 0 ,且 ?0, 2 2a ? a 2 ? a ? 2 ? 0 ,? a ? 0 ,? a ? 2 .??????3 分 a 2 ? 2 1 a 2 ? a ? 2 (a ? 2)(a ? 1) (2)当 0 ? a ? 2 时,? ? ? ? ? 0, 2a 2 2a 2a 1 1 a2 ? 2 a2 ? 2 ,故当 x ? 时, x ? ? ? ?0. 2 2 2a 2a 2ax 1 ? 0 ,? f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 在 [ , ? ?) 上是增函数. ?????7 分 又 1 ? ax 2 1 1 (3)当 a ? (1, 2) 时,由(2)知, f ( x ) 在[1,2]上的最小值为 f (1) ? ln( ? a ) ? 1 ? a , 2 2
故问题等价于: 对任意的 a ? (1, 2) ,不等式 ln( ? 记 g (a) ? ln( ?

1 2

1 a) ? 1 ? a ? m(a 2 ? 1) ? 0 恒成立.??8 分 2

1 1 a) ? 1 ? a ? m(a 2 ? 1) , (1 ? a ? 2 ) , 2 2 1 a ? 1 ? 2ma ? [2ma ? (1 ? 2m)] , 则 g ?(a ) ? 1? a 1? a 当 m ? 0 时, 2ma ? 1 ? 2m ? 0 ,? g ?(a) ? 0 ,? g (a ) 在区间 (1, 2) 上递减,此时, g (a) ? g (1) ? 0 , ? m ? 0 时不可能使 g (a) ? 0 恒成立,故必有 m ? 0 ,????10 分 2ma 1 ? g ?(a ) ? [a ? ( ? 1)] . 1? a 2m 1 1 ? 1 ? 1 , 可 知 g (a) 在 区 间 (1, m i n {2 , ? 1} 若 上) 递减,在此区间上,有 2m 2m 1 g (a) 在 (1, 2) g (a) ? g (1) ? 0 , ) 0 ? 恒成立矛盾, ?1 ? 1, 与 g (a 故 此时 g ?(a ) ? 0 , 2m 上递增,且恒有 g (a) ? g (1) ? 0 ,满足题设要求,

?m ? 0 1 ? 1 ?? 1 ,即 m ? ,即实数 m 的取值 范围为 [ , ? ?) .?????14 分 4 ?1 ? 1 4 ? ? 2m

第 9 页 共 9 页


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