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2013山东高考数学理科纠错版


2013 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理科数学
本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分, 4 页。 共 满分 150 分。 考试用时 120 分钟, 考试结束, 务必将试卷和答题卡一并上交。 注意事项: 1.答题前,考生务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、县区和 科类填写在答题卡上和试卷规定的位置上。 2.第 I 卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上。 3.第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应 的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用 涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B);如果事件 A,B 独立,那么 P(AB) =P(A) ·P(B) 。 第 I 卷(共 60 分) 一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的。 (1)复数 z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则 z 的共轭复数 z 为 A 2+i B 2-i C 5+i D 5-i

(2) 已知集合 A={0,1,2},则集合 B={x-y| x ? A, y ? A }中元素的个数是 A1 B3 C5 D 9
2

(3) 已知函数 f(x)为奇函数,且当 x >0 时, f ( x ) ? x ? A -2 B0 C 1 D2

1 ,则 f(-1)= x 9 ,底面是边长为 3 的正三角形, 4

(4)已知三棱柱 ABC- A1B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为

若 P 底面 A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小为 A

5? 12

B

? 3

C

? 4

D

? 6

(5)将函数 y=sin(2x +φ )的图像沿 x 轴向左平移 个单位后,得到一个偶函数的图像, 则φ 的一个可能取值为

(A)

(B)

(C)0

(D)

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? (6)在平面直角坐标第 XOY 中,M 为不等式组 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,所表示的区域上一动点, ? 3x ? y ? 8 ? 0 ?
则直线 OM 斜率的最小值为 A 2 B1 C?

1 3

D ?

1 2

(7)给定两个命题 p,q,若 ? p是q 的必要而不充分条件,则 p是?q 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 (8)函数 y=xcosx + sinx 的图象大致为

(B)

(9)过点(3,1)作圆 ( x ?1) ? y ? 1的两条切线,切点分别是 A,B,则直线 AB 的方程
2 2

为 A 2x ? y ? 3 ? 0 B 2x ? y ? 3 ? 0 C 4x ? y ? 3 ? 0 D 4x ? y ? 3 ? 0

(10)用 0,1,2,?,9 这十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 A 243 B 252 C 261 D 279 (11)抛物线 C1 : y ?

x2 1 2 x (p>0)的焦点与双曲线 C2 : ? y 2 ? 1 的右焦点的连线交 C1 3 2p

于第一象限的点 M,若 C1 在点 M 处的切线平行于 C2 的一条渐近线,则 p=

A

3 16

B

3 8

C

2 3 3

D

4 3 3

(12) 设正实数 x, y , z 满足 x2 ? 3xy ? 4 y 2 ? z ? 0 ,则当 大值为 A 0 B 1 C

xy 2 1 2 取得最大值时, ? ? 的最 z x y z

9 4

D 3

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 (13)执行右面的程序框图,若输入的 ? 的值为 0.25,则输出的 n 的值 为_______ (14)在区间[-3,3]上随机取一个数 x,使得 x ? 1 ? x ? 2 ? 1成立的概 率为_________ (15)已知向量 AB 与 AC 的夹角为 120 ,且| AB |=3,| AC | = 2 , 若 AP ? ? AB + AC , 且 AP ? BC , 则 实 数 ? 的 值 为 ______________ (16) (16)定义“正对数” :ln x= ?
? ?

??? ?

??? ?

?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

?0,0 ? x ? 1 现有四个命题: ? ln x, x ? 1
?

①若 a>0,b>0,则 ln (ab)=bln a ②若 a>0,b>0,则 ln (ab)=ln a+ ln b
? ? ③若 a>0,b>0,则 ln ( ) ≥ln a-ln b ? ? ?

?

a b

④若 a>0,b>0,则 ln (a+b)≤ln a+ln b+ln2 其中的真命题有___________________ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。 (17) (本小题满分 12 分) 设 ?ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a, b, c ,且 a ? b ? 6, b ? 2 , cos B ? (1) 求 a,c 的值 (2)求 sin( A ? B) 的值。 (18) (本小题满分 12 分) 如图所示,在三棱锥 P-ABQ 中,PB⊥平面 ABQ, BA=BP=BQ,D,C,E,F 分别是 AQ,BQ,AP,BP 的中点,AQ=2BD,PD 与 EQ 交于点 G,PC 与 FQ 交 于点 H,连接 GH。 (Ⅰ)求证:AB//GH; (Ⅱ)求二面角 D-GH-E 的余弦值

?

?

?

7 9

(19) (本小题满分 12 分) 甲,乙两支排球队进行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲 队获胜的概率是

1 2 外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是 ,假设各局比赛结果相互独立, 2 3

(1) 分别求甲队以 3:0,3:1,3:2 胜利的概率 (2) 若比赛结果为 3:0 或 3:1,则胜利方得 3 分,对方得 0 分,若比赛结果为 3:2, 则胜利方得 2 分,对方得 1 分,求乙队得分 X 的分成列及数学期望。 (20) (本小题满分 12 分) 设等差数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,且 S4 ? 4S2 , a2 n ? 2an ? 1 (1) 求数列{ an }的通项公式 (2) 设数列{ bn }的前 n 项和为 Tn , Tn ? 且 求数列{ cn }的前 n 项和 Rn 。 (21) (本小题满分 13 分 ) 设函数 f ( x ) ?

an ? 1 ? ? , ? 为常数) cn ? b2n(n? N ? ) ( 令 , 2n

x ?c, (e=2.71828?是自然对数的底数, c ? R) e2 x

(1) 求 f ( x ) 的单调区间,最大值 (2) 讨论关于 x 的方程 ln x ? f ( x) 根的个数。 22(本小题满分 13 分) 椭圆 C:

x2 y 2 3 ? 2 ?1, a ? b ? 0) ( ,的左右焦点分别是 F1 , F2 ,离心率为 ,过 F 且垂直于 1 2 a b 2

x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段的长为 1 (1) 求椭圆 C 的方程 (2) 点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的一点,连接 PF1, PF2 ,设 ?F PF2 的角平分线 PM 交 1 C 的长轴于点 M(m,0),求 m 的取值范围。 (3) 在(2)的条件下,过点 P 作斜率为 k 的直线 l ,使直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公 共点,设直线 PF1, PF2 的斜率分别为 k1 , k2 ,若 k ? 0 ,试证明 并求出这个定值。

1 1 为定值, ? k ? k1 k ? k2


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