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【创新方案】2015高考数学(文)一轮热点题型突破:第7章 第2节 空间几何体的表面积和体积]


第二节

空间几何体的表面积和体积

考点一

空间几何体的表面积 )

[例 1] (1)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是(

A.28+6 5 B.30+6 5 C.56+12 5 D.60+12 5 (2)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为________.

[自主解答] (1)该三棱锥的直观图如图所示.据俯视图知,顶点 P 在底面上的投影 D 在棱 AB 上,且∠ABC=90° ,

据正、俯视图知,AD=2,BD=3,PD=4, 据侧视图知,BC=4. 综上所述,可知 BC⊥平面 PAB, PB= PD2+BD2=5, PC= BC2+PB2= 16+25= 41, AC= AB2+BC2= 41, PA= PD2+AD2=2 5. ∵PC=AC= 41, ∴△PAC 的边 PA 上的高为 PA?2 h= PC2-? ? 2 ? =6.

1 1 ∴S△PAB= AB· PD=10,S△ABC= AB· BC=10, 2 2 1 1 S△PBC= PB· BC=10,S△APC= PA· h=6 5. 2 2 故三棱锥的表面积为 S△PAB+S△ABC+S△PBC+S△APC=30+6 5. (2)该几何体的直观图如图所示:

该几何体为长为 4,宽为 3,高为 1 的长方体内部挖去一个底面半径为 1,高为 1 的圆 柱. ∴S 表=2×(4+3+12)+2π-2π=38. [答案] (1)B (2)38 【方法规律】 空间几何体的表面积的求法技巧 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积应注意重合部分的处理. (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展为平面图形计算, 而表面积是侧面积与底面圆的面积之和. 一个几何体的三视图如图所示,该几何体的表面积是( )

A.372 B.360 C.292 D.280 解析:选 B 由三视图可知该几何体是由下面一个长方体,上面一个长方体组合而成的 几何体. ∵下面长方体的表面积为 8×10×2+2×8×2+10×2×2=232,上面长方体的表面积 为 8×6×2+2×8×2+2×6×2=152, 又∵长方体表面积重叠一部分, ∴几何体的表面积为 232+152-2×6×2=360. 高频考点 考点二 空间几何体的体积

1.空间几何体的体积是每年高考的热点,题型既有选择题、填空题,也有解答题,难 度偏小,属容易题. 2.高考对空间几何体的体积的考查常有以下几个命题角度: (1)求简单几何体的体积; (2)求组合体的体积;

(3)求以三视图为背景的几何体的体积. [例 2] (1)(2013· 湖北高考)一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简 单几何体组成,其体积分别记为 V1,V2,V3,V4,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两 个简单几何体均为多面体,则有( )

(

A.V1<V2<V4<V3 B.V1<V3<V2<V4 C.V2<V1<V3<V4 D.V2<V3<V1<V4 (2)(2013· 浙江高考)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是 )

A.108 cm3 B.100 cm3 3 C.92 cm D.84 cm3 (3)(2012· 江苏高考)如图所示, 在长方体 ABCD A1B1C1D1 中, AB=AD=3 cm, AA1=2 cm, 则四棱锥 ABB1D1D 的体积为________cm3.

[自主解答] (1)由题意可知,由于上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何 体均为多面体.根据三视图可知,最上面一个简单几何体是上底面圆的半径为 2,下底面圆 1 7 的半径为 1,高为 1 的圆台,其体积 V1= π×(12+22+1×2)×1= π;从上到下的第二个简 3 3 单几何体是一个底面圆半径为 1,高为 2 的圆柱,其体积 V2=π×12×2=2π;从上到下的第 三个简单几何体是边长为 2 的正方体,其体积 V3=23=8;从上到下的第四个简单几何体是 一个棱台,其上底面是边长为 2 的正方形,下底面是边长为 4 的正方形,棱台的高为 1,故 1 28 体积 V4= ×(22+2×4+42)×1= ,比较大小可知答案选 C. 3 3 (2)根据几何体的三视图可知,所求几何体是一个长方体截去一个三棱锥,则几何体的 1 1 体积 V=6×6×3- × ×4×4×3=100 cm3. 3 2 (3)由题意,四边形 ABCD 为正方形,连接 AC,交 BD 于 O,则 AC⊥BD.由面面垂直的 性质定理,可证 AO⊥平面 BB1D1D.四棱锥底面 BB1D1D 的面积为 3 2×2= 6 2 ,从而

1 VABB1D1D= ×OA×S 长方形 BB1D1D=6. 3 [答案] (1)C (2)B (3)6 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 (1)求简单几何体的体积.若所给的几何体为柱体、锥体或台体,则可直接利用公式求 解. (2)求组合体的体积.若所给定的几何体是组合体,不能直接利用公式求解,则常用转 换法、分割法、补形法等进行求解. (3)求以三视图为背景的几何体的体积.应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根 据条件求解. 1.(2013· 广东高考)某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是( )

A.4

14 B. 3

16 C. 3

D.6

解析:选 B 由四棱台的三视图可知,台体上底面积 S1=1×1=1,下底面积 S2=2×2 1 1 14 =4,高 h=2,代入台体的体积公式 V= (S1+ S1S2+S2)h= ×(1+ 1×4+4)×2= . 3 3 3 2.一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A.200+9π B.200+18π C.140+9π D.140+18π 解析:选 A 这个几何体由上、下两部分组成,下半部分是一个长方体,其中长、宽、 6 高分别为 6+2+2=10,1+2+1=4,5; 上半部分是一个横放的半圆柱, 其中底面半径为 =3, 2 1 母线长为 2,故 V=10×4×5+ π×32×2=200+9π. 2 考点三 与球有关的组合体

[例 3] (2014· 沈阳模拟)已知直三棱柱 ABCA1B1C1 的 6 个顶点都在球 O 的球面上,若 AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球 O 的半径为( ) 3 17 13 A. B.2 10 C. D.3 10 2 2 [自主解答] 如图所示,由球心作平面 ABC 的垂线,则垂足为 BC 的中点 M.

1 5 1 又 AM= BC= ,OM= AA1=6, 2 2 2 ?5?2+62=13. 所以球 O 的半径 R=OA= ?2? 2 [答案] C 【互动探究】 侧棱和底面边长都是 3 2的正四棱锥的外接球半径是多少? 解: 依题意得, 该正四棱锥的底面对角线的长为 3 2× 2=6, 高为 1 ?2 ?3 2?2-? ?2×6?

=3, 因此底面中心到各顶点的距离均等于 3, 所以该四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心,其外接球的半径为 3. 【方法规律】 与球有关的组合体的类型及解法 (1)球与旋转体的组合通常作出它们的轴截面解题. (2)球与多面体的组合,通常过多面体的一条侧棱和球心,或“切点”、“接点”作出 截面图,把空间问题化归为平面问题. (2013· 新课标全国卷Ⅰ)如图所示,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm,如 果不计容器厚度,则球的体积为( )

500π 866π A. cm3 B. cm3 3 3 1 372π 2 048π C. cm3 D. cm3 3 3 解析:选 A 设球半径为 R cm,根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆 的半径为 4 cm,球心到截面的距离为(R-2)cm,所以由 42+(R-2)2=R2,得 R=5,所以球 4 4 500π 的体积 V= πR3= π×53= cm3. 3 3 3 ——————————[课堂归纳——通法领悟]————————————————

1 种思想——转化与化归思想 计算旋转体的侧面积时,一般采用转化的方法来进行,即将侧面展开化为平面图形, “化曲为直”来解决,因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法. 2 种方法——割补法与等积法 (1)割补法:求一些不规则几何体的体积时,常用割补法转化成已知体积公式的几何 体进行解决. (2)等积法:等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面 积(或体积)通过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高, 特别是在求三角形的高和三棱锥的高时,这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱 锥)的高,而通过直接计算得到高的数值. 2 个注意点——求空间几何体的表面积应注意两点 (1)求组合体的表面积时,要注意各几何体重叠部分的处理. (2)底面是梯形的四棱柱侧放时,容易和四棱台混淆,在识别时要紧扣定义,以防出错.


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