当前位置:首页 >> 数学 >>

§12.7 条件概率与事件的独立性


2016~2017 学年度高三数学第一轮复习学案

《统计与概率》

第十二章

统计与概率

§12.7 条件概率与事件的独立性
【知识回顾】 1.条件概率及其性质 条件概率的定义 对于任何两个事件 A 和 B, 在已知__________ 的条件下,__________的概率叫做条件概率, 用符号“__________”表示 2.事件的独立性 (1)相互独立的定义:事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率__________,即__________这时, 称两个事件 A,B 相互独立,并把这两个事件叫做相互独立事件. (2)概率公式: 条件 A,B 相互独立 A1,A2,?,An 相互独立 3.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验: ①定义:在__________条件下,__________做 n 次试验,各次试验的结果__________,那么 一般就称它们为 n 次独立重复试验. ②概率公式:在一次试验中事件 A 发生的概率为 p,则 n 次独立重复试验中,事件 A 恰好发
k n k 生 k 次的概率为 Pn(k)=Ck (k=0,1,2,?,n). np (1-p)


条件概率公式 P(B|A)= P?A∩B? , 其中________>0, ________ P?A?

称为事件 A 与 B 的交(或积).

公式 P(A∩B)=__________ P(A1∩A2∩?∩An) = _______________________

(2)二项分布:在 n 次独立重复试验中,事件 A 发生的次数 第 170 页设为 X,事件 A 不发生的概率为 q=1-p,则 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率是 P(X=k)=__________,其中 k=0,1,2,?,n.于是 X 的分布列: X P 0 __________ 1 __________ ? ? k
k n Ck np q
-k

? ?

n __________

此时称离散型随机变量 X 服从参数为 n,p 的二项分布,记作__________. 若 X~B(n,p),则 E(X)=np,D(X)=npq. 参考答案:1.事件 A 发生,事件 B 发生,P(B|A),P(A),A∩B 2.(1)没有影响,P(B|A)=P(B). 3.(2)概率公式:P(A)×P(B),P(A1)×P(A2)×?×P(An) 3.(1)①相同的,重复地,相互独立,
k n k 0 n (2)Ck ,C0 np q np q


n C1 npq

-1

n 0 Cn np q

X~B(n,p). 第 1 页

2016~2017 学年度高三数学第一轮复习学案 【基础训练】

《统计与概率》

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)条件概率一定不等于它的非条件概率.(×) (2)相互独立事件就是互斥事件.(×) (3)对于任意两个事件,公式 P(AB)=P(A)P(B)都成立.(×) (4)P(B|A)表示在事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率,P(BA)表示事件 A,B 同时发生 的概率.(√) 2.袋中有 3 红 5 黑 8 个大小形状相同的小球,从中依次摸出两个小球,则在第一次摸得红 球的条件下,第二次仍是红球的概率为( 3 A. 8 2 B. 7 2 C. 8 3 D. 7 )

2 解析 第一次摸出红球,还剩 2 红 5 黑共 7 个小球,所以再摸到红球的概率为 . 7 答案 B 4 3.某一批花生种子,如果每 1 粒发芽的概率为 ,那么播下 3 粒这样的种子恰有 2 粒发芽的 5 概率是( 12 A. 125 ) 16 B. 125 48 C. 125 96 D. 125

解析 每 1 粒发芽的概率为定值,播下 3 粒种子相当于做了 3 次重复试验,用 X 表示发芽 2 1 4 2 ?4? ×?1? = 48 . 3, ?,P(X=2)=C3 的粒数,独立重复试验服从二项分布,即 B~? × ? 5? ?5? ?5? 125 答案 C 4.投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概 率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 )

2 解析 根据独立重复试验公式得,该同学通过测试的概率为 C3 0.62 ? 0.4 ? 0.63 =0.648.

答案 A 1 1 5.国庆节放假,甲去北京旅游的概率为 ,乙去北京旅游的概率为 ,假定二人的行动相互 3 4 之间没有影响,那么这段时间内至少有 1 人去北京旅游的概率为________.
- -

解析 记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件 A, “乙去北京旅游”为事件 B,又 P(A B)
- - 1?? 1? 1 =P(A)· P(B)=[1-P(A)][1-P(B)]=? ?1-3??1-4?=2,



2 页

2016~2017 学年度高三数学第一轮复习学案

《统计与概率》

甲、乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游,所求概率为 1
- - 1 1 -P(A B)=1- = . 2 2

答案

1 2

【例题分析】 例 1.(1)从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数,事件 A=“取到的 2 个数之和为偶数”, 事件 B=“取到的 2 个数均为偶数”,则 P(B|A)等于( 1 A. 8 1 B. 4 2 C. 5 1 D. 2 )

(2)已知 1 号箱中有 2 个白球和 4 个红球,2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球,现随机地从 1 号 箱中取出一球放入 2 号箱,然后从 2 号箱随机取出一球,则两次都取到红球的概率是( 11 A. 27 11 B. 24 8 C. 27 9 D. 24 )

2 C2 4 2 3+C2 解析 (1)法一 (1)P(A)= = = , 2 C5 10 5

C2 1 2 P(AB)= 2= ,由条件概率公式,得 C5 10
2 法二 n(A)=C2 3+C2=4,n(AB)=1,

1 P(AB) 10 1 P(B|A)= = = . 4 4 P(A) 10

n(AB) 1 ∴P(B|A)= = . n(A) 4 (2)设从 1 号箱取到红球为事件 A,从 2 号箱取到红球为事件 B. 由题意,P(A)= 3+1 4 4 2 = ,P(B|A)= = , 3 2+4 8+1 9

2 4 8 ∴P(AB)=P(B|A)· P(A)= × = , 3 9 27 8 所以两次都取到红球的概率为 . 27 答案 (1)B (2)C 规律方法 条件概率的求法:(1)利用定义,分别求 P(A)和 P(AB),得 P(B|A)= P(AB) .这 P(A)

是通用的求条件概率的方法. (2)借助古典概型概率公式, 先求事件 A 包含的基本事件数 n(A), 再在事件 A 发生的条件下求事件 B 包含的基本事件数,即 n(AB),得 P(B|A)= n(AB) . n(A)

变式练习 1: 已知盒中装有 3 只螺口灯泡与 7 只卡口灯泡, 这些灯泡的外形与功率都相同且 灯口向下放着,现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第 1



3 页

2016~2017 学年度高三数学第一轮复习学案 次抽到的是螺口灯泡的条件下,第 2 次抽到的是卡口灯泡的概率为( 3 A. 10 2 B. 9 7 C. 8 7 D. 9

《统计与概率》 )

解析 法一 设事件 A 为“第 1 次抽到的是螺口灯泡”,事件 B 为“第 2 次抽到的是卡口 3 灯泡”,则 P(A)= , 10 7 P(AB) 30 7 3 7 7 P(AB)= × = ,则所求概率为 P(B|A)= = = . 10 9 30 3 9 P(A) 10 法二 第 1 次抽到螺口灯泡后还剩余 9 只灯泡, 其中有 7 只卡口灯泡, 故第 2 次抽到卡口灯 C1 7 7 泡的概率为 1= . C9 9 答案 D 例 2.在一场娱乐晚会上,有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱,由现场数百名观众投票选 出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手, 其中观众甲是 1 号歌手的歌 迷,他必选 1 号,不选 2 号,另在 3 至 5 号中随机选 2 名.观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没 有偏爱,因此在 1 至 5 号中选 3 名歌手. (1)求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率; (2)X 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和,求“X≥2”的事件概率. 解 (1)设 A 表示事件“观众甲选中 3 号歌手”,B 表示事件“观众乙选中 3 号歌手”, C1 2 C2 3 2 4 则 P(A)= 2= ,P(B)= 3= . C3 3 C5 5
- -

∵事件 A 与 B 相互独立,A 与B相互独立.则 A· B表示事件“甲选中 3 号歌手,且乙没选中 3 号歌手”.
- - 2 2 4 ∴P(AB)=P(A)· P(B)=P(A)· [1-P(B)]= × = , 3 5 15

(2)设 C 表示事件“观众丙选中 3 号歌手”, C2 3 4 则 P(C)= 3= , C5 5
- - -

依题意,A,B,C 相互独立,A,B,C相互独立,
- - -

且 ABC,ABC,ABC,ABC 彼此互斥.
- - -

又 P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) 2 3 2 2 2 3 1 3 3 33 = × × + × × + × × = , 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75 2 3 3 18 P(X=3)=P(ABC)= × × = , 3 5 5 75



4 页

2016~2017 学年度高三数学第一轮复习学案 33 18 17 ∴P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)= + = . 75 75 25 规律方法

《统计与概率》

(1)正确分析所求事件的构成,将其转化为几个彼此互斥事件的和或相互独立事

件的积,然后利用相关公式进行计算.(2)注意根据问题情境正确判断事件的独立性.(3)在 应用相互独立事件的概率公式时,对含有“至多有一个发生”“至少有一个发生”的情况, 可结合对立事件的概率求解. 变式练习 2:甲、乙两人各进行一次射击,如果两人击中目标的概率都是 0.8,计算: (1)两人都击中目标的概率; (2)其中恰有一人击中目标的概率; (3)至少有一人击中目标的概率. 解 记“甲射击一次,击中目标”为事件 A, “乙射击一次,击中目标”为事件 B.“两人都
- -

击中目标”是事件 AB;“恰有 1 人击中目标”是 AB∪AB;“至少有 1 人击中目标”是
- -

AB∪AB∪AB. (1)显然, “两人各射击一次,都击中目标”就是事件 AB,又由于事件 A 与 B 相互独立,∴ P(AB)=P(A)· P(B)=0.8×0.8=0.64. (2)“两人各射击一次,恰好有一人击中目标”包括两种情况:一种是甲击中乙未击中(即
- -

AB),另一种是甲未击中乙击中(即AB).根据题意,这两种情况在各射击一次时不可能同时
- - - - - -

发生, 即事件 AB与AB 是互斥的, 所以所求概率为 P=P(AB)+P(AB)=P(A)· P(B)+P(A)· P(B) =0.8×(1-0.8)+(1-0.8)×0.8=0.16+0.16=0.32.


(3)“两人各射击一次,至少有一人击中目标”的概率为 P=P(AB)+[P(AB)+


P(AB)]=0.64+0.32=0.96. 例 3.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐, 要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得 10 分,出现两次音乐获得 20 分,出现三次音乐获得 100 分,没有出现音乐则扣除 200 分(即获得-200 分).设每次击鼓 1 出现音乐的概率为 ,且各次击鼓出现音乐相互独立. 2 (1)设每盘游戏获得的分数为 X,求 X 的分布列; (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率. 解 (1)X 可能的取值为 10,20,100,-200. 1 2 ?1? ? 1? 3 根据题意,有 P(X=10)=C1 3× 2 × 1-2 = , ? ? ? ? 8 2 1 ?1? ? 1? 3 P(X=20)=C2 3× 2 × 1-2 = , ? ? ? ? 8



5 页

2016~2017 学年度高三数学第一轮复习学案 3 0 ?1? ? 1? 1 P(X=100)=C3 3× 2 × 1-2 = , ? ? ? ? 8 0 3 ?1? ? 1? 1 P(X=-200)=C0 3× 2 × 1-2 = . ? ? ? ? 8 所以 X 的分布列为 X P 10 3 8 20 3 8 100 1 8 -200 1 8

《统计与概率》

(2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐”为事件 Ai(i=1,2,3), 1 则 P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)= . 8 所以, “三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为 1?3 1 511 1-P(A1A2A3)=1-? ?8? =1-512=512. 511 因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是 . 512 规律方法 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程, 但需要注意检查该概率模型 k k n-k 是否满足公式 Pn(k)=Cnp (1-p) 的三个条件:(1)在一次试验中某事件 A 发生的概率是一 个常数 p;(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是 相互独立的;(3)该公式表示 n 次试验中事件 A 恰好发生了 k 次的概率. 变式练习 3:乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行,比赛采用 7 局 4 胜制(即先胜 4 局者获胜,比赛结束),假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同. (1)求甲以 4 比 1 获胜的概率; (2)求乙获胜且比赛局数多于 5 局的概率; (3)求比赛局数的分布列. 1 解 (1)由已知,得甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是 . 2 记“甲以 4 比 1 获胜”为事件 A, 3 4-3 1 1 3?1? ?1? 则 P(A)=C4 · = . ?2? ?2? 2 8 3 ?1? ?1? (2)记“乙获胜且比赛局数多于 5 局”为事件 B.乙以 4 比 2 获胜的概率为 P1=C3 5 2 ? ? ?2? 5-3 1 5 · = , 2 32 3 6-3 1 5 5 ?1? ?1? 乙以 4 比 3 获胜的概率为 P2=C3 · = ,所以 P(B)=P1+P2= . 6 2 ? ? ?2? 2 32 16 (3)设比赛的局数为 X,则 X 的可能取值为 4,5,6,7.



6 页

2016~2017 学年度高三数学第一轮复习学案 4 ?1? 1 P(X=4)=2C4 4 2 = , ? ? 8 1?3?1?4-3 1 1 ? P(X=5)=2C3 · = , 4 2 ? ? ?2? 2 4 3 5-3 1 5 ?1? ?1? P(X=6)=2C3 · = , 5 2 ? ? ?2? 2 16 1?3?1?6-3 1 5 ? P(X=7)=2C3 · = . 6 2 ? ? ?2? 2 16 比赛局数的分布列为 X P 4 1 8 5 1 4 6 5 16 7 5 16

《统计与概率》

【课后练习】 1.某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75,连续两天为优良 的概率是 0.6, 已知某天的空气质量为优良, 则随后一天的空气质量为优良的概率是( A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.45 )

解析 记事件 A 表示“一天的空气质量为优良”,事件 B 表示“随后一天的空气质量为优 P(AB) 0.6 良” ,P(A)=0.75,P(AB)=0.6,由条件概率公式 P(B|A)= ,可得所求概率为 = 0.75 P(A) 0.8. 答案 A

(6, ) 2.设随机变量 X~B ,则 P(X=3)等于(
5 A. 16 3 B. 16 5 C. 8

1 2

) 3 D. 8

(6, ) 解析 X~B ,由二项分布可得, 1 3 5 3 1 3 ) ( 1? ) P(X=3)=C( ·= . 6 16 2 2
答案 A 1 1 1 3.甲射击命中目标的概率是 ,乙命中目标的概率是 ,丙命中目标的概率是 .现在三人同 2 3 4 时射击目标,则目标被击中的概率为( 3 A. 4 2 B. 3 4 C. 5 ) 7 D. 10

1 2

解析 设甲命中目标为事件 A,乙命中目标为事件 B,丙命中目标为事件 C,则击中目标表



7 页

2016~2017 学年度高三数学第一轮复习学案
- - - - - -

《统计与概率》

示事件 A, B, C 中至少有一个发生. 又 P(A· B· C)=P(A)· P(B)· P(C)=[1-P(A)]· [1-P(B)]· [1
- - - 1 1 1 1 3 1- ?×?1- ?×?1- ?= .∴击中的概率 P=1-P(A·B·C)= . -P(C)]=? ? 2? ? 3? ? 4? 4 4

答案 A

4.一袋中有 5 个白球,3 个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直 到红球出现 10 次时停止,设停止时共取了 X 次球,则 P(X=12)等于( A. C12 ( ) ( ) C. C11 ( ) ( )
9 10

)

3 8

10

5 8
2

2

B. C12 ( ) ( )
9

9

3 8

9

5 23 8 8 5 8
2

5 8

2

3 8

D. C11 ( ) ( )

3 8

10

解析 由题意知第 12 次取到红球, 前 11 次中恰有 9 次红球 2 次白球, 由于每次取到红球的 3 概率为 , 8 所以 P(X=12)= C11 ( ) ( ) 答案 D
9

3 8

9

5 23 . 8 8

5. 已知随机变量 ? 服从二项分布 ? ? n, p ? , 若 ? ? ? ? ? 30 ,D ? ?? ? 20 , 则p? 答案



1 . 3

16 6. 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同, 且在两次罚球中至多命中一次的概率为 , 25 则该队员每次罚球的命中率为________. 解析 设该队员每次罚球的命中率为 p,其中 0<p<1, 16 9 3 则依题意有 1-p2= ,p2= ,又 0<p<1,∴p= . 25 25 5 答案 3 5

7.有一批种子的发芽率为 0.9,出芽后的幼苗成活率为 0.8,在这批种子中,随机抽取一粒, 则这粒种子能成长为幼苗的概率为________. 解析 设种子发芽为事件 A,种子成长为幼苗为事件 B(发芽又成活为幼苗). 依题意 P(B|A)=0.8,P(A)=0.9. 根据条件概率公式 P(AB)=P(B|A)· P(A)=0.8×0.9=0.72, 即这粒种子能成长为幼苗的概率为 0.72. 答案 0.72 8.某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作,且元件 第 8 页

2016~2017 学年度高三数学第一轮复习学案

《统计与概率》

3 正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布 N(1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率为________.

解析 设元件 1,2,3 的使用寿命超过 1 000 小时的事件分别记为 A,B,C,显然 P(A)=
- - 1 P(B)=P(C)= ,∴该部件的使用寿命超过 1 000 小时的事件为(AB+AB+AB)C, 2

∴该部件的使用寿命超过 1 000 小时的概率 1 1 1 1 1 1? 1 3 P=? ?2×2+2×2+2×2?×2=8. 答案 3 8

9.某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶若其瓶 1 盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一 6 瓶该饮料. (1)求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率; (2)求中奖人数 X 的分布列.
- -

解 (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为 A,B,C,且相互独立,那么 A,B,C相互独立. 1 又 P(A)=P(B)=P(C)= , 6
- - - - 1 5?2 25 ∴P(A· B·C)=P(A)P(B)P(C)= ·? = , 6 ?6? 216

25 即甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率为 . 216 1 3, ? , (2)X 的可能取值为 0,1,2,3,且 X~B? ? 6? k 3-k ?1? ?5? ∴P(X=k)=Ck (k=0,1,2,3). 3 6 ? ? ?6? 0 3 ?1? ?5? =125, 则 P(X=0)=C0 3 6 ? ? ?6? 216 1 2 ?1? ?5? =25, P(X=1)=C1 3 6 ? ? ?6? 72 1?2?5?1 5 ? P(X=2)=C2 3 6 ? ? ?6? =72,



9 页

2016~2017 学年度高三数学第一轮复习学案 3 0 ?1? ?5? = 1 , P(X=3)=C3 3 6 ? ? ?6? 216 所以中奖人数 X 的分布列为 X P 0 125 216 1 25 72 2 5 72 3 1 216

《统计与概率》

10.在一块耕地上种植一种作物, 每季种植成本为 1 000 元, 此作物的市场价格和这块地上的 产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表: 作物产量(kg) 概 率 作物市场价格(元/kg) 概 率 300 0.5 6 0.4 500 0.5 10 0.6

(1)设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润,求 X 的分布列; (2)若在这块地上连续 3 季种植此作物, 求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2 000 元的概率. 解 (1)设 A 表示事件“作物产量为 300 kg” ,B 表示事件“作物市场价格为 6 元/kg” ,由题 设知 P(A)=0.5,P(B)=0.4, 因为利润=产量×市场价格-成本, 所以 X 所有可能的取值为 500×10-1 000=4 000,500×6-1 000=2 000, 300×10-1 000=2 000,300×6-1 000=800.
- -

P(X=4 000)=P(A)P(B)=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3,
- -

P(X=2 000)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5, P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2, 所求 X 的分布列为 X P 4 000 0.3 2 000 0.5 800 0.2

(2)设 Ci 表示事件“第 i 季利润不少于 2 000 元”(i=1,2,3), 由题意知 C1,C2,C3 相互独立,由(1)知, P(Ci)=P(X=4 000)+P(X=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3), 3 季的利润均不少于 2 000 元的概率为 P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512; 3 季中有 2 季的利润不少于 2 000 元的概率为 P(C1C2C3)+P(C1 C2C3)+P(C1C2 C3)=3×0.82×0.2=0.384, 所以,这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2 000 元的概率为 第 10 页
- - -

2016~2017 学年度高三数学第一轮复习学案 0.512+0.384=0.896.

《统计与概率》

5 11.设随机变量 X~B(2,p),Y~B(4,p),若 P(X≥1)= ,则 P(Y≥2)的值为( 9 32 A. 81 11 B. 27 65 C. 81 16 D. 81

)

5 1 5 2 2 解析 P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=C1 2p(1-p)+C2p = ,解得 p= (0≤p≤1,故 p= 舍 9 3 3 去). 4 1 ?2?3 11 1 ?2? 故 P(Y≥2)=1-P(Y=0)-P(Y=1)=1-C0 . 4× 3 -C4× × 3 = ? ? 3 ? ? 27 答案 B 12. 口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球, 有放回地每次摸取一个球, 定义数列{an}:
? ?-1,第n次摸取红球, an=? 如果 Sn 为数列{an}的前 n 项和,那么 S7=3 的概率为 ( ?1,第n次摸取白球, ?

)

A. C 7 ( ) ( ) C. C 7 ( ) ( )
5

5

1 3

2

2 3

5

B. C 7 ( ) ( ) D. C 7 ( ) ( )
3

2

2 3

2

1 3

5

1 3

2

1 3

5

1 3

2

2 3

5

2 解析 S7=3 即为 7 次摸球中,有 5 次摸到白球,2 次摸到红球,又摸到红球的概率为 ,摸 3 2 5 1 ?2? ?1? . 到白球的概率为 .故所求概率为 P=C2 7 3 ? ? ?3? 3 答案 B 2 13.某射手每次击中目标的概率是 ,各次射击互不影响,若规定:其若连续两次射击不中, 3 则停止射击,则其恰好在射击完第 5 次后停止射击的概率为________. 解析 由题意该射手第四、五次未击中,第三次击中,第一、二次至少有一次击中,由于互 2 16 ? 1 2? 2 1? 为不影响,所以所求概率为 P=?1-? ? ?× ×? = . ? ?3? ? 3 ?3? 243 答案 16 243

3 14.现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,命中的概率为 ,命中得 1 分,没有命中 4 2 得 0 分; 向乙靶射击两次, 每次命中的概率为 , 每命中一次得 2 分, 没有命中得 0 分. 该 3 射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. (1)求该射手恰好命中一次的概率; (2)求该射手的总得分 X 的分布列.

第 11 页

2016~2017 学年度高三数学第一轮复习学案

《统计与概率》

解 (1)记“该射手恰好命中一次”为事件 A, “该射手射击甲靶命中”为事件 B, “该射手第 3 一次射击乙靶命中”为事件 C, “该射手第二次射击乙靶命中”为事件 D, 由题意知 P(B)= , 4
- - - - - - 2 P(C)=P(D)= ,由于 A=BC D+BC D+B CD, 3

根据事件的独立性和互斥性得
- - - - - -

P(A)=P(BC D+BCD+B CD)
- - - - - -

=P(BC D)+P(BC D)+P(B CD)
- - - - - -

=P(B)P(C)P(D)+P(B)P(C)P(D)+P(B)P(C)P(D) 2 2 3 2 2 3 2 2 7 3 1- ?×?1- ?+?1- ?× ×?1- ?+?1- ?×?1- ?× = . = ×? 4? 3 ? 3? ? 4? ? 3? 3 36 4 ? 3? ? 3? ? (2)根据题意,X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5, 根据事件的独立性和互斥性得
- - -

P(X=0)=P(B C D)=[1-P(B)][1-P(C)][1-P(D)] 3? ? 2? ? 2? 1 =? ?1-4?×?1-3?×?1-3?=36,
- - - -

P(X=1)=P(BC D)=P(B)P(C)P(D) 2 2 3 1 1- ?×?1- ?= , = ×? 4 ? 3? ? 3? 12


P(X=2)=P(BC 1 = , 9

- -- - - -- 3? 2 ? 2? ? 3? ? 2? 2 D+BCD)=P(BCD)+P(BCD)=? ?1-4?×3×?1-3?+?1-4?×?1-3? × 3

- - - - 2 3 2 2 1 3 2 1- ?+ ×?1- ?× = , P(X=3)=P(BCD+BCD)=P(BCD)+P(BCD)= × ×? 4 3 ? 3? 4 ? 3? 3 3 - 3? 2 2 1 P(X=4)=P(BCD)=? ?1-4?×3×3=9,

3 2 2 1 P(X=5)=P(BCD)= × × = . 4 3 3 3 故 X 的分布列为 X P 0 1 36 1 1 12 2 1 9 3 1 3 4 1 9 5 1 3

第 12 页


赞助商链接
相关文章:
2018届高考数学二轮事件的独立性与条件概率专题卷(全国...
2018届高考数学二轮事件的独立性条件概率专题卷(全国通用) - (1)会求相互独立事件发生的概率; 训练目标 (2)会求简单的条件概率. 训练题型 解题策略 一、选择...
条件概率与事件的独立性练习题
条件概率与事件的独立性练习题 - 条件概率与事件的独立性练习题 1 1.如图所示的电路,有 a,b,c 三个开关,每个开关开或关的概率都是 ,且 2 是相互独立的,...
第31课时 事件的独立性与条件概率
第31课时 事件的独立性条件概率 - 第 31 课时 A.至多有一次中靶 C.只有一次中靶 事件的独立性条件概率 ) 8.某人进行射击,共有 5 发子弹,击中目标...
条件概率与独立事件_教学设计
条件概率与独立事件_教学设计 - § 2 独立性检验 2.1 条件概率与独立事件 ●三维目标 1.知识与技能 (1)了解条件概率概念,能利用条件概率分析和解决简单的...
11-8条件概率、事件的独立性(理)
11-8条件概率事件的独立性(理) - 2013届走向高考高三第一轮复习资料(北师大版)... 11-8条件概率事件的独立性(理)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2013...
知识讲解 条件概率 事件的相互独立性(理)(基础)
条件概率 事件的相互独立性 【学习目标】 1.了解...那么 第1页 共 12 页 在事件 B 发生的条件下...所以二者不是相互独立事件. 7 (2)由于把取出的白...
知识讲解 条件概率 事件的相互独立性(理)(提高)
条件概率 事件的相互独立性 【学习目标】 1.了解...A3 ? A4 ? 12 . 1 1 第5页 共 13 页 故...? ? . 7 7 P( B) 8 例 3. 一张储蓄卡的...
高中数学第二章概率22条件概率与事件的独立性221-222条...
高中数学第二章概率22条件概率与事件的独立性221-222条件概率与事件的独立性课堂新人教B版2-3. - 2.2.1-2.2.2 条件概率与事件的独立性 课堂导学 三点剖析...
2019年高考数学一轮复习 条件概率与事件的相互独立性
2019年高考数学一轮复习 条件概率与事件的相互独立性 - 第 75 讲 条件概率与事件的相互独立性 1.把一枚骰子连续地抛掷两次,记事件 M 为“两次得到的点数均为...
最新人教版高中数学选修2-3《条件概率与事件的独立性》...
最新人教版高中数学选修2-3《条件概率与事件的独立性》课后导练 - 课后导练 基础达标 1.P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB)=0.2,则 P(A|B)=___...
更多相关标签: