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2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题Word版含答案


北仑中学 2016 学年第一学期高二年级期中考试数学试卷
(除高二 4 班以外的其它所有班级) 命题:贺幼龙 审题:莫芬利

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,恰有一 项是符合题目要求的.答案请填在答题卷的表格中. 1.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的直观图是 ( ▲ )

A

B

C

D 第 1 题图

1 2.若将圆锥的高扩大到原来的 2 倍,底面半径缩短到原来的 ,则圆锥的体积 2 A.扩大到原来的 2 倍 B.缩小到原来的一半 C.不变 1 D.缩小到原来的 6

(▲)

3.若 m, n 为两条不同的直线, ? , ? 为两个不同的平面,则以下命题正确的是 ( ▲ ) A.若 m // ? , n ? ? ,则 m // n C.若 m // ? , n // ? ,则 m // n B.若 ? ? ? ? m , m ? n ,则 n ? ? D.若 m // ? , m ? ? , ? ? ? ? n ,则 m // n
1 2 正视图 1 1 1 1 俯视图 1 2 侧视图 1 1

第 4 题图 .. 4.如图,ABCD-A1B1C1D1 为正方体,下面结论错误的是 A.BD∥平面 CB1D1 C.AC1⊥平面 CB1D1 B.AC1⊥BD

第 5 题图 (▲)

D.异面直线 AD 与 CB1 所成的角为 60°

5.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. 8 ? 2? B. 8 ? ? C. 8 ? ? 2

( ▲ ) D. 8 ? ? 4

6.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 45° ,腰和上底均为 1 的等腰梯 形,那么原平面图形的面积是 A.2+ 2 1+ 2 B. 2 C. 2+ 2 2 D.1+ 2 ( ▲ ) ( ▲ )

7.下列四个命题中正确的命题有 ①过空间任何一点 P 可以作无数条直线与已知的异面直线 a , b 都相交; ②三个平面两两相交,有三条交线,则此三条交线或交于一点,或互相平行;

③直线 a ? 平面? ,直线 b ? 平面? ,则直线 a , b 所成角与平面 ? , ? 所成角相等或互补; ④ 平面? ? 平面? , m ? ? , n ? ? , m ? n ,则 m ? ? 或 n ? ? . A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

8.如图,正方体 ABCD ? A1 B 1C 1D 1 的棱长为 1,点 A 在平面 ? 内,点 E 是底面 ABCD 的 中心.若 C1 E ? 平面 ? ,则 ?C1 AB 在平面 ? 内的射影的面积为 A. 6
6

( ▲ ) D. 3
12

B. 6
12

C. 3
6

C1
D1
C
D E A B

A1

B1

?

第 8 题图

第 11 题图

第 12 题图

二、填空题:本大题共 7 小题,前 4 题每空 3 分,后 3 题每空 4 分,共 36 分.将正确答案填在 答题卷的横线上. 9.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,则其表面积为 ▲ ,其内切球的体积为 ▲ . 10.将一个边长分别是 2 cm 和 3 cm,两邻边夹角为 60° 的平行四边形绕其 3 cm 边上的高所 在直线旋转一周形成的简单几何体是 ▲ ,其体积为 ▲ cm3.

11.如图,P 是正方形 ABCD 外一点,且 PA ? 平面ABCD ,则此几何体的 5 个面中互相垂 直的面有 ▲ 对;若 PA ? AB ,则直线 PC 与平面 PAB 所成角的正切值为 ▲ .

12.一个几何体的三视图及部分数据如图所示,正视图、侧视图和俯视图都是等腰直角三角 形,则该几何体体积为 ▲ ,表面积为 ▲ .

A

E B C
第 13 题图 第 15 题图

D

13.如图,已知正三棱锥 A—BCD 侧面的顶角为 45° ,侧棱长为 a ,动点 E 在侧棱 AC 上运 动,则线段 BE、ED 长度和的最小值为 ▲ .

14.某几何体的其中一条棱的长是 7 ,此棱在正视图,侧视图,俯视图的射影线段长分别 是 6, a, b ,则 a,b 所满足的等量关系式是 ▲ .

15.如图,已知平面 ? ? 平面 ? , A、 B 是平面 ? 与 ? 的交线上的两个定点, DA ? ? ,

CB ? ? ,且 DA ? ? , CB ? ? , AD ? 4, BC ? 8, AB ? 6 ,在平面 ? 上有一个动点 P ,
使得 ?APD ? ?BPC ,则 ?PAB 的面积的最大值为 ▲ .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 14 分)已知在底面边长为 2 的正四棱锥 P-ABCD 中,侧棱与底面所成角 的大小为 60° . (1)求侧棱的长度; (2)求正四棱锥 P-ABCD的外接球的表面积.
P

A

D

B

C

第 16 题图

第 17 题图

17.(本题满分 15 分)如图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=BC=AA1=1,∠ABC=

90° . 点 E、F 分别是棱 AB、BB1 的中点. (1)求三棱锥 B-AFC 的体积; (2)求异面直线 EF 和 BC1 所成的角.
A C

18.(本题满分15分)如图1,平面四边形 ABCD关于直线 AC 对称, CD ? 2 ,

?A ? 60? , ?C ? 90? , 把 ?ABD 沿 BD 折 B
起(如图2)使二面角 A ? BD ? C 的余弦值 为

D C B 图2 D

3 .对于图2 3

(1)求 AC 的长; (2)证明: AC ? 平面 BCD ; (3)求直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦值.

A 图1

第 18 题图

19. (本题满分 15 分) 如图, 两矩形 ABCD ,ABEF 所在平面互相垂直,DE 与平面 ABCD 及平面 ABEF 所成角分别为 300 , 450 , M , N 分别为 DE 、DB 的中点,且 MN ? 1 . (1)求证: MN ? 平面 ABCD ; (2)求二面角 A ? DE ? B 的正弦值.

A B D C E F

第 19 题图

第 20 题图

20. (本题满分 15 分)如图,矩形 ABCD 所在的半平面和直角梯形 CDEF 所在的半平面 成 60 的二面角, DE // CF , CD ? DE, AD ? 2, EF ? 3 2, CF ? 6, ?CFE ? 45?.
?

(1)求证: BF ∥平面 ADE ;

(2)试问在线段 CF 上是否存在一点 G ,使锐二面角 B ? EG ? D 的余弦值为 请求出 CG 的值;若不存在,请说明理由.

1 .若存在, 4

北仑中学 2016 学年第一学期高二年级期中考试数学参考答案
(除高二 4 班以外的其它所有班级) 一.选择题 题号 答案 1 A 2 B 3 D 4 D 5 B 6 A 7 C 8 B

二.填空题

9._____6______ ___

? ____ 6
2 ___ 2

10.__圆台_____ ___

19 3? __ 3

11.______5_____ ____ 13. 15. 三.解答题 16.(本题满分 14 分) 12

12.___ 14.

1 ____ ____ 2 ? 3 __ 3
a2 ? b2 ? 8

2a

P

(1)2 (2)

A

D

16? 3

B

C

17. (本题满分 15 分)

(1)1/12 (2)

? 3

18.(本题满分 15 分)

解:(Ⅰ)取 由

的中点

,连接



,得:

就是二面角 在 中,

的平面角,

(Ⅱ)由



, 又 (Ⅲ)方法一:由(Ⅰ)知 ∴平面 作 平面 交 于 平面 ,则 平面 平面 平面 ,

平面 平面 ,

就是 方法二:设点

与平面 到平面

所成的角 的距离为 ,



于是 19. (本题满分 15 分)

与平面

所成角 的正弦为



H O

(1)证明:∵平面 ABCD⊥平面 ABEF,且平面 ABCD∩平面 ABEF=AB,EB ⊥AB, ∴EB⊥平面 ABCD, 又 MN∥EB, ∴MN⊥面 ABCD. (2)解:过 B 作 BO⊥AE 于 O 点,过 O 作 OH⊥DE 于 H,连 BH, ∵AD⊥平面 ABEF,BO ∴BO⊥平面 ADE, ∴OH 为 BH 在平面 ADE 内的射影, ∴BH⊥DE,即∠BHO 为所求二面角的平面角, 在 Rt△ABE 中,BO= , ,
B A

面 ABEF,

在 Rt△DBE 中,由 BH· DE=DB· OE 得 BH=

∴sin∠BHO=

.

D C G O HM

E F

20. (本题满分 15 分) 证明: (1)∵在矩形 ABCD 中 BC∥AD, AD?平面 ADE BC?平面 ADE, ∴BC∥平面 ADE, 同理 CF∥平面 ADE, 又∵BC∩CF=C, ∴平面 BCF∥平面 ADE, 而 BF?平面 BCF, ∴BF∥平面 ADE. (2)∵CD⊥AD,CD⊥DE ∴∠ADE 即为二面角 A-CD-F 的平面角, ∴∠ADE=60° 又∵AD∩DE=D, ∴CD⊥平面 ADE, 又∵CD?平面 CDEF ∴平面 CDEF⊥平面 ADE, 作 AO⊥DE 于 O,则 AO⊥平面 CDEF. 过 O 作 OH ? EH 于 H,连接 BH,易得 ?BHO 是锐二面角 B ? EG ? D 的平面角 因为 BO ? 3 ,易求得 OH ?

5 5
OH EM ? ,即 OG EG

取 CF 中 点 M, 易知 ?OHG 与 ?EMG 相 似,设 OG ? x ( x>0 ) ,则

5 1 13 3 5 ? ,解得 x ? 或 x ? ? (舍) 2 22 x 9 ? ( 2 ? x) 2
因此存在符合题意的点 G,使得 CG=

3 . 2


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