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人教版高中数学选修1-1 第二章《圆锥曲线与方程》师用


选修 1-1 第二章《圆锥曲线与方程》
§2.1.1 椭圆及其标准方程
【知识要点】
? 椭圆的定义:到两个定点 F1、F2 的距离之和等于定长( ? F 1F 2 )的点的轨迹.

?

x2 y 2 标准方程:(1) 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? , c ? a2 ? b2 ,焦点是 F1(-c,0),F2(c,0); a b
(2)

y 2 x2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? , c ? a2 ? b2 ,焦点是 F1(0,-c),F2(0,c). 2 a b

【例题精讲】 【例 1】两个焦点坐标分别是(-4,0)、(4,0),椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于 10,写出椭圆的
标准方程.

【例 2】已知椭圆的两个焦点坐标分别是(0,-2)和(0,2)且过 ? ? , ? ,求椭圆的标准方程.

? 3 5? ? 2 2?

点评:题(1)根据定义求.若将焦点改为(0,-4)、(0,4)其结果如何;题(2)由学生的思考 与练习,总结有两种求法:其一由定义求出长轴与短轴长,根据条件写出方程;其二是由已知焦距, 求出长轴与短轴的关系,设出椭圆方程,由点在椭圆上的条件,用待定系数的办法得出方程.

第 1 页 共 33 页

【例 3】判断下列方程是否表示椭圆,若是,求出a,b,c 的值.

【例 4】已知 ΔABC 的一边 BC 的长为 6,周长为 16,求顶点 A 的轨迹方程.

【基础达标】
1.椭圆 A.5 2.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上一点P 到一个焦点的距离为5,则 P 到另一个焦点的距离为( 25 9
B.6 C.4 D.10 )



x2 y 2 ? ? 1 上任一点P 到两个焦点的距离的和为( 13 12
B.24 C.2

A.26

D. 2 13

3.已知F1,F2 是椭圆 ( A.10 )

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点,过F1 的直线交椭圆于M,N 两点,则△MNF2 周长为 25 9

B.16

C.20

D.32

4.椭圆的两个焦点分别是 F1(-8,0)和 F2(8,0),且椭圆上一点到两个焦点距离之和为 20,则此椭 圆的标准方程为( A. ) B.

x2 y 2 ? ?1 20 12

x2 y2 ? ?1 400 36

C.

x2 y 2 ? ?1 100 36

D.

x2 y2 ? ?1 36 100

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5.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦距是 2,则m 的值为( m 4
B.8 C.5

) D.16 .

A.5 或3 6.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的焦距是 16 9

,焦点坐标为

7.焦点为(0,4)和(0,-4),且过点

?

5,-3 3 的椭圆方程是

?



1~5 ADCCA

【能力提高】
8.如果方程x2+ky2=2 表示焦点在y 轴上的椭圆,求实数k 的取值范围.

9.写出适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)a=4,b=3,焦点在 x 轴; (2)a=5,c=2,焦点在 y 轴上.

10.求到定点(2,0)与到定直线 x=8 的距离之比为

2 的动点的轨迹方程. 2

§2.1.2 椭圆的简单几何性质(一)
【知识要点】
? ? ? 熟练掌握椭圆的范围,对称性,顶点,离心率等简单几何性质.
新 疆新 王 敞

掌握标准方程中 a,b,c 的几何意义,以及 a,b,c,e 的相互关系.


理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法.
新 王 疆新 敞 屯

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【例题精讲】 【例 1】已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正

方形,且离心率为

2 ,求椭圆的方程. 2

【例 2】已知 x 轴上的一定点A(1,0),Q 为椭圆

x2 ? y 2 ? 1上的动点,求AQ 中点M 的轨迹方程. 4

【例 3】椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上有一点 P,它到椭圆的左焦点F1 的距离为 8,求△PF1F2 的面积. 100 36

【例 4】设 P 是椭圆
值.

x2 ? y 2 ? 1? a ? 1? 短轴的一个端点,Q 为椭圆上的一个动点,求 PQ 的最大 2 a

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【基础达标】
1.已知 P 是椭圆 距离是( A.

34 x2 y 2 ? ? 1 上的一点,若 P 到椭圆右焦点的距离是 ,则 P 点到椭圆左焦点的 5 100 36

) B.

16 5

66 5

C.

75 8

D.

77 8


2.若焦点在x 轴上的椭圆 A. 3

1 x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 ,则 m =( 2 2 m

B.

3 2

C.

8 3

D.

2 3 1 ,则椭圆的方程是( 3
D. )

3.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,且长轴长为 12,离心率为

A.

x2 y2 ? ?1 144 128

B.

x2 y 2 ? ?1 36 20

C.

x2 y 2 ? ?1 32 36

x2 y 2 ? ?1 36 32

4.设定点 F1(0,-3)、F2(0,3),动点 P 满足条件 PF1 ? PF2 ? a ? 是( A.椭圆 ) B.线段 C.不存在

9 ? a ? 0 ? ,则点 P 的轨迹 a

D.椭圆或线段 )

5.若椭圆短轴长等于焦距的 3 倍,则这个椭圆的离心率为(

A.

1 4

B.

2 2

C.

2 4

D.

1 2


6. 已知椭圆 C 的短轴长为 6, 焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于 9, 则椭圆 C 的离心率等于 7.离心率 e ?

1 ,一个焦点是F(0,-3)的椭圆标准方程为 2



1~5 BBDDD

【能力提高】
第 5 页 共 33 页

8.求过点 A(-1,-2)且与椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点相同的椭圆标准方程. 6 9

9.已知椭圆的对称轴为坐标轴,离心率 e ?

2 ,短轴长为 8 5 ,求椭圆的方程. 3

10.设有一颗卫星沿一椭圆轨道绕地球运行,地球恰好位于椭圆轨道的焦点处,当此卫星离地球相 距m 万千米和

4 ? ? m 万千米时,经过地球和卫星的直线与椭圆的长轴夹角分别为 和 ,求该卫星与 3 2 3

地球的最近距离.

§2.1.2 椭圆的简单几何性质(二)
【知识要点】
? ? 掌握椭圆范围、对称性、顶点、离心率、准线方程等几何性质. 能利用椭圆的有关知识解决实际问题,及综合问题.

【例题精讲】
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【例 1】已知椭圆 C 的焦点 F1 ?2 2, 0 和 F2 2 2, 0 ,长轴长 6,设直线 y=x+2 交椭圆 C 于 A、
B 两点,求线段 AB 的中点坐标.

?

?

?

?

【例 2】椭圆的中心为点 E( -1, 0) ,它的一个焦点为 F( -3, 0) ,且椭圆的离心率 e ?
这个椭圆的方程.

2 5 ,求 5

【例 3】已知椭圆
相切的圆的方程.

x2 ? y 2 ? 1的左焦点为 F,O 为坐标原点,求过点 O、F,并且与直线 l:x=-2 2

【例 4】如图,把椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的长轴 AB 分成 8 等份,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半 25 16

部分于P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7 七个点, F 是椭圆的一个焦点, 则 PF ?P 1 2F + P 3F + P 4F + P 5F +

P 6F + P 7F ?



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F

【基础达标】
1.椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上的点P 到它的左焦点的距离是12,那么点P 到它的右焦点的距离是( 100 36
B.12 C.10 D.8



A.15

x2 y 2 ? 1? a ? 5? 的两个焦点为 F1、F2,且|F1F2|=8,弦AB 过点F1,则△ABF2 的周长 2.已知椭圆 2 ? a 25
为( A.10 ) B.20 C. 2 41 D. 4 41 )

3.椭圆 A.9

x2 y 2 ? ? 1 的焦点F1、F2, P 为椭圆上的一点,已知PF1⊥PF2,则△F1PF2 的 面积为( 25 9
B.12 C.10 D.8 )

x2 y 2 ? ? 1 上的点到直线 x+2y ? 2 =0 的最大距离是( 4.椭圆 16 4
A.3 B. 11 C. 2 2

D. 10

5.如果椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( 36 9
B.x +2 y-4=0 C.2x+3 y-12=0



A.x-2 y=0

D.x+2 y-8=0 .

x2 y 2 ? ? 1 具有相同的离心率且过点(2, ? 3 )的椭圆的标准方程是 6.与椭圆 4 3
7.离心率 e ?

5 ? 5 ? ,一个焦点的坐标为 ? ? , 0 ? 的椭圆的标准方程是 3 ? 3 ?



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1~5 DDBAD

【能力提高】
8.已知椭圆 标.

x2 y 2 ? ? 1 上的点 P 到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等差中项,求P 点坐 9 4

9.过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 内一点D(1,0)引动弦AB,求弦AB 的中点M 的轨迹方程. 9 4

10.椭圆 定值.

1 x2 y 2 2 2 ? ? 1 上有两点P、Q,O 是原点,若OP、OQ 斜率之积为 ? .求证 OP ? OQ 为 4 16 4

§2.2.1 双曲线及其标准方程
【知识要点】
? ? 掌握双曲线的定义,熟记双曲线的标准方程; 掌握双曲线标准方程的推导,会求动点轨迹方程;

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? ?

会按 y2 特定条件求双曲线的标准方程; 理解双曲线与椭圆的联系与区别.

【例题精讲】 【例 1】判断下列方程是否表示双曲线,若是,求出三量a,b,c 的值 .

【例 2】已知双曲线的焦点在 y 轴上,中心在原点,且点 P ,5 ? 在此双曲 1 3, ? 4 2 、 P 2?
线上,求双曲线的标准方程.

?

?

?9 ?4

? ?

x2 y 2 【例 3】点A 位于双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 上,F1,F2 是它的两个焦点,求△AF1F2 的重心 a b
G 的轨迹方程.

【例 4】已知三点 P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0).
(1)求以 F1、F2 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程;
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(2)设点P、F1、F2 关于直线y=x 的对称点分别为P'、F1'、F2',求以 F1'、F2'为焦点且过点 P'的双曲线 的标准方程.

【基础达标】

x2 y2 ? ? 1 的焦距是( 1.双曲线 2 m ? 12 4 ? m2
A.4 B. 2 2 C.8



D.与m 有关

2.椭圆

x2 y 2 x2 y 2 + 2 ? 1 和双曲线 2 ? ? 1 有相同的焦点,则实数n 的值是( 34 n n 16
B. ? 3 C.5 D.9 )



A. ? 5

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1 与双曲线 2 ? 2 ? 1 有( 3.若 0 ? k ? a ,双曲线 2 a ? k b2 ? k a b
A.相同的虚轴 4.过双曲线 A.28 B.相同的实轴 C.相同的渐近线

D.相同的焦点 )

x2 y 2 ? ? 1 左焦点 F1 的弦 AB 长为 6,则△ABF2(F2 为右焦点)的周长是( 16 9
B.22 C.14 D.12

x2 ? y 2 ? 1的焦点,点 P 在双曲线上,且∠F1PF2=90°,则点P 到 x 轴的距离 5.设 F1,F2 是双曲线 4
为( )

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A.1

B.

5 5

C.2

D. 5 .

6.到两定点 F1(-3, 0)、F2(3,0)的距离之差的绝对值等于6 的点M 的轨迹是 7.方程

x2 y2 + ? 1 表示双曲线,则k 的取值范围是 1? k 1? k



1~5 CBDAB

【能力提高】
8.求与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 有公共焦点,且过点( 3 2 ,2)的双曲线方程. 16 4

9. 如图, 某农场在P 处有一堆肥, 今要把这堆肥料沿道路PA 或PB 送到庄稼地ABCD 中去, 已知PA=100 m,PB=150m,∠APB=60° .能否在田地ABCD 中确定一条界线,使位于界线一侧的点,沿道路PA 送 肥较近;而另一侧的点,沿道路PB 送肥较近? 如果能,请说出这条界线是一条什么曲线,并求出其 方程.

10.已知点 A ? 3, 0 和 B

?

?

?

3, 0 ,动点 C 到 A、B 两点的距离之差的绝对值为 2,点 C 的轨迹与

?

直线 y=x-2 交于D、E 两点,求线段DE 的长.

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§2.2.2 双曲线的简单几何性质(一)
【知识要点】
? ? 掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质.
新 疆新 王 敞

掌握等轴双曲线,共轭双曲线等概念.



【例题精讲】

y2 ? 1的顶点坐标、焦点坐标,实半轴长、虚半轴长和渐近线方程. 【例 1】求双曲线 x ? 4
2

【例 2】求一条渐近线方程是3x+4y=0,一个焦点是(4,0)的双曲线标准方程,并求此双曲线的离
心率.

【例 3】求与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 共渐近线且过A( 3 3 ,-3)的双曲线的方程. 16 9

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【例 4】已知△ABC 的底边 BC 长为12,且底边固定,顶点 A 是动点,使 sin B-sin C=
点A 的轨迹.

1 sin A,求 2

【基础达标】
1.下列方程中,以 x± 2y=0 为渐近线的双曲线方程是( A. )

x2 y 2 ? ?1 16 4

B.

x2 y 2 ? ?1 4 16

C.

x2 ? y2 ? 1 2

D. x ?
2

y2 ?1 2

2.已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线方程为(



x2 y 2 ? ?1 A. 4 12

x2 y 2 ? ?1 B. 12 4

x2 y 2 ? ?1 C. 10 6

x2 y 2 ? ?1 D. 6 10


3.过点(3,0)的直线 l 与双曲线4x2-9y2=36 只有一个公共点,则直线 l 共有( A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4 条 )

4.方程 mx2+ny2+mn=0(m<n<0)所表示的曲线的焦点坐标是(

? m?n A. 0,

?

?

? n?m B. 0,

?

?

0 C. ? m ? n,

?

?

0 D. ? n ? m,

?

?

5.与双曲线

x2 y 2 ? ? 1 有共同的渐近线,且经过点 A(-3, 2 3 )的双曲线的一个焦点到一条渐近 9 16


线的距离是(
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A.8

B.4

C.2

D.1 . .

6.双曲线 9y2-4x2=36 的渐近线方程是

7.经过点 M(3,-1),且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是

1~5 AACBC

【能力提高】
8.求一条渐近线方程是3x+4y=0,一个焦点是(5,0)的双曲线标准方程,并求此双曲线的离心率.

5? x2 y 2 + ? 1 的顶点为焦点,且一条渐近线的倾斜角为 9.求以椭圆 的双曲线方程. 6 64 16

10.已知双曲线的方程是16x2-9y2=144. (1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程; (2)设F1 和F2 是双曲线的左、右焦点,点P 在双曲线上,且|PF1|· |PF2|=32,求∠F1PF2 的大小.

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§2.2.2 双曲线的简单几何性质(二)
【例题精讲】 【例 1】如果双曲线的两个焦点分别为 F1(-3,0)、F2 (3,0),一条渐近线方程为 y ? 2 x ,那么
它的离心率是( A. 6 3 ) B.4 C.2 D. 3

【例 2】 过双曲线
的长.

? x2 y 2 ? ? 1 的左焦点 F1, 作倾斜角为? = 的直线与双曲线交于两点 A、 B, 求 AB 4 9 16

【例 3】已知动点P 与双曲线x2-y2=1 的两个焦点 F1,F2 的距离之和为定值,且cos∠F1PF2 的最小
值为 ?

1 .求动点 P 的轨迹方程. 3

【例 4】 已知不论b 取何实数, 直线y=kx+b 与双曲线x2-2y 2=1 总有公共点, 试求实数k 的取值范围.

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【基础达标】
1.到两定点 F1(-3,0)、F2 (3,0) 的距离之差的绝对值等于6 的点M 的轨迹( A.椭圆 B.线段 C.双曲线 ) D. 3 ) D.两条射线 )

4.双曲线的两个顶点将焦距三等分,则它的离心率为( A.

3 2
y

B.3

C.

4 3

5. 已知m, n 为两个不相等的非零实数, 则方程 mx-y+n=0 与nx2+my2=mn 所表示的曲线可能是 ( y y x o y

o

x

o

x

o

x

A

B

C .

D

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点到右顶点的距离为 6.双曲线 9 7

x2 y 2 3 5 + ? 1 有相同的焦点,且离心率为 7.与椭圆 的双曲线方程为 16 25 5



1~5 DDCBC

【能力提高】

8.设双曲线

x2 y 2 ? ? 1? 0 ? a ? b ? 的半焦距为 c,直线 l 过(a,0),(0,b)两点,已知原点到直线 l a 2 b2

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的距离为

3 c ,求此双曲线的离心率. 4

x2 ? y 2 ? 1的弦所在直线方程. 9.求过点 M (3,-1)且被点 M 平分的双曲线 4

10.设双曲线 C1 的方程为

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? ,A、B 为其左、右两个顶点,P 是双曲线 C1 上 a 2 b2

的任意一点,引 QB⊥PB,QA⊥PA,AQ 与 BQ 交于点Q,求Q 点的轨迹方程.

§2.3.1 抛物线及其标准方程
【知识要点】
? ? ? 掌握抛物线的定义. 标准方程的不同形式及其推导过程. 熟练画出抛物线的草图,求出抛物线的标准方程、焦点、准线方程.

【例题精讲】 【例 1】已知抛物线的标准方程是:(1)y2=12x,(2)y=12x2,求它的焦点坐标和准线方程.

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【例 2】求满足下列条件的抛物线的标准方程:
(1)焦点坐标是F(-5,0); (2)经过点A(2,-3)

【例 3】直线 y=x-3 与抛物线 y 2=4 x 交于A,B 两点,过 A,B 两点向抛物线的准线作垂线,垂足分
别为P,Q,则梯形 APQB 的面积为( A.48 B.56 C.64 ) D.72

【例 4】斜率为1 的直线经过抛物线 y 2=4 x 的焦点,与抛物线相交于两点A、B,求线段AB 的长.
新 王 疆新 敞 屯

第 19 页 共 33 页

【基础达标】
1.抛物线 y2=ax(a≠0)的准线方程是( A. x ? ? ) C. x ? ?

a 4

B. x ?

a 4

a 4

D. x ?

a 4


2.抛物线的顶点在原点,对称轴为x 轴,焦点在直线3x-4y-12=0 上,此抛物线的方程是( A.y2=16x B.y2=12x C.y2=-16x ) D.y2=-12x

3.焦点在直线3x-4y-12=0 上的抛物线标准方程是( A.y2=16x 或x2=16y C.x2=-12y 或y2=16x

B.y2=16x 或x2=12y D.x2=16y 或y2=-12x

4.已知 M(m,4)是抛物线 x2=ay 上的点,F 是抛物线的焦点,若|MF|=5,则此抛物线的焦点坐标 是( ) B.(0,1) C.(0,-2) D.(0,2) )

A.(0,-1)

5.过抛物线 y2=4x 的焦点F 作倾斜角为 A. 4 2 B.4

3? 的直线交抛物线于A、B 两点,则AB 的长是( 4
D.2 .

C.8

6.顶点在原点,焦点在y 轴上,且过点P(4,2)的抛物线方程是

7.平面上的动点 P 到点A(0,-2)的距离比到直线l:y=4 的距离小2,则动点 P 的轨迹方程 是 1~5 AACBC .

【能力提高】

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8.点 M 到点(0,8)的距离比它到直线y=-7 的距离大1,求M 点的轨迹方程.

9.抛物线y2=16x 上的一点P 到x 轴的距离为12,焦点为F,求|PF|的值.

10.抛物线拱桥跨度为 52 米,拱顶离水面 6.5 米,一竹排上有一 4 米宽 6 米高的大木箱,问此木排 能否安全通过此桥? y O x

§2.3.2 抛物线的简单几何性质(一)
【知识要点】
? ? 抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质; 能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论;注意数与形的结合.

【例题精讲】 【例 1】已知抛物线关于 x 轴为对称轴,它的顶点在坐标原点,并且经过点 M 2, ?2 2 ,求它的
标准方程.

?

?

第 21 页 共 33 页

【例 2】过抛物线 y 2=2px 的焦点F 任作一条直线m,交这抛物线于 A、B 两点,求证:以AB 为直径
的圆和这抛物线的准线相切.

【例 3】正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线 y 2=2px ? p ? 0? 上,求这个正三角
形的边长.

【例4】抛物线x2=4y 的焦点为F,过点(0,-1)作直线L 交抛物线A、B 两点,再以AF、BF 为邻
边作平行四边形FARB,试求动点R 的轨迹方程.

【基础达标】
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1.过抛物线y 2=4 x 的焦点作直线交抛物线于 A ? x1 , y1 ? ,B ? x2 , y2 ? 两点, 如果 x1 ? x2 ? 6 ,那么|AB| =( A.10 ) B.8 C.6 D.4 )

2.顶点在原点,焦点在y 轴上,且过点P(4,2)的抛物线方程是( A.x2=8y B.x2=4y C.x2=2y D.x2=

1 y 2

3.已知 M 为抛物线 y 2=4 x 上一动点,F 为抛物线的焦点,定点 P( 3,1),则 MP ? MF 的最小值 为( A.3 ) B.4 C.5 D.6 )

4.已知抛物线y 2=-12x 上一点P (x 0,y0 )到焦点的距离为8,则x0 的值为( A.-5 B.5 C.-4 D.4

5.抛物线y2=8x 上一点P 到顶点的距离等于它们到准线的距离,这点坐标是( A. ? 2, 4 ? B. ? 2, ?4 ? C. 1, 2 2



?

?

D. 1, ?2 2

?

?

6.抛物线2y2+5x=0 的准线方程是



7.过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A、B 两点,若A、B 在准线上的射影是A2,B2,则∠A2FB2 等 于 .

1~5 BABAD

【能力提高】

x2 y 2 8.抛物线顶点在原点,它的准线经过双曲线 2 ? 2 ? 1 的一个焦点,并且这条准线与双曲线的实 a b
轴垂直,又抛物线与双曲线交于点 ? ,6 ? ,求二者的方程.

?3 ?2

? ?

第 23 页 共 33 页

9.顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上的抛物线被直线 y=2 x+1 截得的弦长为 15 ,求抛物线的方程.

10.设抛物线 y 2=2px ? p ? 0? 的焦点 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点,点 C 在抛物线的准 线上,且BC∥轴.证明:直线 AC 经过原点O.

§2.3.2 抛物线的简单几何性质(二)
【例题精讲】 【例1】过抛物线y 2=2 x 的顶点作互相垂直的二弦OA、OB.
(1)求AB 中点的轨迹方程. (2)证明:AB 与x 轴的交点为定点.

第 24 页 共 33 页

【例2】已知点 A(2,8),B(x1,y1),C(x2,y2)在抛物线 y 2=2px 上,△ABC 的重心与此抛物线
的焦点F 重合. (1)写出该抛物线的方程和焦点 F 的坐标; (2)求线段 BC 中点M 的坐标; (3)求BC 所在直线的方程.

【例 3】抛物线y=-x 2 上的点到直线4 x+3y-8=0 距离的最小值是(
A.



4 3

B.

7 5

C.

8 5

D. 3

第 25 页 共 33 页

【基础达标】
1.已知抛物线的顶点在原点,对称轴是坐标轴,且焦点在直线3x-4y-12=0 时,则此抛物线的方 程是( A.y 2=16x ) B.x2=-12y C.y 2=8x 或 x2=-6y D.y 2=16x 或 x2=-12y )

2.抛物线的顶点在原点,对称轴是 x 轴,点 ?5, 2 5 到焦点距离是 6,则抛物线的方程为( A.y 2=-4x B、y 2=-2x C、y 2=2 x D、y 2=-4x 或 x2=-36y

?

?

3.在抛物线y=x 2 上有三点A、B、C,其横坐标分别为-1,2,3,在 y 轴上有一点 D 的纵坐标为6,那么 以A、B、C、D 为顶点的四边形是( A.正方形 B.平行四边形 ) C.菱形 D.任意四边形

4.抛物线y 2=4 x 的焦点 F,准线为 l,交x 轴于R,过抛物线上一点P(4,4)作PQ⊥l 于 Q,则梯形 PFRQ 的面积是( A.12 ) C.16 D.18 ) D.(2,0)

B.14

5.抛物线y 2=-4x 关于直线x+y=2 对称的曲线的顶点坐标为( A.(2,2) B.(0,0) C.(-2,-2)

6.若动点 M(x,y)到点 F(4,0)的距离比它到直线 x+5=0 的距离小 1,则 M 点的轨迹方程 是 . .

7. 抛物线 y 2=4 x 的弦 AB 垂直于 x 轴, 若 AB 的长为 4 3 , 则焦点到 AB 的距离为 1~5 DABBA

【能力提高】
8.经过抛物线y 2=-8x 的焦点且和抛物线的对称轴成60°角的直线与抛物线交 A、B 两点,求|AB|.

第 26 页 共 33 页

9.求过 A(-1,1),且与抛物线 y=x 2+2 有一个公共点的直线方程.

7 , 过C 上一点M, 且与M 处的切线垂直的直线称为C 在点M 的法线. 若 2 1 C 在点M 的法线的斜率为 ? ,求点M 的坐标(x0 ,y0 ) . 2
10. 已知抛物线C: y=x2+4x+

第二章 圆锥曲线复习(一)
【知识要点】
? ? ? 椭圆定义,椭圆的标准方程,椭圆的性质. 双曲线的定义,双曲线的标准方程及特点,双曲线的几何性质. 抛物线定义,抛物线的几何性质.

【例题精讲】 【例 1】椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且这个焦点
到长轴上较近顶点的距离是 10 ? 5 ,求椭圆方程.

第 27 页 共 33 页

【例 2】已知双曲线

x2 ? 1? ? y 2 ? 1和定点 P ? 2, ? . 4 ? 2?

(Ⅰ)过P 点可以做几条直线与双曲线C 只有一个公共点; (Ⅱ)双曲线 C 的弦中,以P 点为中点的弦P1P2是否存在? 并说明理由.

【例 3】已知点A( 0, 2)及椭圆

x2 2 +y ? 1 ,在椭圆上求一点P 使 PA 的值最大. 4

【例 4】己知点 P 在抛物线 x2=y 上运动,Q 点的坐标是(-1,2),O 是原点,OPQR(O、P、Q、R
顺序按逆时针)是平行四边形,求R 点的轨迹方程.

【基础达标】
1.平面上到定点A(1,1)和到定直线l:x+2 y=5 距离相等的点的轨迹为(
第 28 页 共 33 页



A.直线

B.抛物线

C.双曲线 )

D.椭圆

2.若椭圆 2kx2+ky2=1 的一个焦点坐标是(0,4),则k 的值为( A.

1 8

B.

1 32

C. 2

D.

3 16


3.椭圆

x2 y 2 + ? 1 上的点M 到焦点F1 的距离是2,N 是M F1 的中点,则 ON 为( 25 9
B.2 C.8 D.

A.4

3 2


4.如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么该双曲线的离心率为( A.

3 2

B.

6 2

C.

3 2

D. 2

5.椭圆 A.5

x2 y 2 + ? 1 的两焦点F1,F2,过 F2 引直线 L 交椭圆于 A、B 两点,则 △ABF1 的周长为( 25 9
B.15 C.10 D.20 .



6.在抛物线y 2=2px 上,横坐标为4 的点到焦点的距离为5,则 p 的值为

7.若椭圆的两个焦点为F1(-4,0)、F2(4,0),椭圆的弦AB 过点F1,且△ABF2 的周长为20,那么该 椭圆的方程为 .

1~5 BBACD

【能力提高】
8.若双曲线的两条渐进线的夹角为60°,求该双曲线的离心率.

9.正方形的一条边AB 在直线 y=x+4 上,顶点C、D 在抛物线 y2=x 上,求正方形的边长.

10.若椭圆x2+4(y-a)2=4 与抛物线x2=2y 有公共点,求实数a 的取值范围.

第 29 页 共 33 页

第二章 圆锥曲线复习(二)
【例题精讲】 【例 1】已知直线 l 交椭圆

x2 y 2 + ? 1 于 M、N 两点,B(0,4)是椭圆的一个顶点,若△BMN 的 20 16

重心恰是椭圆的右焦点,求直线 l 的方程.

【例 2】已知倾斜角为

? 的直线 l 被双曲线 x2-4y2=60 截得的弦长 AB ? 8 2 ,求直线 l 的方程及 4

以 AB 为直径的圆的方程.

【例 3】已知直线 l:x=-1,点 F(1,0),以 F 为焦点,l 为准线的椭圆中,短轴一端点为 B,P
为 FB 的中点. (Ⅰ)求 P 点的轨迹方程,并说明它是什么曲线; (Ⅱ)M(m,0)为定点,求|PM|的最小值.

第 30 页 共 33 页

【例 4】已知两定点 A(-2,0),B(1,0),如果动点 P 满足 PA ? 2 PB ,求点 P 的轨迹所
包围的图形的面积.

【基础达标】
1.已知 M(-2,0),N(2,0), PM ? PN ? 4 ,则动点 P 的轨迹是( A.双曲线 B.双曲线左支 C.一条射线 ) D.双曲线右支 )

2.若圆x2+y 2=4 上每个点的横坐标不变.纵坐标缩短为原来的

1 ,则所得曲线的方程是( 3
D.

A.

x2 y 2 + ?1 4 12

B.

x2 y 2 + ?1 4 36

C.

x2 9 y2 + ?1 4 4

x2 y 2 + ?1 36 4

x2 y 2 + ? 1 的两焦点,过点 F2 的直线交椭圆于点 A,B,若 AB ? 5 ,则 3.已知 F1,F2 是椭圆 16 9

AF1 ? BF2 ? (
A.3 4.曲线
2

) C.13
2

B.8

D.16 )

? x ? 2? ? ? y ? 2?
B.

?

3x ? 4 y ? 6 的离心率为( 5
C.2

A.

1 10

1 2

D.无法确定

第 31 页 共 33 页

5.抛物线y 2=

1 x 关于直线x-y=0 对称的抛物线的焦点坐标是( 4
B. ?



A.(1,0)

?1 ? , 0? ? 16 ?

C.(0,1)

D. ? 0, ? . .

? 1? ? 16 ?

6.与椭圆 4x2 + 9y2=36 有相同的焦点,且过点(-3,2)的椭圆方程为 7. 以双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的中心为顶点, 且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 4 5

1~5CCABD

【能力提高】
8.设 F1,F2 为双曲线 的面积.

x2 ? y 2 ? 1的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足∠F1PF2=90°,求△F1PF2 4

9.设抛物线y2=8x 的准线与 x 轴交于点 Q,若过点Q 的直线 l 与抛物线有公共点,求直线l 的斜率的 取值范围.

第 32 页 共 33 页

10.设椭圆

x2 y 2 x2 + ? 1 和双曲线 ? y 2 ? 1的公共焦点为 F1,F2,P 是两曲线的一个公共点,求 3 6 2

cos∠F1PF2 的值.

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