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河北省衡水中学11—12学年高二数学下学期三调考试 理【会员独享】

2011—2012 学年度高二下学期三调考试高二年级(理科)数学试卷

一、选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的 序号填涂在答题卡上)
4 2 1.如果函数 f ( x ) ? x ? x ,那么 f ? ( i ) ? (

) (i 是虚数单位) D.-6i

A.-2i

B.2i

C.6i

2. 若一个三角形能分割为两个与自己相似的三角形,那么这个三角形一定是( ) A.锐角三角形 B. 直角三角形
2

C. 钝角三角形

D. 不能确定 ) D. [-2, 9]

3. 函数 f ? x ? ? ? x ? 2 ? ? x ? 1 ? 在区间 ? 0 , 2 ? 上的值域为( A. [-2,0 ] B. [-4,1] )
1

C. [-4,0 ]

4. 下列等于 1 的积分是( A. ? x dx
0 1

B. ? ( x ? 1)dx
0

C. ? 1dx
0

1

D. ?

1

1 2

dx

0

5. 如图,⊙O 的直径 A B =6 cm, P 是 A B 延长线上的一 点,过 P 点作⊙O 的切线,切点为 C ,连接 A C , 若
? C PA ? 30°,PB 的长为(

C A

)cm.

O

B

P

A. 3 3 C.4

B. 2 3 D.3

6.家电下乡政策是应对金融危机,积极扩大内需的重要举措.我市某家电制造集团为尽快实 现家电下乡提出四种运输方案,据预测,这四种方案均能在规定的时间 T 内完成预期运输 任务 Q0,各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如下图所示,在这四种方案中,运输 效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )

7.将 y ? f ( x ) 的图象的横坐标伸长为原来的 3 倍,纵坐标缩短为原来的 的解析式为( A. y ? 3 f (3 x ) ) B. y ?
1 3 f ( 1 3 x )

1 3

,则所得函数

C. y ?

1 3

f (3 x )

D. y ? 3 f ( x )
3

1

8.如图所示, 圆的内接 ? ABC 的 ? C 的平分线 CD 延长后交圆于点 E , 连接 BE ,
用心 爱心 专心 -1-

已知 BD ? 3 , CE ? 7 , BC ? 5 , 则线段 BE ? ( A.
15 7

)

B.

21 5

C.

35 3

D.4
1 2 1 3 1 2 ?1
n ?

9. 用数学归纳法证明:1+

+

+? ?

? n , ( n ? N , n ? 1) 时,在第二步证明从 n=k 到

n=k+1 成立时,左边增加的项数是( A. 2
k


k ?1

B. 2 ? 1
k

C. 2

D. 2 ? 1
k

10.在极坐标系中,圆 ? ? 2 co s ? 与方程 ? ?

π 4

( ? ? 0 )所表示的图形的交点的极坐标是 ( ).

A. ? 1 , 1 ?

B. ? 1 ,
?

?

π? ? 4?

C. ? 2 ,
?

?

π? ? 4?

D. ? 2 ,
?

?

π? ? 2?

11. AB 是圆 O 的直径,EF 切圆 O 于 C,AD⊥EF 于 D,AD=2,AB=6,则 A C 长 为 ( A. 2 3 B.3
?
3

).

C. 2 2

D.2 1 ,b=log32,则下列 2

12.函数 f(x)=sinx+2x f ? ( 关系正确的是( A.f(a)>f(b) )

) , f ? ( x ) 为 f(x)的导函数,令 a=-

B.f(a)<f(b)

C.f(a)=f(b)

D.f(|a|)<f(b)

第Ⅱ卷(共90分) 二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分) 13.若 m ? R ,复数(2m -3m-2)+(m -3m+2) i 表示纯虚数的充要条件是 14.定积分 ?
2 ?2

2

2

.

4 ? x dx =___________.
2

15.把极坐标系中的方程 ? cos( ? ? 直角坐标形式下的方程为

?
3

) ? 2 化为

C . A F O D B P

16.如右图,圆 O 的割线 PBA 过圆心 O, 弦 CD 交 PA 于点 F,且△COF∽△PDF,

PB = OA = 2,则 PF =

.

三、解答题(共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 10 分)
用心 爱心 专心 -2-

极坐标系的极点是直角坐标系的原点,极轴为 x 轴正半轴。 已知曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? , 曲线 C 2 的参数方程为 ?
? x ? 2 ? t cos ? ?y ? 3 ? t sin ? ( 其中 t 为参数,

? 为字母常数且

? ? [ 0 , ? ))

(1) 求曲线 C 1 的直角坐标方程和曲线 C 2 的普通方程; (2) 当曲线 C 1 和曲线 C 2 没有公共点时,求 ? 的取值范围。

18. (本题满分 12 分) 如图,C 点在圆 O 直径 BE 的延长线上,CA 切圆 O 于 A 点,
? ACB 的平分线 DC 交 AE 于点 F ,交 AB 于 D 点.

(I)求 ? A D F 的度数; (II)当 AB ? AC 时,求证: ? ACE ∽ ? BCA ,并求相似比
AC BC

的值.

19. (本题满分 12 分) 二 次 函 数 f (x ) , 又 y ? f (x ) ?
f ?( x ) ? 1 ? 2 x .
1 4

的图像与 x 轴有且仅有一个公共点,且

(1)求 f ( x ) 的表达式. (2)若直线 y ? kx 把 y ? f ( x ) 的图象与 x 轴所围成的图形的面积二等分,求 k 的值. 20. (本题满分 12 分) 某班一信息奥赛同学编了下列运算程序,将数据输入满足如下性质: ①输入 1 时,输出结果是
1 4



②输入整数 n ( n ? 2 ) 时,输出结果 f ( n ) 是将前一结果 f ( n ? 1) 先乘以 3n-5,再除以 3n+1. (1) 求 f(2),f(3),f(4); (2) 试由(1)推测 f(n)(其中 n ? N * )的表达式,并给出证明.

用心

爱心

专心

-3-

21.(本题满分 12 分) 如图所示,已知 PA 切圆 O 于 A,割线 PBC 交圆 O 于 B、C, PD ? AB 于 D,PD 与 AO 的延长 线相交于点 E,连接 CE 并延长交圆 O 于点 F,连接 AF。 (1)求证:B,C,E,D 四点共圆; (2)当 AB=12, tan ? EAF
? 2 3

时,求圆 O 的半径.

22. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? x ?
3

3 2

a x ? b , a , b 为实数, 1 ? a ? 2 .
2

(Ⅰ)若 f ( x ) 在区间 [ ? 1, 1] 上的最小值、最大值分别为 ? 2 、1,求 a 、 b 的值; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求经过点 P ( 2, 1) 且与曲线 f ( x ) 相切的直线 l 的方程;
2x (Ⅲ)设函数 F ( x ) ? [ f ? ( x ) ? 6 x ? 1] ? e ,试判断函数 F ( x ) 的极值点个数.

高二下学期三调考试 高二年级(理科)数学 参考答案 1~12. DBCCD BBBAC AA 13. m ? ?
2

1 2

14. 2 ?

15. x ?

3y ? 4 ? 0

16. 3

17. 解析: (1)由 ? ? 2 cos ? 得 ? 所以 x
2

? 2 ? cos ?
2

? y

2

? 2 x ,即曲线 C 1 : x

? y

2

? 2x ? 0

曲线 C 2 : (tan ? ) x ? y ?

3 ? 2 tan ? ? 0

…………………………………4 分

用心

爱心

专心

-4-

( 2 )C

2

: (tan ? ) x ? y ? | ? tan ? ? tan
2

3 ? 2 tan ? ? 0

?d ?

3 |

? ?1

? r ?1

? tan ? ?

3 3

………………………………8 分

? ? ? [0, ? ) ? ? ? [0,

?
6

)? (

?
2

,? )

………………………………………10 分 18. (I)? AC 为圆 O 的切线,∴ ? B ? ? EAC 又 知 DC 是
? ACB







线

,



? ACD ? ? DCB

……………………………………3 分 又因为 BE 为圆 O 的直径, ∴

∴ ? B ? ? DCB ? ? EAC ? ? ACD 即 ? ADF ? ? AFD ∴
? ADF ? 1 2 (180 ? ? ? DAE ) ? 45 ?
? DAE ? 90 ?

……………………………………….6 分 ……….………8 分 ………10 分 RT△ABE

(II)? ? B ? ? EAC , ? ACB ? ? ACB ,∴ ? ACE ∽ ? ABC ∴
AC BC ? AE AB ,

又? AB=AC, ∴ ? B ? ? ACB ? 30 ? , 在

∴ 中,
AC BC ? AE AB
2

? ta n ? B ? ta n 3 0 ? ?

3 3

……………………………………….12 分

19. 解析: (1) f ( x ) ? x ? x

………………………….3 分

(2) f ( x ) ? x ? x 与 x 轴交点(0,0)(1,0) ……………………………6 分 、
2

s ?

1 s (1 ? k ) , ? 6 2 6
3

3

3

? k ?1?

4 2

……………………………….9 分

1 s (1 ? k ) s ? , ? 6 2 6

3

? k ?1?

4 2

……………………………….12 分
1 4 3n ? 5 3n ? 1

20. 解:由题设条件知 f(1)=
? f (2) ? f (3) ? f (4) ? 1 7 1 28 1 70 ? ? 1 4 ? 4 10 7 13 ? ? 1 28 ? 1 70 1 130

, f (n ) =

f ( n ? 1) ,

; ; . ………………………………3 分

用心

爱心

专心

-5-

(2)猜想: f ( n ) ?

1 ( 3 n ? 2 )( 3 n ? 1 )

(其中 n ? N * )……………………5 分

以下用数学归纳法证明: (1) 当 n ? 1 时, f (1) ? 所以此时猜想成立。 (2) 假设 n ? k ( k ? N *) 时, f ( k ) ? 那么 n ? k ? 1 时,
f ( k ? 1) ? ? 1 3 ( k ? 1) ? 5 3 ( k ? 1) ? 1 1 f (k ) ? 3 ( k ? 1) ? 5 3 ( k ? 1) ? 1 ( 3 k ? 2 )( 3 k ? 1) 1 ? 1
1 , 1 ? 1 4

4 ( 3 ? 1 ? 2 )( 3 ? 1 ? 1 )



………………………………6 分
1 ( 3 k ? 2 )( 3 k ? 1)

成立

……………9 分

? ? 3 ( k ? 1) ? 1 ( 3 k ? 1) [ 3 ( k ? 1) ? 2 ][ 3 ( k ? 1) ? 1]

所以 n ? k ? 1 时,猜想成立。 由(1) (2)知,猜想: f ( n ) ?
1 ( 3 n ? 2 )( 3 n ? 1 )

(其中 n ? N * )成立。

…………………………12 分 21. 解: (1)由切割线定理 PA
2

? PB ? PC
2

由已知易得 Rt ? PAD ∽ Rt ? PEA ,所以 PA
2

? PD ? PE

PA 所以 PA ? PD ? PE 又 ? BPD 为公共角,所以 ? PBD ∽ ? PEC ? PB ? PC =
2

,…………3 分

所以, ? BDP ? ? C 所以,B,C,E,D 四点共圆 ……………………………………….4 分

(2)作 OG ? AB 于 G ,由(1)知 ? PBD ? ? PEC ? ? PBD ? ? F ,? ? F ? ? PEC ? PE // AF
? AB ? 12 ? AG ? 6 ? PD ? AB ? PD // OG ? PE // OG // AF ? ? AOG ? ? EAF
? tan ? EAF
2

在 Rt ? AOG 中, tan ? AOG
? OG ? 9 ? R ? AO ? AG

?

2 3

?

6 OG

? OG

2

? 3 13

所以,圆 O 的半径 3 13 。

……………………………….12 分

22.解: (Ⅰ)由 f ? ( x ) ? 0 ,得 x1 ? 0 , x 2 ? a .
用心 爱心 专心 -6-

∵ x ? [ ? 1, 1] , 1 ? a ? 2 , ∴ 当 x ? [ ? 1, 0 ) 时, f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 递增; 当 x ? (0 , 1] 时, f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 递减. ∴ f ( x ) 在区间 [ ? 1, 1] 上的最大值为 f (0 ) ? b ,∴ b ? 1 .……………………2 分 又 f (1) ? 1 ?
3 2 a ?1 ? 2 ? 3 2 3 2 a ? ? 2 ,得 a ? a , f ( ? 1) ? ? 1 ? 3 2 4 3 a ?1? ? 3 2 a ,∴ f ( ? 1) ? f (1) .

由题意得 f ( ? 1) ? ? 2 ,即 ? 故a ?
4 3



, b ? 1 为所求.

………………………………4 分

3 2 2 (Ⅱ)解:由(1)得 f ( x ) ? x ? 2 x ? 1 , f ? ( x ) ? 3 x ? 4 x ,点 P (2, 1) 在曲线 f ( x ) 上.

⑴ 当切点为 P ( 2, 1) 时,切线 l 的斜率 k ? f ? ( x ) | x ? 2 ? 4 , ∴ l 的方程为 y ? 1 ? 4 ( x ? 2 ) ,即 4 x ? y ? 7 ? 0 . ……………………5 分 ⑵当切点 P 不是切点时,设切点为 Q ( x 0 , y 0 ) ( x 0 ? 2 ) ,
2 切线 l 的斜率 k ? f ? ( x ) | x ? x ? 3 x 0 ? 4 x 0 ,
0

∴ l 的方程为 y ? y 0 ? (3 x 0 ? 4 x 0 )( x ? x 0 ) .
2

又点 P ( 2, 1) 在 l 上,∴ 1 ? y 0 ? (3 x 0 ? 4 x 0 )( 2 ? x 0 ) ,
2

∴ 1 ? ( x 0 ? 2 x 0 ? 1) ? (3 x 0 ? 4 x 0 )( 2 ? x 0 ) ,
3 2 2

∴ x 0 ( 2 ? x 0 ) ? (3 x 0 ? 4 x 0 )( 2 ? x 0 ) ,
2 2

∴ x 0 ? 3 x 0 ? 4 x 0 ,即 2 x 0 ( x 0 ? 2 ) ? 0 ,∴ x 0 ? 0 .
2 2

∴ 切线 l 的方程为 y ? 1 . 故所求切线 l 的方程为 4 x ? y ? 7 ? 0 或 y ? 1 . ………………………………8 分 (Ⅲ)解: F ( x ) ? (3 x ? 3 a x ? 6 x ? 1) ? e
2 2x

? ? 3 x ? 3( a ? 2 ) x ? 1 ? ? e ? ?
2 2x

2x


2x

∴ F ? ( x ) ? ? 6 x ? 3( a ? 2 ) ? ? e
2

2x

? 2 ? 3 x ? 3( a ? 2 ) x ? 1 ? ? e ? ?
2

? [6 x ? 6 ( a ? 3) x ? 8 ? 3 a ] ? e
2



二次函数 y ? 6 x ? 6 ( a ? 3) x ? 8 ? 3 a 的判别式为

用心

爱心

专心

-7-

? ? 3 6 ( a ? 3) ? 2 4 (8 ? 3 a ) ? 1 2 (3 a ? 1 2 a ? 1 1) ? 1 2 ? 3( a ? 2 ) ? 1 ? , ? ?
2 2 2

令 ? ? 0 ,得: ( a ? 2 ) ?
2

1 3

,2 ?

3 3

? a ? 2?

3 3

.

令 ? ? 0 ,得 a ? 2 ?

3 3

,或 a ? 2 ?

3 3

.

………………………………10 分

∵e

2x

? 0 ,1 ? a ? 2 ,

∴当 2-

3 3

? a ? 2 时, F ? ( x ) ? 0 ,函数 F ( x ) 为单调递增,极值点个数为 0;

当1 ? a ? 2 ?

3 3

时,此时方程 F ? ( x ) ? 0 有两个不相等的实数根,根据极值点的定义, ………………………………12 分

可知函数 F ( x ) 有两个极值点.

用心

爱心

专心

-8-