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山东省淄博市2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题 文


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2014-2015 学年度第二学期模块学分认 定考试 高二数学试题(人文方向)
(满分 180 分,时间 120 分钟) 说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号,不能答在试题卷上. 一、本题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,在每小题给出的四个选项中选出一个符合题 目要求的选项. 1.已知集合 A ? x 2 ? x ? 5 A. ?1,3?

?

?

, B ? x ? x ? 1?? x ? 3? ? 0 C. ? 2,3?

?

?

,则 A ? B ? D. ? 2,5?

B. ?1,5?

2. “ a ? 0 ”是“函数 f ( x) ? x 2 ? ax在区间 (0,??) 上是增函数”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.已知对于任意实数 a(a ? 0, 且 a ? 1) ,函数 f ( x) ? 7 ? a x?1 的图像恒过点 P,则 P 点的 坐标是 A. (1,8) B. (1,7) C. (0,8) D. (8,0)

4.设复数 z1 ? 1 ? 2i , z2 ? 3 ? 4i ,则 A.第一象限 B.第二象限

z1 在复平面内对应的点在 z2
C.第三象限 D.第四象限

5.已知命题:①“所有能被 3 整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被 3 整除的 整数不是奇数”②“菱形的两条对角线互相垂直”的逆命题;③“ a, b, c ? R ,若 a ? b , 则 a ? c ? b ? c ”的逆否命题;④“若 a ? b ? 3 ,则 a ? 1 或 b ? 2 ”.上述命题中真命 题的个数为
1

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6.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表 广告费用 x (万元) 销售额 y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54

? 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售 ? ?a ? ? bx ? 中的 b 根据上表可得回归方程 y
额约为 A.63.6 万元 B.65.5 万元 C.67.7 万元 D.72.0 万元 )

7.已知 f ( x) ?| log3 x | ,则下列不等式成立的是( A. f ( ) ? f (2)

1 1 1 1 B. f ( ) ? f (3) C. f ( ) ? f ( ) D. f (2) ? f (3) 2 3 4 3 x 与函数 8.已知 lg a ? lg b ? 0 ,函数 g ( x) ? ? log b x 的图象可能是 f ( x) ? a

9.已知 f ( x) ? A. ?

1 ? cos x, 则 f (? ) ? f ?( ) ? x 2
B.

2

3

?

?

C. ?

1

?

D. ?

3

?

10.给出下列四个命题,其中正确的一个是 ( D ) 2 A.在线性回归模型中,相关指数 R =0.80,说明预报变量对解释变量的贡献率是 80% B.相关系数 r ? 0.852 ,接近 1,表明两个变量的线性相关性很差 2 2 C.相关指数 R 用来刻画回归效果,R 越小,则残差平方和越大,模型的拟合效果越 好 2 2 D.相关指数 R 用来刻画回归效果,R 越大,则残差平方和越小,模型的拟合效果越 好 11.曲线 y ? e 在点 (2,e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(
x

2

)

2

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A.

e2 2

B. e

2

C. 2e

2

D.

9 2 e 4

12.已知 2 ?

2 2 3 3 4 4 a a ?2 ?4 , 3? ? 3 , 4? ,?,若 6 ? ? 6 , 3 3 8 8 15 15 b b
) B. a ? 6, b ? 24 C. a ? 6, b ? 35 D. a ? 5, b ? 35

(a, b ? N ?)则( A. a ? 5, b ? 24

13.奇函数 f ? x ? 在? 0, ?? ? 上为增函数,且 f ?1? ? 0 ,则不等式 集为( ).

f ? x? ? f ??x? ? 0 的解 x

A ? ?1,0? ? ?1, ??

?

B. ? ?? , ?1? ? ? 0,1? D. ? ?? , ?1? ? ?1, ???

C. .? ?1,0? ? ? 0,1?

14. 函数 f ( x) ? e x ? x 2 ? 2x ? 1 与 g ( x) 的图象上任意点 P 到直线 3x ? y ? 2 ? 0 的距离的 最小值为 A.

10 5

B.

3 10 20

C.

3 10 10

D.

2 10 5

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答案纸中横线上.

2 ? i ( i 为虚数单位)等于 , 1? i 2x ? 3 16.函数 f ( x ) ? + 4 ? x 2 的定义域为__________.(用区间表示) x ?1
15.复数 17.命题 p : ?x0 ? R, x0 ? 2x0 ?1 ? 0 ,则命题 ?p :
2

.

2 x 18. 已知 f ( x) ? ( x ? x )e , 给出以下几个结论: ①f (x)>0 的解集是{x|0<x<1}; ② f ( x)

既有极小值,又有极大值;③f (x)没有最小值,也没有最大值;④f (x)有最大值,没有 最小值.其中判断正确的是______.
3

x1 2 xx f (x1 )lg ?x lg x lg ? lg x x?)x A , x B( x2 , lg B g ) )), 2 1 1 2,2 2 ? lg( 1 2 2 ) 2 2

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 19.已知点 是函数 的图象上任意不同两点,依据图象

可 知 , 段 段 AB 总 是 位 于 A,B 两 点 之 间 函 数 图 象 的 下 方 , 因 此 有 结 论 成立。 运用类比思想方法可知, 若点 是函数 的图象上的不同两点,则类似地有成立 , .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 85 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 20.(本小题满分 14 分) 函数 f ( x) ? lg( x2 ? 2x ? 3) 的定义域为集合 A ,函数 g ( x) ? 2x ? a( x ? 2) 的值域为 集合 B . (Ⅰ)求集合 A , B ; (Ⅱ)已知命题 p : m ? A ,命题 q : m ? B ,若 ?p 是 ?q 的充分不必要条件,求实 数 a 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分) 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某城市的某校高中生中随机抽 取 100 名学生,其中男生喜欢数学课程的 20 人,不喜欢数学课程的 30 人;女生喜欢数学 课程的 10 人,不喜欢数学课程的 40 人。 (Ⅰ)根据以上数据作 2? 2 列联表; (答案填写在答题纸上) 喜欢数学课程 男生 女生 合计 (Ⅱ)根据以上数据,能否有 95%的把握认为“高中生的性别与是否喜欢数学课程有 关”? 附: K ?
2

不喜欢数学课程

合计

n(ad ? bc)2 . (a ? b)(c ? d )(a ? b)(b ? d )

P( K 2 ? k )
k

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

4

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22. (本小题满分 14 分) 求函数 f ( x) ? x3 ?12 x ,在 ? ?3,3? 上的最大值与最小值.

23. (本小题满分 14 分) 已知定义在 (?1,1) 上的函数 f ( x ) ? (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)判断 f ( x) 的单调性,并解关于 t 的不等式 f (t ? 1) ? f (t ) ? 0 .

ax ? b 1 2 为奇函数,且 f ( ) ? . 2 x ?1 2 5

24. (本小题满分 14 分)
5

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 设函数 f ( x) ? a ln x ? 线斜率为 0. (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)当 0 ? a ? 1 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性.

1? a 2 x ? bx ( a ? 1 ) ,曲线 y ? f ? x ? 在点?1 ,f ?1?? 处的切 2

25.(本小题满分 15 分) 已知 f ( x) ? ln x ?

a (a ? R) . x

(Ⅰ)当 a ? 0 时,判断 f ( x) 在定义域上的单调性; (Ⅱ)若 f ( x) 在 [1, e] 上的最小值为
2

3 ,求 a 的值; 2

(III)若 f ( x) ? x 在 (1, ??) 上恒成立,试求 a 的取值范围.

参考答案 CAABB BCBDD ACDD

6

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 15. 1 , 16. ?- 2,1? ? ?1,2?. 19. 2
x2 ?x2 2
x1

17. ?x ? R, x2 ? 2x ?1 ? 0
x2

18._①②④

2 ?2 . ? 2

20.解: (Ⅰ) A = {x | x2 ? 2 x ? 3 ? 0} = {x | ( x ? 3)( x ? 1) ? 0} = {x | x ? ?1, 或x ? 3} ,..?????????3 分

B = {y | y ? 2x ? a, x ? 2} ? { y | ?a ? y ? 4 ? a} . ??????????7 分
(Ⅱ)∵ ?p 是 ?q 的充分不必要条件, ∴ q 是 p 的充分不必要条件, ∴ B ? A ,且 B ? A ..????????????????10 分 ∴ 4 ? a ? ?1 或 ? a ? 3 , ????????????????????12 分 ∴ a ? ?3 或 a ? 5 ,即 a 的取值范围是 (??, ?3] ? (5, ??) .???????14 分 21. 解(Ⅰ)根据以上数据作 2? 2 列联表 喜欢数学课程 男生 女生 合计 20 10 30 不喜欢数学课程 30 40 70 合计 50 50 100 ???????6 分 (Ⅱ)由公示得: K ?
2 2 100 ? (20 ? 40—10 ? 30) ? 4.762 ???????12 分 50 ? 50 ? 30 ? 70

K 2 ? 4.762 ? 3.841
所以我们有 95%的把握认为“高中生的性别与是否喜欢数学课程有关”。 ???14 分 22.解:因为 f ( x) ? x ?12 x ,
3

则 f ?( x) ? 3x ?12 ? 3( x ? 2)( x ? 2) ,??????? 2 分
2

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?2 ,或 x ? 2 ,???????4 分

7

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 当 x ? ?2 ,或 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ; 当 ?2 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ;???????8 分 当 x 变化时, f ( x) , f ?( x ) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )

(?3, ?2)

?2
0
16

(?2, 2)

2

(2,3)

?
单调递增 ?

?
单调递减 ?

0

?
单调递增 ?

f ( x)

?4

所以,当 x ? ?2 时,函数 y ? f ( x) 的极大值为 16 ;当 x ? 2 时,函数 y ? f ( x) 有极小 值为 ?4 .???????12 分 又 f (?3) ? ?9 , f (3) ? 9 因此,函数 f ( x) ? x3 ?12 x 在 ? ?3,3? 上的最大值为 16 ,最小值为 ?9 .???14 分 23.解:(Ⅰ)因为 f ( x) 为奇函数,由奇函数的定义得, f ( x) = ? f (? x) 即

ax ? b ?ax ? b ?? 2 2 x ?1 x ?1

所以 b ? 0 ,(或由 f (0) ? 0 解得)???????3分

1 a 2 1 2 ? . 又 f ( ) ? ,即 2 2 2 5 5 ?1? ? ? ?1 ?2?
所以, a ? 1 , f ( x) ?

x x ?1
2

????????????6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)时, f ?( x) ?

? x2 ? 1?
2

1 ? x2

2

?????????8分

因为 x ? (?1,1) , 0 ? x ? 1 , 1 ? x ? 0 ,
2

8

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 所以 f ?( x) ? 0 ,即 f ( x) 在 (?1,1) 上单调递增, 由 f (t ? 1) ? f (t ) ? 0 ,得 f (t ? 1) ? ? f (t ) ? f (?t )

? ?1 ? t ? 1 ? 1 ? 所以 ? ?1 ? ?t ? 1 ? t ? 1 ? ?t ?
解得 0 ? t ?

????????????12分

1 2 1 ) 2
??????????14分

∴原不等式解集为(0, 24.解析: (Ⅰ) f ( x ) ?
'

a ? (1 ? a ) x ? b ,?????????2 分 x

由题设知 f (1) ? 0 ,
'

解得 b ? 1 .

??????????4 分

(Ⅱ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) ,由(Ⅰ)知, f ( x) ? a ln x ?

1? a 2 x ? x ,?5 分 2

f ' ( x) ?
?

a (1 ? a) x 2 ? x ? a ? (1 ? a) x ? 1 ? ?????7 分 x x

((1 ? a) x ? a)( x ? 1) 1 ? a a ? (x ? )( x ? 1) ?????9 分 x x 1? a a a 1 ? 1 ,则 0 ? x ? ① 当 0 ? a ? 时, 0 ? ,或 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ; 1? a 1? a 2 a ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ; 1? a a a ) , (1, ??) 上单调递增,在 ( ,1) 上单调递减;???11 分 故 f ( x ) 在 (0, 1? a 1? a a 1 a ? 1 ,则 0 ? x ? 1 ,或 x ? ②当 ? a ? 1 时, 时, f ?( x) ? 0 ; 1? a 2 1? a a 1? x ? 时, f ?( x) ? 0 ; 1? a a a , ?? ) 上单调递增,在 (1, ) 上单调递减;???13 分 故 f ( x ) 在 (0,1) , ( 1? a 1? a 1 a a ) , (1, ??) 上单调递增,在 ( ,1) 上单 综上,当 0 ? a ? 时, f ( x ) 在 (0, 1? a 1? a 2
9

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 调递减;当

1 a a ? a ? 1 时, f ( x) 在 (0,1) , ( , ?? ) 上单调递增,在 (1, ) 上单调递 2 1? a 1? a

减.???????14 分 (如果每段都下了结论,不写“综上”不扣分) 25.解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??)

1 a ? ??????????1 分 x x2 ∵a ? 0,x ? 0 f ?( x) ?
∴ f ?( x) ? 0 ??????????2 分

因此 f ( x) 在定义域 (0, ??) 上为单调递增函数.??????????3 分 (Ⅱ) (1)令 f ?( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立,即 x ? a ? 0 ∴ a ? ?x . 令 a ? ?1 ,此时 f ( x) 在 [1, e] 上为增函数. ∴ [ f ( x)]min ? f (1) ? ?a ? 得a ? ?

3 , 2

3 (舍去) .??????????5 分 2

(2)令 f ?( x) ? 0 在 [1, e] 上恒成立,即 x ? a ? 0 ∴ a ? ?x . 令 a ? ? e ,此时 f ( x) 在 [1, e] 上为减函数. ∴ [ f ( x)]min ? f (e) ? 1 ? 得a ? ?

a 3 ? , e 2

e (舍去) .??????????7 分 2

(3)当时,令 f ?( x) ? 0 ,得 x0 ? ?a . 当 1 ? x ? x0 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 (1, x0 ) 上为减函数. 当 x0 ? x ? e 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 ( x0 , e) 上为增函数.

10

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ∴ [ f ( x)]min ? f (?a ) ? ln(?a ) ? 1 ?

3 2

得 a ? ? e .??????????9 分 综上可知, a ? ? e .??????????10 分 (III)由 f ( x) ? x2 ,得 ln x ? ∵ x ? 1 ,∴有 a ? x ln x ? x3 , 令 g ( x) ? x ln x ? x3 ,则 g?( x) ? ln x ? 3x2 ? 1 .??????????12 分 令 ? ( x) ? ln x ? 3x 2 ? 1 ,则 ? ?( x) ?

a ? x2 , x

1 1 ? 6 x2 ? 6x ? , x x

∵ x ? 1 ,∴ ? ?( x) ? 0 ,∴ ? ( x) 在 (1, ??) 上单调递减, ∴ ? ( x) ? ? (1) ? ?2 ? 0 , 因此 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 (1, ??) 上单调递减,??????????14 分 则 g ( x) ? g (1) ? ?1 , ∴ a 的取值范围是 [?1, ??) .???????????15 分

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