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山西省长治二中康杰中学临汾一中忻州一中2013届高三第四次四校联考数学理试卷

山 西 省 长治二中 康杰中学 临汾一中 忻州一中 2013 届 高 三 第 四 次 四 校 联 考

数学试题(理)

(满分 150 分,考试时间 120 分)
一、选择题(5×12=60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请
将正确选项用 2B 铅笔涂黑机读卡上对应题目的答案标号)

1.已知集合 M ? {y | y ? x2 ?1, x ? R}, N ? {x | y ? 2 ? x2 } ,则 M ? N ?

A. [?1,??)

B.[?1, 2] C.[ 2,??)

D. ?

2.下列说法错.误.的是

A.“ sin? ? 1 ”是“? ? 30 ”的充分不必要条件 2

B.命题“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”的否命题是:“若 a ? 0 ,则 ab ? 0 ”

C.若命题 p : ?x ? R, x2 ? x ?1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x2 ? x ?1 ? 0

D.若命题“ ?p ”与命题“ p 或 q ”都是真命题,那么命题 q 一定是真命题

3.函数

y

?

sin(2 x

? ? )(0

??

?

? 2

)

图象的一条对称轴在(?6,?3)内,则满足此条件的

一个? 值为

A. ? 12

B. ? 6

C. ? 3

D. 5? 6

4.一个空间几何体的三视图如右图所示,其中主视图和侧

视图都是半径为1的圆,且这个几何体是球体的一部分,

则这个几何体的表面积为

A.3π

B.4π

C.6π

D.8π

?x ? y ? ?1

5.若实数

x,y













? ?

x

?

y

?

4

,则目标函数

?? y ? 2

z ? 2x ? 4 y 的最大值为

A.10

B.12

C.13

D.14

6.运行下图所示框图的相应程序,若输入 a, b 的值分别为

开始
输入 a,b 是 a≤b 否 M=a×b-1 M=a×b+1

log2 3 和 log3 2 ,则输出 M 的值是

A.0 B.1 C.2 D.-1

7.已知数列{ an }满足1 ? log3 an ? log3 an?1 (n ? N ? ) ,且

a2 ? a4 ? a6 ? 9 ,则 log1 (a5 ? a7 ? a9 ) 的值是
3

A. 1 5

B. ? 1 5

C. 5

D. ?5

输入 M 结束

4? 8.已知一个三棱柱,其底面是正三角形,且侧棱与底面垂直,一个体积为 3 的球体与棱
柱的所有面均相切,那么这个三棱柱的表面积是

A. 6 3

B. 12 3

C. 18 3 D. 24 3

9.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c 且 a=1,B=45°, S?ABC =2,则 b 等


A.5

B.25

C. 41

D.5 2

10.已知函数 f (x) ? e x ? mx ? 1 的图像为曲线 C,若曲线 C 存在与直线 y ? 1 x 垂直的切 2
线,则实数 m 的取值范围是

A. m ? 2

B. m ? 2 C. m ? ? 1 D. m ? ? 1

2

2

11.若定义在 R 上的偶函数 f ?x? 满足 f ?x ? 2? ? f ?x? 且 x ? ?0,1?时, f ?x? ? x, 则方程

f ?x? ? log3 x 的零点个数是

A.2 个

B.3 个 C. 4 个

D.多于 4 个

12.已知

A、B、P 是双曲线 x2 a2

?

y2 b2

? 1上的不同三点,且

A、B 连线经过坐标原点,若直

线 PA、PB 的斜率乘积 kPA

? kPB

?

2 3

,则该双曲线的离心率 e =

A. 5 2

B. 6 2

C. 2

D. 15 3

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答卷纸的相应位置上)

13.若函数 y ? loga x(a ? 0, a ? 1) 的图象过点(2,-1),且函数 y ? f (x) 的图像与函数

y ? loga x(a ? 0, a ? 1) 的图像关于直线 y ? x 对称,则 f (x) =



5 ? 10i

14. i 为虚数单位,则复数 3 ? 4i 的虚部是



15.某铁路货运站对 6 列货运列车进行编组调度,决定将这 6 列列车编成两组,每组 3 列,

且甲与乙两列列车不在同一小组,如果甲所在小组 3 列列车先开出,那么这 6 列列车先后不

同的发车顺序共有



16.已知函数 y= 1? x ? x ? 3 的最大值为 M,最小值为 m,则 m =



M

三、解答题(本大题 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,并把解答

写在答卷纸的相应位置上)

17.(本小题满分 12 分)

已知点 A(4,0)、B(0,4)、C( 3cos? ,3sin ? )

(1)若 ? ? (0,? ) ,且 AC ? BC , ,求? 的大小;

(2) AC ? BC ,求 2sin 2 ? ? sin 2? 的值. 1 ? tan?
18.(本小题满分 12 分) 为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽

取 12 件和 5 件,测量产品中微量元素 x,y 的含量(单位:毫克).下表是乙厂的 5 件 产品的测量数据:

编号

1

2

3

4

5

x

169

178

166

175

180

y

75

80

77

76

81

(1)已知甲厂生产的产品共84件,求乙厂生产的产品数量;

(2)当产品中的微量元素x,y满足x≥175且y≥75,该产品为优等品,

①用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量;

②从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随机抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中优等品数?

的分布列及其期望.

19.(本小题满分 12 分)
如图,已知长方形 ABCD 中,AB ? 2, AD ? 1, M 为 DC 的中点. 将 ?ADM 沿 AM 折

起,使得平面 ADM ? 平面 ABCM . (1)求证: AD ? BM ; (2)若点 E 是线段 DB 的中点,求二面角 E ? AM ? D 的余弦值.

A 20.(本小题满分 12 分)

已知

F1 ,

F2

为椭圆

C

:

x a

2 2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的左,右焦点, M

为椭圆上的动点,且

MF1 ? MF2 的最大值为 1,最小值为?2.
(1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 (? 6 ,0) 作不与 y 轴垂直的直线 l 交该椭圆于 M , N 两点, A 为椭圆的左顶点。
5 试判断 ?MAN 的大小是否为定值,并说明理由.

21.(本小题满分 12 分)

已知函数

f (x) ?

x ln x

? ax

(1)若函数 f ? x?在?1, ??? 上是减函数,求实数 a 的最小值;

(2)若 ?x1, x2 ? ??e, e2 ?? ,使 f ? x1 ? ? f ?? x2 ? ? a( a ? 0 )成立,求实数 a 的取值范围.

请考生在(22).(23).(24)三题中任选一题作答,如

果多答,则按做的第一题记分.作答时用 2B 铅笔在答题卡上把

F

所选题目对应题号右侧的方框涂黑.

22.(本小题满分 10)选修 4-1:几何证明选讲

A

?O

B

DC

E

如图,已知⊙O 是 ?ABC 的外接圆, AB ? BC, AD 是 BC 边上的高, AE 是⊙O 的直径.

(1)求证: AC ? BC ? AD ? AE ;

(2)过点 C 作⊙O 的切线交 BA 的延长线于点 F ,若 AF ? 2, CF ? 4 ,求 AC 的长.

23. (本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单

位.已知直线

l

的参数方程为

?x

? ?

y

? ?

1 t

? t cos? sin ?

(t 为参数,0<?< ? ),曲线 C 的极坐标方程

为 ? sin 2 ? ? 4 cos? .

(1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,当?变化时,求|AB|的最小值.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
设 f (x) ?| x ? a |, a ? R.

(1)当 a ? 5 ,解不等式 f ( x) ? 3 ;

(2)当 a ? 1时,若 ? x ? R ,使得不等式 f ( x ? 1) ? f (2x) ? 1 ? 2m 成立,求实数 m 的取值范围.

2013 届第四次四校联考(理数)参考答案

一、选择题: 1-5 B A A B C

6-10 C D C A B 11-12 CD

二、填空题 13.

y ? (1)x 2

三.解答题:

14. 2

15. 216

2 16. 2

17. 解:(1)由已知得 (3cos? ? 4)2 ? 9 sin 2 ? ? 9 cos2 ? ? (3sin ? ? 4)2 ……2 分

则 sin? ? cos? ,……5 分

因为 ? ?(0,? ) ,所以 ?

?

? 4

……6



(2)由 (3cos? ? 4) ? 3cos? ? 3sin? ? (3sin? ? 4) ? 0 得 sin ? ? cos? ? 3 ,……7 分 4

平方得 sin 2? ? ? 7 ,……8 分 16

2sin 2 ? ? sin 2? ? 2sin 2 ? cos? ? 2sin? cos2 ? ? 2sin? ? cos? ? sin 2? ? ? 7 。…

1 ? tan?

sin? ? cos?

16

12 分 18. 解:(1)设乙厂生产的产品数量为 x 件,由题意得1824=5x,所以 x=35。------------2 分

(2)①由题意知乙厂生产的优等品的数量为

3 5

?

35

?

21

件---------------4



②由题意知? ? 0,1,2

P(?

? 0)

?

C22 C52

?

1 10

P(?

? 1)

?

C 31C 21 C52

?6 10

?

3 5

P(?

?

2)

?

C32 C52

?

3 10

---------------7



所以随机变量? 的分布列为

?

0

1

2

P

1

10

3

3

5

10

---------------10 分

所以随机变量 ?

的均值

E?

?0? 1 10

?1? 6 10

?

2? 3 10

=

6 5

---------------12 分

19.解:取 AM 的中点 O,AB 的中点 N,则 ON , OA, OD 两两垂直,以 O 为原点建立空间

直角坐标系,如图.根据已知条件,得

A( 2 ,0,0) , B(? 2 , 2,0) , M (? 2 ,0,0) , D(0,0, 2 ) ……2 分

2

2

2

2

(1)由于 AD ? BM ? 0 ,故 AD ? BM .…5 分

(2)依题意 E(?

2, 4

2, 2

2 4

)

……6



∵平面 AMD 的一个法向量 n ? (0,1,0) ……7 分

设平面 AME 的一个法向量为 m ? (x, y, z) ,而

AM ? (?

2

,0,0)

,

AE

?

(?

3

2 4

,

2, 2

2 4 ) ? m ? AM

? 0且m ? AE ? 0

∴?

2 x ? 0且 ? 3 2 x ? 4

2 2

y?

2 4

z?0.

x=0,取 z=2,则 y=1

∴ m ? (0,-1,2) ……9 分∴ cos ? m, n ??

m?n m?n

??

1 5

……11 分

二面角 E ? AM ? D 的余弦值为 55……12 分

20.解:(1)设 M (x' , y ' ), (则 y '2

? b2

?

b2 a2

x'2 , MF1 ? MF2

?

a2 ? b2 a2

x '2

? 2b2

? a 2 (?a≤x

≤a)…2 分,所以当 x' ? 0 时, MF1 ? MF2 取得最小值 2b2 ? a 2 ? ?2 ,

当 x' ? ?a 时, MF1 ? MF2 取得最大值 b2 ? 1 ,∴ a2 ? 4 ……5 分

故椭圆的方程为

x2 4

?

y2

? 1 -----6 分

(2)设直线 MN 的方程为 x ? ky ? 6 ,……7 分 5

联立方程组可得

? ??

x

?

ky

?

6 5

,化简得: (k 2 ? 4) y 2 ? 12 ky ? 64 ? 0 ……8 分 5 25

? ?

x

2

?? 4

?

y2

?

1



M ( x1 ,

y1 ), N ( x2 ,

y2 )

,则

y1 y2

?

?

64 25(k 2 ?

, 4)

y1

?

y2

?

12k 5(k 2 ?

4)

,…9



又 A(?2,0) ,

AM

?

AN

?

( x1

?

2,

y1 ) ? (x2

?

2,

y2 )

?

(k 2

? 1) y1 y2

?

4 5

k( y1

?

y2) ?

16 25

?

0 …11



所以 AM ? AN ,所以 ?MAN 的大小为定值 90?……12 分

21.解:(1)因

f(x)在 (1, ??)

上为减函数,故

f

?(x)

?

ln x ?1 (ln x)2

?

a

?

0

在 (1, ??) 上恒成立.…1



所以当 x ? (1, ??) 时, f ?(x)max ? 0 .………………2 分

? ? ? ? 又

f

?(x)

?

ln x ?1 (ln x)2

?

a

?

?

1 ln x

2
?

1

?a

ln x

??

1 ?1 ln x 2

2 ? 1 ? a ,………4 分 4

故当

1 ln x

?

1 2

,即

x

?

e2

时,

f

?( x)max

?

1 4

?a.

所以

1 4

?

a

?

0,

于是

a



1 4

,故

a

的最小值为

1 4



…………………………6 分

(2)命题“若 ?x1, x2 ?[e, e2 ], 使 f (x1) ? f ?? x2 ? ? a 成立”等价于

“当 x ?[e, e2 ] 时,有 f (x)min ? f ?? x?max ? a ”.

由(1),当 x ?[e, e2 ] 时,

f

?( x)max

?

1 4

? a ,?

f

??x? max

?a

?

1 4



问题等价于:“当

x ?[e, e2 ]

时,有

f

( x)min

?

1 4

”.

………………………8 分

10 当

a

?

1 4

时,

f

?( x)max

?

1 4

?

a ≤0,

f (x) 在 [e, e2 ] 上为减函数,



f (x)min =

f

(e2 ) ?

e2 2

? ae2

?

1 4

,故 a ?

1 2

?

1 4e2



………10 分…

? ? 20 当

0< a

?

1 4

时,

f

?( x)max

?

1 4

?

a

>0,由于

f

?(x)

?

?

1 ln x

?

1 2

2 ? 1 ? a 在[e, e2 ] 上为增函 4

数,

故 f ?(x) 的值域为[ f ?(e), f ?(e2 )] ,即[?a, 1 ? a] . 4

由 f ?(x) 的单调性和值域知, ? 唯一 x0 ? (e, e2 ) ,使 f ?(x0 ) ? 0 ,且满足:

当 x ? (e, x0 ) 时, f ?(x) ? 0 , f (x) 为减函数;当 x ? (x0 , e2 ) 时, f ?(x) ? 0 , f (x) 为增函数;



f

( x)min

=

f

(x0 )

?

x0 ln x0

? ax0

?

1 4



x0

? (e, e2 ) .

所以, a ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ,与 0 ? a ? 1 矛盾,不合题意.

ln x0 4x0 ln e2 4e 2 4 4

4

综上,得 a

?

1 2

?

1 4e2



…………………………12 分

22.(本小题满分 10)选修 4-1:几何证明选讲
解:(1)证明:连结 BE ,由题意知 ?ABE 为直角三角形.因为

?ABE ? ?ADC ? 90? , ?AEB ? ?ACB, 所以 ?ABE ∽ ?ADC

3



则 AB ? AE ,则 AB ? AC ? AD ? AE .又 AB ? BC ,所以 AC ? BC ? AD ? AE

5

AD AC



(II)因为 FC 是⊙O 的切线,所以 FC 2 ? AF ? BF ,

又 AF ? 2,CF ? 4 ,所以 BF ? 8, AB ? BF ? AF ? 6 .

7分

因为 ?ACF ? ?FBC,又?CFB ? ?AFC ,所以 ?AFC ∽ ?CFB

则 AF ? AC ,即 AC ? AF ? BC ? 3.

FC BC

CF

23. (本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程

解:(I)由 ? sin 2 ? ? 4 cos? ,得 (? sin? )2 ? 4? cos?

10 分

所以曲线 C 的直角坐标方程为 y 2 ? 4x .

5分

(II)将直线 l 的参数方程代入 y 2 ? 4x ,得 t2sin2α-4tcosα-4=0.



A、B

两点对应的参数分别为 t1、t2,则

t1+t2=

4 cos? sin 2 ?

,t1t2= ?

4 sin 2 ?



∴|AB|=|t1-t2|=

?t1+t2?2-4t1t2=

16 cos2 ? ? 16 ? 4 , sin 4 ? sin 2 ? sin 2 ?

当 α=π2时,|AB|的最小值为 4

10 分

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

解:(I) a ? 5 时原不等式等价于| x ? 5 |? 3, 即 ? 3 ? x ? 5 ? 3,2 ? x ? 8

? 所以解集为 x 2 ? x ? 8 }

5分

(II)当 a ? 1时, f (x) ?| x ?1 |。

令 g (x)

?

f

(x ?1) ?

f

(2x)

?|

x?2|?

| 2x ?1 |?

??? ?

3x

?

3,

x

?

1 2

??x ?

? 1,

1 2

?

x

?

2

6分

?3x ? 3, x ? 2

??

由图像知:当 x ? 1 时, g(x) 取得最小值 3 。

2

2

由题意知: 3 ? 1 ? 2m ,所以实数 m 的取值范围为 m ? ? 1 .

2

4

10 分