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2014-2015学年重庆市巫山中学高三(上)第一次月考数学试卷(理科)


2014-2015 学年重庆市巫山中学高三(上)第一次月考数学试卷 (理科)
一、选择题:每小题 5 分,共 50 分. 1.已知 i 是虚数单位,复数 A. 0 2. 已知 p: x≥k, q: A. [2,+∞) B. 1 的模为( ) C. 2 D. )

<1, 如果 p 是 q 的充分不必要条件, 则实数 k 的取值范围是 ( B. (2,+∞) C. [1,+∞)
2 2

D.(﹣∞, ﹣1)

3.已知命题 p:x>y;则﹣x<﹣y;命题 q:若 x<y;则 x <y ;在命题 ①p∧q,②p∨q, ③p∧(¬q) ,④(¬p)∨q 中,真命题是( ) A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

4.函数 f(x)= A. (2,4) 4)

+lg

的定义域是(

) C. (2,3)∪(3,4] D. [2, 3) ∪ (3,

B. (3,4)

5.已知 sinα= ,且 α 为第二象限角,则 tanα=( A. ﹣ B.

) C. ± D . ﹣2

6.已知函数 f(x)=

,那么不等式 f(x)≥1 的解集为(



A. {x|﹣3≤x≤0} x≥3}

B. {x|x≤﹣3 或 x≥0}

C. {x|0≤x≤3}

D. {x|x≤0 或

7.已知在 R 上可导的函数 f(x)的图象如图所示,则不等式 f(x)?f′(x)<0 的解集为 ( )

A. (﹣2,0) ∪(0,+∞)

B. (﹣∞,﹣2)∪(﹣1,0) D. (﹣2,﹣1)∪(0,+∞)

C.(﹣∞, ﹣2)

8. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中, 有 5 架歼﹣15 飞机准备着舰. 如 果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有( ) A. 12 B. 18 C. 24 D. 48 9.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对 x∈R,都有 f(x﹣2)=f(x+2) ,且当 x∈[﹣2,0] 时,f(x)=( ) ﹣1,若在区间(﹣2,6]内关于 x 的方程 f(x)﹣loga(x+2)=0(a>1) 恰有 3 个不同的实根,则 a 的取值范围是( A. (1,2) B. (2,+∞) ) C. (1, ) D. ( ,2)
x

10.函数 y=f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数,且当 x∈(﹣∞,0)时,xf′(x)<f(﹣ x)成立,若 a= 系( ) A. c>a>b f( ) ,b=(lg3)f(lg3) ,c=(log2 )f(log2 ) ,则 a,b,c 大小关

B. c>b>a

C. a>b>c

D. a>c>b

二、填空题:每小题 5 分,共 25 分. 11.已知集合 ,B={y|y=2 },则(?RA)∩B=
x



12.化简

=

. 13.将函数 f(x)=log2x 的图象水平向左平移 1 个单位,再关于 y 轴对称,得到函数 g(x) 的图象,则 g(x)的函数解析式为 .

三.考生注意:14、15、16 为选做题,从中选择 2 小题作答,全做则按前 2 小题给分. 14.如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,延长 BC 到 D 使 BC=CD,过 C 作圆 O 的 切线交 AD 于 E.若 AB=8,DC=4,则 DE= .

15.已知点 A 是曲线 ρ=2sinθ 上任意一点,则点 A 到直线 小值是 .

的距离的最

1013?碑林区校级模拟)设 f(x)=2|x|﹣|x+3|,若关于 x 的不等式 f(x)+|2t﹣3|≤0 有解, 则参数 t 的取值范围为 .

三、计算题:17,18,19 每小题 13 分,20,21,22 每小题各 12 分,共 75. 17.已知角 α 的终边经过点 的值. 18.一个袋中装有大小相同的黑球和白球共 9 个,从中任取 2 个球,记随机变量 X 为取出 2 球中白球的个数,已知 P(X=2)= . ,且 ,求 cosα、tanα

(Ⅰ)求袋中白球的个数; (Ⅱ)求随机变量 X 的分布列及其数学期望.

19.设函数 f(x)=lnx﹣ax+

﹣1.

(Ⅰ)当 a=1 时,求曲线 f(x)在 x=1 处的切线方程; (Ⅱ)当 a= 时,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设函数 g(x)=x ﹣2bx﹣ 使 f(x1)≥g(x2)成立,求实数 b 的取值范围.
2

,若对于?x1∈[1,2],?x2∈[0,1],

20.设 f(x)=

为奇函数,a 为常数,

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)证明:f(x)在(1,+∞)内单调递增;

(Ⅲ)若对于[3,4]上的每一个 x 的值,不等式 f(x)> 取值范围.

+m 恒成立,求实数 m 的

21.某企业招聘工作人员,设置 A、B、C 三组测试项目供参考人员选择,甲、乙、丙、丁、 戊五人参加招聘,其中甲、乙两人各自独立参加 A 组测试,丙、丁两人各自独立参加 B 组 测试. 已知甲、 乙两人各自通过测试的概率均为 , 丙、 丁两人各自通过测试的概率均为 . 戊 参加 C 组测试,C 组共有 6 道试题,戊会其中 4 题.戊只能且必须选择 4 题作答,答对 3 题则竞聘成功. (Ⅰ)求戊竞聘成功的概率; (Ⅱ)求参加 A 组测试通过的人数多于参加 B 组测试通过的人数的概率; (Ⅲ)记 A、B 组测试通过的总人数为 ξ,求 ξ 的分布列和期望. 22.已知函数 f(x)= (k 为常数,e=2.71828…是自然对数的底数) ,曲线 y=f(x) 在

点(1,f(1) )处的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间; 2 (Ⅲ)设 g(x)=(x +x)f′(x) ,其中 f′(x)是 f(x)的导函数.证明:对任意 x>0,g ﹣2 (x)<1+e .

2014-2015 学年重庆市巫山中学高三(上)第一次月考数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:每小题 5 分,共 50 分. 1.已知 i 是虚数单位,复数 A. 0 B. 1 的模为( ) C. 2 D.

考点:复数代数形式的乘除运算;复数求模. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数模的运算性质和计算公式即可得出. 解答: 解: ,

故选:D. 点评:本题考查了复数模的运算性质和计算公式,属于基础题.

2. 已知 p: x≥k, q: A. [2,+∞)

<1, 如果 p 是 q 的充分不必要条件, 则实数 k 的取值范围是 ( B. (2,+∞) C. [1,+∞)



D.(﹣∞, ﹣1)

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:求出不等式 q 的等价条件,根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论. 解答: 解:∵ ∴ ﹣1= <1, <0,即(x﹣2) (x+1)>0,

∴x>2 或 x<﹣1, ∵p 是 q 的充分不必要条件, ∴k>2, 故选:B. 点评:本题主要考查充分条件和必要条件的应用,利用不等式之间的关系是解决本题的关 键,比较基础. 3.已知命题 p:x>y;则﹣x<﹣y;命题 q:若 x<y;则 x <y ;在命题 ①p∧q,②p∨q, ③p∧(¬q) ,④(¬p)∨q 中,真命题是( ) A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 考点:复合命题的真假. 专题:简易逻辑.
2 2

分析:根据不等式的性质分别判定命题 p,q 的真假,利用复合命题之间的关系即可得到结 论 解答: 解:根据不等式的性质可知,若 x>y,则﹣x<﹣y 成立,即 p 为真命题, 2 2 当 x=1,y=﹣1 时,满足 x>y,但 x >y 不成立,即命题 q 为假命题, 则①p∧q 为假命题;②p∨q 为真命题;③p∧(¬q)为真命题;④(¬p)∨q 为假命题, 故选:C 点评:本题主要考查复合命题之间的关系,根据不等式的性质分别判定命题 p,q 的真假是 解决本题的关键,比较基础.

4.函数 f(x)= A. (2,4) 4)

+lg

的定义域是(

) C. (2,3)∪(3,4] D. [2, 3) ∪ (3,

B. (3,4)

考点:对数函数的定义域;函数的定义域及其求法. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据函数的解析式和求定义域的法则列出不等式组, 求出不等式的解集, 用集合或区 间的形式表示出来.

解答: 解:要使函数有意义,则



解得 2≤x<4 且 x≠3, 所以函数的定义域是[2,3)∪(3,4) , 故选:D. 点评:本题考查函数的定义域, 以及对数函数的性质, 掌握函数定义域的法则是解题的关键, 属于基础题.

5.已知 sinα= ,且 α 为第二象限角,则 tanα=( A. ﹣ B.

) C. ± D . ﹣2

考点:同角三角函数间的基本关系. 专题:三角函数的求值. 分析:由题意可得 cosα 的值,进而由 tanα= 解答: 解:∵sinα= ,且 α 为第二象限角, ∴cosα=﹣ =﹣ , 可得答案.

故 tanα=

=

=



故选 A 点评:本题考查同角三角函数的基本关系,涉及三角函数值得求解,属基础题.

6.已知函数 f(x)=

,那么不等式 f(x)≥1 的解集为(



A. {x|﹣3≤x≤0} x≥3}

B. {x|x≤﹣3 或 x≥0}

C. {x|0≤x≤3}

D. {x|x≤0 或

考点:分段函数的应用. 专题:计算题;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析:不等式 f(x)≥1? 性,即可求出解集. 或 ,再由指数函数、对数函数的单调

解答: 解:∵函数 f(x)=



∴不等式 f(x)≥1? ? 或



?x≥3 或 x≤0, 故不等式 f(x)≥1 的解集为:[3,+∞)∪(﹣∞,0]. 故选 D. 点评:本题考查指数函数、对数函数的单调性及运用,考查简单指数、对数不等式的解法, 考查基本的运算能力,属于基础题. 7.已知在 R 上可导的函数 f(x)的图象如图所示,则不等式 f(x)?f′(x)<0 的解集为 ( )

A. (﹣2,0) ∪(0,+∞)

B. (﹣∞,﹣2)∪(﹣1,0) D. (﹣2,﹣1)∪(0,+∞)

C.(﹣∞, ﹣2)

考点:导数的运算. 专题:导数的综合应用. 分析:函数 y=f(x) (x∈R)的图象得函数的单调性,根据单调性与导数的关系得导数的符 号,得不等式 f(x)f′(x)<0 的解集 解答: 解:由 f(x)图象单调性可得 f′(x)在(﹣∞,﹣1)∪(0,+∞)大于 0, 在(﹣1,0)上小于 0, ∴f(x)f′(x)<0 的解集为(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,0) . 故选 B. 点评:考查识图能力,利用导数求函数的单调性是重点. 8. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中, 有 5 架歼﹣15 飞机准备着舰. 如 果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰,那么不同的着舰方法有( ) A. 12 B. 18 C. 24 D. 48 考点:排列、组合及简单计数问题. 专题:计算题. 分析:分两大步:把甲、乙看作 1 个元素和戊全排列,调整甲、乙,共有 再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的 3 个空位种,有 可得答案. 解答: 解:把甲、乙看作 1 个元素和戊全排列,调整甲、乙,共有 再把丙、丁插入到刚才“两个”元素排列产生的 3 个空位种,有 由分步计算原理可得总的方法种数为: =24 种方法, 种方法, 种方法,

种方法,由分步计算原理

故选 C 点评:本题考查简单的排列组合问题,捆绑法和插空法结合是解决问题的关键,属中档题. 9.设 f(x)是定义在 R 上的偶函数,对 x∈R,都有 f(x﹣2)=f(x+2) ,且当 x∈[﹣2,0] 时,f(x)=( ) ﹣1,若在区间(﹣2,6]内关于 x 的方程 f(x)﹣loga(x+2)=0(a>1) 恰有 3 个不同的实根,则 a 的取值范围是( A. (1,2) B. (2,+∞) ) C. (1, ) D. ( ,2)
x

考点:函数的零点与方程根的关系. 专题:作图题;函数的性质及应用. 分析:作出在区间(﹣2,6]内函数 f(x)的图象,将方程的根的个数化为函数图象交点的 个数.

解答: 解:∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴f(x)的图象关于 y 轴对称, ∵对 x∈R,都有 f(x﹣2)=f(x+2) , ∴f(x)是周期函数,且周期为 4; ∵当 x∈[﹣2,0]时,f(x)=( ) ﹣1, ∴其在区间(﹣2,6]内的图象如右图, ∴在区间(﹣2,6]内关于 x 的方程 f(x)﹣loga(x+2)=0(a>1)恰有 3 个不同的实根可 转化为,函数 f(x)的图象与 y=loga(x+2)的图象有且只有三个不同的交点, 则 loga(2+2)<3,且 loga(6+2)>3 解得,a∈( 故选 D. ,2) .
x

点评:本题通过分析可得函数 f(x)的性质,并由这些性质根据图象变换作出其图象,将 方程问题化为图象交点问题,属于中档题. 10.函数 y=f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数,且当 x∈(﹣∞,0)时,xf′(x)<f(﹣ x)成立,若 a= 系( ) A. c>a>b f( ) ,b=(lg3)f(lg3) ,c=(log2 )f(log2 ) ,则 a,b,c 大小关

B. c>b>a

C. a>b>c

D. a>c>b

考点:奇偶性与单调性的综合. 专题:函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析:根据条件构造函数,利用函数的奇偶性和单调性之间的关系,即可得到结论. 解答: 解:∵函数 y=f(x)是定义在实数集 R 上的奇函数, ∴当 x∈(﹣∞,0)时,xf′(x)<f(﹣x)等价为 xf′(x)+f(x)<0, 构造函数 g(x)=xf(x) , 则 g′(x)=xf′(x)+f(x)<0, ∴当 x∈(﹣∞,0)时,函数 g(x)单调递减,且函数 g(x)是偶函数, ∴当 x∈(0,+∞)时,函数 g(x)单调递增, 则 a= f( )=g( ) ,b=(lg3)f(lg3)=g(lg3) ,

c=(log2 )f(log2 )=g(log2 )=g(﹣2)=g(2) ∵lg3<1 , ∴lg(lg3)<g( )<g(2) , 即 b<a<c, 故选:A. 点评:本题主要考查函数值的大小比较, 根据函数的奇偶性构造函数, 利用导数研究函数的 单调性是解决本题的关键. 二、填空题:每小题 5 分,共 25 分. 11.已知集合 +∞) . 考点:对数函数的单调性与特殊点;指数函数的定义、解析式、定义域和值域;其他不等式 的解法. 专题:计算题;不等式的解法及应用. 分析:对集合 A 进行化简,求出解集 A,得到 A 的补集,然后求解集合 B,再根据交集的 定义求交集即可. 解答: 解:∵ = ={x|0<x ﹣1<2}={x|1<x<3}. ?RA={x|x≤1 或 x≥3}. x B={y|y=2 }={y|y>0}, (?RA)∩B=(0,1]∪[3,+∞) . 故答案为: (0,1]∪[3,+∞) ,B={y|y=2 },则(?RA)∩B= (0,1]∪[3,
x

点评:本题考查交集及其运算, 正确解答本题要正确理解交集的定义以及正确求解对数不等 式,熟练掌握相关概念对迅速完成题目很重要. 12.化简

=

﹣1 . 考点: 运用诱导公式化简求值;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值.

分析: 运用诱导公式化简后,根据同角三角函数基本关系的运用即可求值. 解答: 解:

=

=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 本题主要考查了诱导公式的应用, 考查了同角三角函数基本关系的运用, 属于基本 知识的考查. 13.将函数 f(x)=log2x 的图象水平向左平移 1 个单位,再关于 y 轴对称,得到函数 g(x) 的图象,则 g(x)的函数解析式为 g(x)=log2(1﹣x) . 考点:函数的图象与图象变化. 专题:常规题型. 分析:先写出将函数 f(x)=log2x 的图象水平向左平移 1 个单位后得到的解析式,再根据: “关于 y 轴对称”写出 g(x)的函数解析式即可. 解答: 解:∵将函数 f(x)=log2x 的图象水平向左平移 1 个单位得到: y=log2(x+1) ,再关于 y 轴对称,得到函数:y=log2(1﹣x) 即:g(x)=log2(1﹣x) 故答案为:g(x)=log2(1﹣x) . 点评:本小题主要考查函数的图象与图象变化、 函数的图象的对称等基础知识, 考查数形结 合思想.属于基础题. 三.考生注意:14、15、16 为选做题,从中选择 2 小题作答,全做则按前 2 小题给分. 14.如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上,延长 BC 到 D 使 BC=CD,过 C 作圆 O 的 切线交 AD 于 E.若 AB=8,DC=4,则 DE= 2 .

考点:与圆有关的比例线段. 专题:直线与圆. 分析:由已知条件,利用圆的性质和弦切角定理及 30°角所对直角边等于斜边长一半,推导 出△DCE 是∠DEC=90°,∠DCE=30°的直角三角形,由此能求出结果. 解答: 解:如图,∵AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上, 延长 BC 到 D 使 BC=CD,过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E. ∴∠BAC=∠DAC,AC⊥BD,∠ABC=∠ADC=∠ACE,

∴CE⊥AD, ∵AB=8,DC=4, ∴BC=DC=4,∠ABC=∠DCE=30°, ∴DE= = =2.

故答案为:2.

点评:本题考查与圆有关的线段长的求法, 是中档题, 解题时要注意弦切角定理的灵活运用.

15.已知点 A 是曲线 ρ=2sinθ 上任意一点,则点 A 到直线 小值是 .

的距离的最

考点:直线的参数方程;基本不等式在最值问题中的应用;圆內接多边形的性质与判定. 专题:压轴题;选作题. 分析:极坐标系下的问题, 我们都将其转化为直角坐标系下来加以解决, 利用点到直线的距 离公式求解即可. 解答: 解:曲线 ρ=2sinθ 化为普通方程 x +y =2y,直线 程为 圆的圆心为(0,1) ,半径 R 为 1,圆心到直线的距离 所以圆上点到直线距离的最小值为 点评:本题主要考查了圆上点到某条直线的距离的最大值、 最小值为圆心到直线的距离加半 径、减半径,属于基础题. 1013?碑林区校级模拟)设 f(x)=2|x|﹣|x+3|,若关于 x 的不等式 f(x)+|2t﹣3|≤0 有解, 则参数 t 的取值范围为 [0,3] . 考点:绝对值不等式的解法. 专题:计算题. 分析:由题意可得|2t﹣3|≤﹣f(x) ,可得﹣f(x)的最大值是 3,故只要|2t﹣3|≤3 即可,解之 可得. 解答: 解:f(x)+|2t﹣3|≤0 有解,则|2t﹣3|≤﹣f(x) ,
2 2

化为普通方

而﹣f(x)=|x+3|﹣2|x|=



可得﹣f(x)的最大值是 3,故只要|2t﹣3|≤3 即可, 解得:0≤t≤3,故 t 的取值范围为:[0,3] 故答案为:[0,3] 点评:本题考查绝对值不等式的解法, 涉及绝对值函数的最值和绝对值不等式的解集, 属中 档题. 三、计算题:17,18,19 每小题 13 分,20,21,22 每小题各 12 分,共 75. 17.已知角 α 的终边经过点 的值. 考点:任意角的三角函数的定义. 专题:综合题. 分析:根据三角函数的定义, 先计算 r, 再利用正弦函数的定义求出 m, 从而可求 cosα、 tanα 的值. 解答: 解:由题意知: ,则 ,…(2 分) ,且 ,求 cosα、tanα

所以 ∵m≠0,∴ 所以 当 时, …(7 分) …(8 分)

,…(5 分)

,…(11 分)



时,

.…(14 分)

点评:本题考查三角函数的定义, 解题的关键是确定参数的值, 再利用三角函数的定义进行 求解. 18.一个袋中装有大小相同的黑球和白球共 9 个,从中任取 2 个球,记随机变量 X 为取出 2 球中白球的个数,已知 P(X=2)= .

(Ⅰ)求袋中白球的个数; (Ⅱ)求随机变量 X 的分布列及其数学期望. 考点:离散型随机变量的期望与方差. 专题:计算题;概率与统计. 分析: (I) 设袋中有白球 n 个, 利用古典概型的概率计算公式即可得到 P (X=2) = 解出即可; = ,

(II)由(I)可知:袋中共有 3 个黑球,6 个白球.随机变量 X 的取值为 0,1,2,3,求 出相应的概率,即可得出随机变量 X 的分布列及其数学期望. 解答: 解: (Ⅰ)设袋中有白球 n 个,则 P(X=2)= (Ⅱ)由(I)可知:袋中共有 3 个黑球,6 个白球. 随机变量 X 的取值为 0,1,2,则 P(X=0)= 随机变量 X 的分布列如下: X 0 1 P EX=0× +1× +2× = . = ,P(X=1)= = ,P(X=2)= . = ,解得 n=6.

2

点评:熟练掌握古典概型的概率计算公式和超几何分布的概率计算公式是解题的关键.

19.设函数 f(x)=lnx﹣ax+

﹣1.

(Ⅰ)当 a=1 时,求曲线 f(x)在 x=1 处的切线方程; (Ⅱ)当 a= 时,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设函数 g(x)=x ﹣2bx﹣ 使 f(x1)≥g(x2)成立,求实数 b 的取值范围. 考点:利用导数求闭区间上函数的最值; 利用导数研究函数的单调性; 利用导数研究曲线上 某点切线方程. 专题:综合题. 分析: 确定函数 f(x)的定义域,并求导函数 (Ⅰ)当 a=1 时,f(x)=lnx﹣x﹣1,求出 f(1)=﹣2,f′(1)=0,即可得到 f(x)在 x=1 处的切线方程; (Ⅱ)求导函数,令 f'(x)<0,可得函数 f(x)的单调递减区间;令 f'(x)>0,可得函 数 f(x)的单调递增区间; (Ⅲ)当 时,求得函数 f(x)在[1,2]上的最小值为 f(1)= ;对于?x1∈[1,2],
2

,若对于?x1∈[1,2],?x2∈[0,1],

?x2∈[0,1]使 f(x1)≥g(x2)成立,等价于 g(x)在[0,1]上的最小值不大于 f(x)在(0, e]上的最小值, 求出 即可求得 b 的取值范围. 解答: 解:函数 f(x)的定义域为(0,+∞) , (2 分) , x∈[0, 1]的最小值,

(Ⅰ)当 a=1 时,f(x)=lnx﹣x﹣1,∴f(1)=﹣2, ∴f′(1)=0,∴f(x)在 x=1 处的切线方程为 y=﹣2(5 分) (Ⅱ) = (6 分)



令 f′(x)<0,可得 0<x<1,或 x>2;令 f'(x)>0,可得 1<x<2 故当 分) (Ⅲ)当 时,由(Ⅱ)可知函数 f(x)在(1,2)上为增函数, (9 分) 时,函数 f(x)的单调递增区间为(1,2) ;单调递减区间为(0,1) , (2,+∞) . (8

∴函数 f(x)在[1,2]上的最小值为 f(1)=

若对于?x1∈[1,2],?x2∈[0,1]使 f(x1)≥g(x2)成立,等价于 g(x)在[0,1]上的最小值 不大于 f(x)在(0,e]上的最小值 又 ①当 b<0 时,g(x)在[0,1]上为增函数, 矛盾 ②当 0≤b≤1 时, ,由 及 0≤b≤1 得, (*) (10 分) ,x∈[0,1] 与(*)

③当 b>1 时, g (x) 在[0, 1]上为减函数, 此时 b>1(11 分) 综上,b 的取值范围是 (12 分)



点评:本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的单调性,考查恒成立问 题,解题的关键是将对于?x1∈[1,2],?x2∈[0,1]使 f(x1)≥g(x2)成立,转化为 g(x) 在[0,1]上的最小值不大于 f(x)在(0,e]上的最小值.

20.设 f(x)=

为奇函数,a 为常数,

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)证明:f(x)在(1,+∞)内单调递增; (Ⅲ)若对于[3,4]上的每一个 x 的值,不等式 f(x)> 取值范围. +m 恒成立,求实数 m 的

考点: 对数函数图象与性质的综合应用;函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的性质. 分析: (1)利用奇函数的定义找关系求解出字母的值,注意对多解的取舍. (2)利用单调性的定义证明函数在给定区间上的单调性,关键要在自变量大小的前提下推 导出函数值的大小. (3)将恒成立问题转化为函数的最值问题,用到了分离变量的思想. 解答: 解: (1)∵f(x)是奇函数,∴f(﹣x)=﹣f(x) . ∴

. 检验 a=1(舍) ,∴a=﹣1. (2)由(1)知 证明:任取 1<x2<x1,∴x1﹣1>x2﹣1>0 ∴

即 f(x1)>f(x2) . ∴f(x)在(1,+∞)内单调递增. (3)对[3,4]于上的每一个 x 的值,不等式 恒成立. 令 又易知 ∴ ∴ 时原式恒成立. . .只需 g(x)min>m, 在[3,4]上是增函数, 恒成立,即

点评: 本题是以对数函数为载体考查函数基本性质的小综合题, 用到了函数奇偶性, 函数 单调性的定义. 恒成立问题中求字母的取值范围问题往往通过分离变量转化为函数的最值问 题,体现了等价转化的思想. 21.某企业招聘工作人员,设置 A、B、C 三组测试项目供参考人员选择,甲、乙、丙、丁、 戊五人参加招聘,其中甲、乙两人各自独立参加 A 组测试,丙、丁两人各自独立参加 B 组

测试. 已知甲、 乙两人各自通过测试的概率均为 , 丙、 丁两人各自通过测试的概率均为 . 戊 参加 C 组测试,C 组共有 6 道试题,戊会其中 4 题.戊只能且必须选择 4 题作答,答对 3 题则竞聘成功. (Ⅰ)求戊竞聘成功的概率; (Ⅱ)求参加 A 组测试通过的人数多于参加 B 组测试通过的人数的概率; (Ⅲ)记 A、B 组测试通过的总人数为 ξ,求 ξ 的分布列和期望. 考点:离散型随机变量的期望与方差;相互独立事件的概率乘法公式. 专题:概率与统计. 分析: (I) 设戊竞聘成功为 A 事件,则事件的总数为 情况:一种是戊会其中 4 题都选上 有 ,而事件 A 竞聘成功分为两种

,另一种是选上会其中 4 题的其中 3 道题和另一道题

种方法,再利用概率计算公式即可得出.

(Ⅱ)设“参加 A 组测试通过的人数多于参加 B 组测试通过的人数”为 B 事件,包括两种情 况:第一种是甲乙两人都通过,而丙丁两人都没有通过;第二种情况是甲乙两人都通过,而 丙丁两人种只有一人通过, 第三种情况是甲乙两人中只有一人都通过, 而丙丁两人都没有通 过.再利用互相独立事件的计算公式、互斥事件的概率计算公式即可得出. (Ⅲ)ξ 可取 0,1,2,3,4.ξ=0 表示甲乙丙丁四人都没有通过;ξ=1 表示四人中只有一人 通过;ξ=3 表示由 3 人通过;ξ=4 表示四人都通过,利用分类讨论和独立事件的概率计算公 式及其互斥事件的概率计算公式及其对立事件的概率计算公式和概率的性质即可得出,P (ξ=2)=1﹣P(ξ=0)﹣P(ξ=1)﹣P(ξ=3)﹣P(ξ=4) . 解答: 解: (I) 设“戊竞聘成功”为 A 事件,而事件 A 竞聘成功分为两种情况:一种是戊 会其中 4 题都选上, 另一种是选上会其中 4 题的其中 3 道题和另一道题, 基本事件的总数为 .

∴P(A)=

=

(Ⅱ)设“参加 A 组测试通过的人数多于参加 B 组测试通过的人数”为 B 事件,包括三种情 况:第一种是甲乙两人都通过,而丙丁两人都没有通过;第二种情况是甲乙两人都通过,而 丙丁两人种只有一人通过; 第三种情况是甲乙两人中只有一人都通过, 而丙丁两人都没有通 过. ∴P(B)= + = = = .

(Ⅲ)ξ 可取 0,1,2,3,4.可得 P(ξ=0)= = +

,P(ξ=1) ,P(ξ=3)

= = 列表如下: ξ 0 1 P ∴Eξ= =

+

=

,P(ξ=4) .

,P(ξ=2)=1﹣P(ξ=0)﹣P(ξ=1)﹣P(ξ=3)﹣P(ξ=4)=

2

3

4

= .

点评:本题中考查了超几何分布、 互斥事件的概率计算公式、 随机变量的分布列及其数学期 望、分类讨论等基础知识与基本方法,属于难题. 22.已知函数 f(x)= (k 为常数,e=2.71828…是自然对数的底数) ,曲线 y=f(x) 在

点(1,f(1) )处的切线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)求 f(x)的单调区间; 2 (Ⅲ)设 g(x)=(x +x)f′(x) ,其中 f′(x)是 f(x)的导函数.证明:对任意 x>0,g ﹣2 (x)<1+e . 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;导数在最大值、最 小值问题中的应用. 专题:导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求出函数的导函数,函数在点(1,f(1) )处的切线与 x 轴平行,说明 f′(1) =0,则 k 值可求; (Ⅱ)求出函数的定义域,然后让导函数等于 0 求出极值点,借助于导函数在各区间内的符 号求函数 f(x)的单调区间. (Ⅲ)g(x)=(x +x)f′(x)= =
2

(1﹣xlnx﹣x) ,分别研究 r(x)=1﹣xlnx﹣x,s(x)

的单调性,可得函数的范围,即可证明结论.

解答: (Ⅰ)解:



依题意,∵曲线 y=f(x) 在点(1,f(1) )处的切线与 x 轴平行, ∴ ∴k=1 为所求. (Ⅱ)解:k=1 时, (x>0) =0,

记 h(x)= ﹣lnx﹣1,函数只有一个零点 1,且当 x>1 时,h(x)<0,当 0<x<1 时,h (x)>0, ∴当 x>1 时,f′(x)<0,∴原函数在(1,+∞)上为减函数;当 0<x<1 时,f′(x)>0, ∴原函数在(0,1)上为增函数. ∴函数 f(x)的增区间为(0,1) ,减区间为(1,+∞) . (Ⅲ)证明:g(x)=(x +x)f′(x)=
2

(1﹣xlnx﹣x) ,先研究 1﹣xlnx﹣x,再研究
﹣2



①记 r(x)=1﹣xlnx﹣x,x>0,∴r′(x)=﹣lnx﹣2,令 r′(x)=0,得 x=e , ﹣2 当 x∈(0,e )时,r′(x)>0,r(x)单增; ﹣2 当 x∈(e ,+∞)时,r′(x)<0,r(x)单减. ﹣2 ﹣2 ﹣2 ∴r(x)max=r(e )=1+e ,即 1﹣xlnx﹣x≤1+e . ②记 s(x)= ∴ ,x>0, <0,∴s(x)在(0,+∞)单减, <1. (1﹣xlnx﹣x)≤( ) (1+e )<1+e .
﹣2 ﹣2

∴s(x)<s(0)=1,即 综①、②知,g(x) )=

点评:本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的单调性,考查分类讨论 的数学思想,正确求导,合理分类是关键.


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