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(浙江专版)2017-2018学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 第二课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值教_图文

第二课时 正弦函数、余弦函数的单调性与最值
预习课本P37~40,思考并完成以下问题
(1)正、余弦函数的单调区间分别是什么? (2)正、余弦函数的最值分别是多少?取最值时自变量 x 的值
是多少?

[新知初探]

正弦函数、余弦函数的图象和性质

正弦函数

余弦函数

图象

值域

_[_-___1__,1__]__

[__-___1_,_1__] _

单调性

在 ???2kπ-π2,2kπ+π2??? (k∈Z)上 递增,在 ???2kπ+π2,2kπ+32π??? (k ∈Z)上递减

在 _[_2_k__π__-___π__,___2__k_π__]_(k ∈ Z)上递增, 在 _[_2__k_π__,___2__k_π__+___π__]_(k ∈ Z)上递减

最值

x=

π2+2kπ

x= 2kπ (k∈Z)时,ymax=1; =1;

(k∈Z)时,ymax

x=-π2+2kπ (k∈Z)时,ymin=-1

x= 2kπ+π ymin=-1

(k∈Z)时,

[点睛] (1)正弦函数、余弦函数有单调区间,但都不是 定义域上的单调函数,即正弦函数、余弦函数在整个定义域 内不单调.
(2)正弦曲线(余弦曲线)的对称轴一定过正弦曲线(余弦曲 线)的最高点或最低点,即此时的正弦值(余弦值)取最大值或 最小值.

[小试身手]

1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)正弦函数、余弦函数在定义域内都是单调函数. ( × )

(2)存在x∈R满足sin x= 2.

( ×)

(3)在区间[0,2π]上,函数y=cos x仅当x=0时取得最大值1.

(× )

2.在下列区间中,使函数y=sin x为增函数的是 ( )

A.[0,π] C.???-π2,π2 ???

B.???π2,32π??? D.[π,2π]

答案:C

3.函数y=2-sin x的最大值及取最大值时x的值为 ( )
A.ymax=3,x=π2 B.ymax=1,x=π2+2kπ(k∈Z) C.ymax=3,x=-π2+2kπ(k∈Z) D.ymax=3,x=π2+2kπ(k∈Z) 答案:C 4.函数y=3+2cos x的最大值为________. 答案:5

正、余弦函数的单调性
[典例] 求函数y=3sin???π3-2x???的单调递减区间. [解] ∵y=3sin???π3-2x???=-3sin???2x-π3???, ∴y=3sin???2x-π3???是增函数时, y=3sin???π3-2x???是减函数.

∵函数y=sin x在???-π2+2kπ,π2+2kπ???(k∈Z)上是增函数, ∴-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ, 即-1π2+kπ≤x≤51π2+kπ(k∈Z). ∴函数y=3sin ???π3-2x??? 的单调递减区间为 ???-1π2+kπ,51π2+kπ??? (k∈Z).

与正、余弦函数有关的单调区间的求解技巧 (1)结合正、余弦函数的图象,熟记它们的单调区间. (2)确定函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)单调区间的方法: 采用“换元”法整体代换,将 ωx+φ 看作一个整体,可令“z =ωx+φ”,即通过求 y=Asin z 的单调区间而求出函数的单调 区间.若 ω<0,则可利用诱导公式将 x 的系数转变为正数.

[活学活用] 求 y=cos???π3-2x???的单调增区间. 解:因为 y=cos???π3-2x???=cos???2x-π3???, 所以令 π+2kπ≤2x-π3≤2π+2kπ,k∈Z, 得23π+kπ≤x≤76π+kπ,k∈Z. 所以函数 y=cos???π3-2x???的单调增区间为 ???23π+kπ,76π+kπ???,k∈Z.

三角函数值的大小比较
[典例] 比较下列各组数的大小: (1)sin 250°与sin 260°;(2)cos158π与cos149π. [解] (1)∵函数 y=sin x 在???π2,32π???上单调递减,且 90°< 250°<260°<270°, ∴sin 250°>sin 260°.
(2)cos158π=cos???2π-π8???=cosπ8, cos149π=cos???2π-49π???=cos49π. ∵函数 y=cos x 在[0,π]上单调递减, 且 0<π8<49π<π, ∴cosπ8>cos49π,∴cos158π>cos149π.

比较三角函数值大小的方法 (1)比较两个同名三角函数值的大小,先利用诱导公 式把两个角化为同一单调区间内的角,再利用函数的单调 性比较. (2)比较两个不同名的三角函数值的大小,一般应先 化为同名的三角函数,后面步骤同上.

[活学活用] 比较下列各组数的大小.
(1)cos???-π8???与cos137π; (2)sin 194°与cos 160°. 解:(1)cos???-π8???=cosπ8, cos137π=cos???2π-π7???=cos???-π7???=cosπ7. ∵0<π8<π7<π,且y=cos x在(0,π)上单调递减, ∴cosπ8>cosπ7,即cos???-π8???>cos137π.

(2)sin 194°=sin (180°+14°)=-sin 14°, cos 160°=cos(180°-20°)=-cos 20°=-sin 70°. ∵0°<14°<70°<90°且y=sin x在???0,π2???上单调递增, ∴sin 70°>sin 14°,即-sin 14°>-sin 70°. 故sin 194°>cos 160°.

正、余弦函数的最值
题点一:形如y=asin x(或y=acos x)型 1.若y=asin x+b的最大值为3,最小值为1,则ab=________.
解析:当a>0时,?????a-+ab+=b3=,1, 得?????ab==12,. 当a<0时,?????a-+ab+=b1=,3, 得?????ab==-2. 1, 答案:±2

题点二:形如 y=Asin(ωx+φ)+b 或 y=Acos(ωx+φ)+b 型
2.求函数 y=3-4cos???2x+π3???,x∈???-π3,π6???的最大、最小值及相应
的 x 值. 解:因为 x∈???-π3,π6???, 所以 2x+π3∈???-π3,23π???, 从而-12≤cos???2x+π3???≤1. 所以当 cos???2x+π3???=1,即 2x+π3=0,x=-π6时,ymin=3-4=-1. 当 cos???2x+π3???=-12,即 2x+π3=23π,x=π6时,ymax=3-4×???-21???=5. 综上所述,当 x=-π6时,ymin=-1;当 x=π6时,ymax=5.

题点三:形如y=Asin2x+Bsin x+C或y=Acos2x+Bcos x+C型
3.求函数y=3-4sin x-4cos2x的值域. 解:y=3-4sin x-4cos2x =3-4sin x-4(1-sin2x) =4sin2x-4sin x-1, 令t=sin x,则-1≤t≤1. ∴y=4t2-4t-1=4???t-12???2-2(-1≤t≤1). ∴当t=12时,ymin=-2, 当t=-1时,ymax=7. 即函数y=3-4sin x-4cos2x的值域为[-2,7].