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2007年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷)数学(理科)试卷


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2007 年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷) 数学(理科)试卷
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。第 II 卷第 22 题为选考题, 其他题为必考题。考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的准 考证号、姓名,并将条形码粘贴在指定位置上。 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号; 非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或炭素笔书写,字体工整,笔迹清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损。 5.作选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 标号涂黑。 参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,L , xn 的标准差 锥体体积公式

s=

1 [( x1 x)2 + ( x2 x )2 + L + ( xn x )2 ] n

1 V = Sh 3
其中 S 为底面面积、h 为高 球的表面积、体积公式

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式 V=Sh 其中 S 为底面面积,h 为高

S = 4πR 2 , V =
其中 R 为球的半径

4 3 πR 3

第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.已知命题 p : x ∈ R ,sinx≤1,则( A. p : x ∈ R ,sinx≥1 B. p : x ∈ R ,sinx≥1 C. p : x ∈ R ,sinx>1 D. p : x ∈ R ,sinx>1 )

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2.已知平面向量 a=(1,1) ,b(1,-1) ,则向量 A. (-2,-1) B. (-2,1) C. (-1,0) D. (-1,2) 3.函数 y = sin 2 x

1 3 a b=( 2 2





π π 在区间 ,π 的简图是( 3 2 1



y


y
π 6

π 2

π1 3

O 1

π

x



π π O 3 2 1

π 6

π x

A.

B.

y 1
π O π 6 2
π 3

y
π

x

1



π 2



π1 6

O 1

π 3

π x

C.

D. )

4.已知{an}是等差数列,a10=10,其前 10 项和 S10=70,则其公差 d=( A. B. C.

2 3 1 3

1 3 2 3


D.

5. 如果执行右面的程序框图, 那么输出的 S= ( A.2450 B.2500 C.2550 D.2652

6.已知抛物线 y 2 = 2 px( p > 0) 的焦点为 F,点 P1(x1,y1) 2(x2,y2) 3(x3,y3)在 ,P ,P 抛物线上,且 2x2=x1+x3, 则有( )

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A. FP + FP2 = FP 1 3 B. FP + FP2 1
2 2

= FP3

2

C. 2 FP2 = FP + FP 1 3 D. FP2
2

= FPFP3 1 ( a + b) 2 的最小值 cd

7.已知 x>0,y>0,x,a,b,y 成等差数列,x,c,d,y 成等比数列,则 是( ) A.0 B.1 C.2 D.4

8.已知某个几何体的三视图如下,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的 体积是( )

A.

4000 3 cm 3 8000 3 cm 3

B.

C.2000cm3 D.4000cm3

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9.若

cos 2α 2 = ,则 cos α + sin α 的值为( π 2 sin α 4 7 2
1 x 2



A.

B.

1 2

C.

1 2

D.

7 2


10.曲线 y = e A.

在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(

9 2 e 2

B.4e2 C.2e2 D.e2 11.甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭 20 次,三人的测试成绩如下表 甲的成绩 环数 频数 7 5 8 5 9 5 10 5 乙的成绩 环数 频数 7 6 8 4 9 4 10 6 丙的成绩 环数 频数 7 4 8 6 ) 9 6 10 4

s 1,s 2,s 3 分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差,则有( A.s 3>s 1>s 2 B.s 2>s 1>s3 C.s 1>s 2>s3 D.s 2>s3>s1

12.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱,这个四棱锥的底面为正方形,且 底面边长与各侧棱长相等, 这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。 设四棱锥、 三棱锥、 ) 三棱柱的高分别为 h1 , h2 , h ,则 h1 : h2 : h = ( A. 3 :1:1 B. 3 : 2 : 2 C. 3 : 2 : 2 D. 3 : 2 : 3

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分, 13 题-第 21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须做 答,第 22 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。

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13.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线的距离为 6,则该双曲线的离心 率为 。 14.设函数 f ( x ) = 15.i 是虚数单位,

( x + 1)( x + a) 为奇函数,则 a= x 5 + 10i = 3 + 4i



。 (用 a+bi 的形式表示, a,b ∈ R )

16.某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个工厂至少安排一个 种。 (用数字作答) 班,不同的安排方法共有

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点 C 与 D。 现测得 ∠BCD = α,∠BDC = β ,CD=s,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 θ ,求塔高 AB。

18. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 S—ABC 中,侧面 SAB 与侧面 SAC 均为等边三角形, ∠BAC = 90° , O 为 BC 中点。

(Ⅰ)证明: SO ⊥ 平面 ABC; (Ⅱ)求二面角 A—SC—B 的余弦值。 19. (本小题满分 12 分)

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在平面直角坐标系 xOy 中,经过点 (0,2) 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 个不同的交点 P 和 Q。 (Ⅰ)求 k 的取值范围;

x2 + y 2 = 1 有两 2

r uuu uuur uuu r 量 OP + OQ 与 AB 共线?如果存在,求 k 值;如果不存在,请说明理由。
20. (本小题满分 12 分)

(Ⅱ)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A、B,是否存在常数 k,使得向

如图,面积为 S 的正方形 ABCD 中有一个不规则的图形 M,可按下面方法估计 M 的面 积:在正方形 ABCD 中随机投掷 n 个点,若 n 个点中有 m 个点落入 M 中,则 M 的面积的 估计值为

m S ,假设正方形 ABCD 的边长为 2,M 的面积为 1,并向正方形 ABCD 中随机 n

投掷 10000 个点,以 X 表示落入 M 中的点的数目。

(Ⅰ)求 X 的均值 EX; (Ⅱ) 求用以上方法估计 M 的面积时, 的面积的估计值与实际值之差在区间 M (-0.03, , 0.03)内的概率。 附表: P ( k ) = K P(k)

∑C
t =0

k

t 10000

× 0.25t × 0.7510000t
2425 0.0423 2574 0.9570 2575 0.9590

2424 0.0403

21. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x ) = ln( x + a) + x
2

(Ⅰ)若当 x=-1 时,f(x)取得极值,求 a 的值,并讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若 f(x)存在极值,求 a 的取值范围,并证明所有极值之和大于 ln

e 。 2

22.请考生在 A、B、C 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。作答时, 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。 A(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲如图,已知 AP 是⊙O 的切线,P 为切点, AC 是⊙O 的割线,与⊙O 交于 B、C 两点,圆心 O 在 ∠PAC 的内部,点 M 是 BC 的中点。

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(Ⅰ)证明 A,P,O,M 四点共圆; (Ⅱ)求 ∠OAM + ∠APM 的大小。 B(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 ⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程分别为 ρ = 4 cos θ,ρ = 4sin θ 。 (Ⅰ)把⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)求经过⊙O1,⊙O2 交点的直线的直角坐标方程。 C(本小题满分 10 分)选修 4-5;不等式选讲设函数 f ( x ) = 2 x + 1 x 4 。 (Ⅰ)解不等式 f(x)>2; (Ⅱ)求函数 y= f(x)的最小值。


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