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天津市2009届高三数学下学期模拟试题分类汇编——立体几何

1、 (2009 东北育才、 天津耀华、 大连育明、 哈三中联考) 已知 m、n 是两条不同的直线, 、? ? 是两个不同的平面,有下列命题: ①若 m ? ? , n // ? ,则 m // n ; ②若 m // ? , m // ? ,则 ? // ? ; ③若 m ? ? , m ? n ,则 n // a ; 其中真命题的个数是 A.0 个 B.1 个 B 2、 (2009 天津六校联考)如图,一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图 是边长为 2 的正三角形、俯视图轮廓为正方形, 则全面积是( A. ). B.
主视图 左视图

天津市 2009 届高三数学下学期模拟试题分类汇编——立体几何

③若 m ? ? , m ? ? ,则 ? // ? ; C.2 个 D.3 个

4 2 3

4 3 3

C. 12

D.8
俯视图 第 6 题图

C

3、 (2009 和平区一模)如图,在正四面体 P-ABC 中,D、E、F 分别 是 AB、BC、CA 的中点,下面四个结论不成立的是 (A)BC∥平面 PDF (B)DF⊥平面 PAE (C)平面 PDF⊥平面 PAE (D)平面 PDE⊥平面 ABC D 4、 (2009 河北区一模)若直线 a、 b 是相互不垂直的异面直线,平面 ?、? 满足 a ? ? , b ? ? , 且? ? ? , 则这样的平面 ?、? A.只有一对 B.有两对 C.有无数对 D.不存在 C 5、 (2009 河东区一模)在 ?ABC 中, ?B ? 90 , AC ?
?

15 , D, E 两点分别在 AB, AC 上。使 2

AD AE ? ? 2, DE ? 3 。将 ?ABC 沿 DE 折成直二面角,则二面角 A ? EC ? B 的余弦值为 DB EC
A.

3 22 22

B.

5 22 22

C.

3 34 34

D.

5 34 34

C 6、 (2009 十二区县联考)若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所 示,则这个棱柱的体积为( )

4

3 3
正视图 侧视图 俯视图

A. 12 3

B. 36 3

C.

27 3

D. 6

-1-

B 二、填空题 1、 (2009 河东区一模)在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,若 AB ? 2, AA 1 ?1 ,则 A 到平面 A BC 的 1 距离

3 2
三、解答题 1、 (2009 东北育才、天津耀华、大连育明、哈三中联考)如图,在直三棱柱 ABC — A1B1C1 中, AC ? BC ? AA ? 2 , ?ACB ? 1

?

2

, D , E 分别为

AC, AA1 的中点,点 F 为棱 AB 上的点。 (I)当点 F 为 AB 的中点时,求证: EF ? AC1 ; (Ⅱ) 当点 F 为 AB 的中点时, 求点 B1 到平面 DEF 的距离; ? AF (Ⅲ)若二面角 A ? DF ? E 的大小为 ,求 的值 FB 4 解: (法一) (I) DF // BC , BC ? AC , ? DF ? AC ? 平面 ACC1 A1 ? 平面 ABC ,且 DF ? 平面 ABC ? DF ? 平面 ACC1 A1
2分 ? D F? A 1 C ? ACC1 A1 是正方形 ? A C ? D E 1 ? A C ?平 D E F A C ,即 ? 1 ? EF EF 1 AC 4分 ? 1 (Ⅱ)? B1C1 // BC, BC // DF ,? B1C1 // 平面DEF ?点B1 到平面 DEF 的距离等于点 C1 到平面 DEF 的距离 ? DF ? 平面 ACC1 A1 ,? 平面 DEF ? 平面ACC1 A1 ? AC1 ? DE ? AC1 ? 平面DEF 设 AC1 ? DE ? 0, 则 C1O 就是点 C1 到平面 DEF 的距离 6分 3 2 由题设计算,得 C1O ? 8分 2 (Ⅲ)作 AM ? DF 于 M , 连接 EM ,因为 EA ? 平面ADF, 所以 ? EMA 为所求二面角的平面角, EA ? 1 ,又 EA ? 1 ,所以 AM ? 1 , 则 tan ?EMA ? AM 则 M 为 AC 中点,即 M , D 重合, 10 分 则 AC ? FD ,又 BC ? AC ,所以 FD 与 BC 平行, AF ?1 所以 F 为 AB 中点,即 12 分 FB (法二)解:以 C 点为坐标原点, CA 所在直线为 x 轴, CB 所在直线为 y 轴, CC1 所在 直线为 z 轴建立空间直角坐标系 1分 (I)由 E(2,0,1) F (1,1,0) A (2,0,0) C (0,0,2) , , ,

-2-

知向量 EF ? (?1,1, ?1), AC1 ? (?2,0,2)

??? ?

???? ?

?E F? A 1 C ???? ? (Ⅱ)? D(1,0,0), B1 (0, 2, 2) ? B1D ? ( 1, 2 , 2 ) ? ?
?

??? ???? ? ? ? EF ? AC1 ? 0

又? 平面 DEF 的法向量 n =(1,0,-1)

? 距离 d ?

???? ? ? B1 D ? n
?

?

n

3 2 2
?

(Ⅲ)设 F ( x, 2 ? x,0) ,平面 ADF 的法向量 n1 =(0,0,1) ,平面 DEF 的法向
? ? x ?1 ? n2 ? ?1 , ? ? , 1 ? x?2 ? ?? ?? ? ? 2 n1 ? n2 ? cos ? ? ?? ?? ? ? 4 2 n1 n2

10 分

1 ( x ? 1)2 1? 1 ? 1 ? ( x ? 2)2
12 分

? x ? 1 ,即 F 为线段 AB 的中点,

?

AF ?1 FB

2、 (2009 和平区一模)如图,正四棱锥 P ? ABCD 的底面边长与侧棱长都是 2,点 O 为底 面 ABCD 的中心,M 为 PC 的中点. (Ⅰ)求异面直线 BM 和 AD 所成角的大小; (Ⅱ)求二面角 M ? PB ? D 的余弦值. 解:(Ⅰ)连接 PO ,以 OA, OB, OP 所在的直线为 x 轴, y 轴, z 轴 建立如图所示的空间直角坐标系. …………………………………(2 分) ? 正四棱锥的底面边长和侧棱长都是 2,

? PO ? 2 .

? A( 2 , 0 , 0 ) , B

( 0 , C, 0 ) , 2?

(

D , ? , 0 ) , P0 , 2 0 (

2. 0 ) , ,

(0, 0,

2 ),

? M 为 PC 的中点.
? M (? 2 2 , 0, ) 2 2
…………(4 分)

???? ???? ? 2 2 ? AD ? (? 2, ? 2, 0), BM (? , ? 2, ). 2 2 ???? ???? ? ???? ???? ? AD?BM 3 ? cos( AD, BM ) ? ???? ???? ? ? 2 AD ?BM
? ? ?? ? ? ? ?? ? A D B M? ? 0? , 1 8?0 , ?

-3-

???? ???? ? ? AD, BM ? 30?, 即异面直线 BM 和 AD 所成的角为 30?
(Ⅱ)?OC ? (? 2,0,0), BD ? OC, PO ? OC .

………(6 分)

??? ?

??? ? ?OC 是平面 PDB 的一个法向量.
由(Ⅰ)得 BP ? (0, ? 2, 2) . 设平面 BMP 的一个法向量为 n ? (a, b, c) ,

……………………………(8 分)

??? ?

?0?a ? 2b ? 2c ? 0 ??? ? ???? ? ? 则由 n ? BP, n ? BM ,得 ? . 2 2 a ? 2b ? c?0 ?? ? 2 2

?b ? c ,不妨设 c ? 1 , ?? ?a ? 2b ? c ? 0
得平面 BMP 的一个法向量为 n ? (?1,1,1) . ………………(10 分)

???? (?1,1,1)?(? 2, 0, 0) 3 ? cos(n, OC ) ? ? . 2 2 2 3 (?1) ? 1 ? 1 ? 2

? 二面角 M ? PB ? D 小于 90? , ? 二面角 M ? PB ? D 的余弦值为
3 . 3
………………(12 分)

3 、 2009 河 北 区 一 模 ) 如 图 所 示 , 四 棱 锥 P ? ABCD中 , A B ? A D, CD ? AD , ( PA ? 底面ABCD , PA ? AD ? CD ? 2 AB ? 2, M 为 PC 的中点。 (I)求证: BM // 平面PAD ; (Ⅱ)求直线 PB 与平面 ABM 所成角的正弦值; (Ⅲ)求二面角 M ? BC ? D 的正弦值。

解法一; (I)证明:取 PD 的中点 E ,连结 AE 和 EM ,

1 1 CD, 又 AB // CD ,? AB//EM 2 2 ? 四边形 ABME 为平行四边形,? BM // AE 又? MB ? 平面 PAD , AE ? 平面 PAD ? BM // 平面 PAD (Ⅱ)以 A 为原点,以 AD、AB、AP 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系, 如图,则 A (0,0,0) ,B(0,1,0) ,C(2,2,0) ,D(2,0,0) , E(1,0,1) ,M(1,1,1) ,P(0,0,2) ,设直线 PB 与平面 ABM 所成的角为 ? , ? AD ? AP, E 是 PD 中点, ? AE ? PE
则 EM //
-4-

? PA ? AB,

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? PB ? (0,1, ?2),| PB |? 5, PE ? (1,0, ?1).| PE |? 2 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? PB ? PE 2 10 ? ? 。 ? cos ? PB, PE ?? ??? ??? ? ? 5 | PB | ? | PE | 5? 2 ??? ??? ? ? 10 ? sin ? ? cos ? PB, PE ?? 5 ?? (Ⅲ)设二面角 M ? BC ? D 的平面角为 a ,平面 MBC 的法向量为 m =( x, y, z ) , ?? ???? ? ?? ??? ? ???? ? ??? ? 则 m ? BM ? 0, m ? BC ? 0 ? BM ? (1,0,1), BC ? (2,1,0), ?? ?? ? x ? z ? 0, 2 x ? y ? 0, 不妨设 x ? 1, 则 m ? (1, ?2, ?1),| m |? 6 ??? ? ??? ? ??? ? ? AP 为平面 ABCD 的法向量,且 AP ? (0,0, 2).| AP |? 2 ??? ?? ? ??? ?? ? AP ? m ?2 6 ? ? cos ? AP, m ?? ??? ?? ? ?? . 6 | AP | ? | m | 2 6
? sin ? ? 30 6

AD ? AB ? AB ? 面 PAD , ??? ? ? PE ? 面 ABME, 即 PE 为面 ABM 的法向量,

? AB ? PE

解法二: (I)同上; (Ⅱ)连结 BE ,? AD ? AP , E 是 PD 中点,? AE ? PE 。 ? PA ? AB. AD ? AB,? AB ? 面 PAD ? AB ? PE

? PE ? 面 ABME ? ?PBE 就是直线 PB 与平面 ABM 所成的角。

PE 10 ? PB 5 (Ⅲ)连结 AC ,取 AC 的中点 N ,连结 MN ,过点 N 作 NH ? BC 于 H , 连结 MH , 1 ? M 是 PC 的中点, N 是 AC 的中点,? MN // PA 且 MN ? PA ? 1 2 ? MN ? 面 BCD ? MH ? BC 又? NH ? BC ??MHN 就是二面角 M ? BC ? D 的平面角,设为 ? 。 1 在 Rt ?BMC 中, BC ? 5, MC ? PC ? 3, MB ? 2 2 MB ? MC 6 MN 30 ? MH ? ? ?sin ? ? ? BC MH 6 5 ? PE ? 2, PB ? 5, ?sin ? ?

? 二面角 M ? BC ? D 的正弦值为

30 6

4 、 2009 河 东 区 一 模 ) 在 四 棱 锥 P ? A B C D , 底 面 A B C D 一 直 角 梯 形 , ( 中 是

?BAD ? 90? , AD // BC, AB ? BC ? 1, AD ? 2 , PA ? 底面 ABCD , PD 与底面成 30? 角。
(1)若 AE ? PD , E 为垂足,求证: BE ? PD ; (2)求异面直线 AE 与 CD 所成的角的余弦值; (3)求 A 点到平面 PCD 的距离。

-5-

(1)证明:以 A 为原点,AB,AD,AP 所在直线为坐标轴建立直角坐标系(如图)

则 A(0, 0, 0), B(1, 0, 0) D(0, 2, 0) P(0, 0,

2 3 ) 3

??? ??? ? ? 2 3 AB?PD ? (1,0,0)? 2, ? (0, )?0 3
又 AE? PD ? 0? AB ? PD, AE ? PD 所以 PD ? 面 BEA

??? ??? ? ?
??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

BE ? 面 BEA ,? PD ? BE
(2)解:? PA ? 面 ABCD , PD 与底面成 30 角, ??PDA ? 30
? ?

? sin ? 过 E 作 EF ? AD ,垂足为 F,则 AE ? AD? 30 ? 1 , ?EAF ? 60

??? ? 1 3 1 3 1 3 AF ? , EF ? ? E (0, , ) ,于是 AE ? (0, , ) 2 2 2 2 2 2
又 C(1,1,0), D(0, 2,0), CD ? (?1,1,0)

??? ?

-6-

??? ??? ? ? AE ? CD 2 则 COS? ? ??? ??? ? ? ? 4 AE CD
? AE 与 CD 所成角的余弦值为

2 。 4

(3)设 V ? 平面 PCD ,则 V ? PD,V ? CD 即 ( x, y, z )? 2, ? (0,

? ?

? ?

??? ? ? ?

??? ?

2 3 2 3 ) ? 0?2 y ? z ?0 3 3

( x, y, z )? ?1,1,0) ? 0 ?? x ? y ? 0 (
令 y ? 1 则 x ? y ? 1, z ? 3 y ? 3,V ? (1,1, 3)

? ?

? ??? ? ? V ?DA 2 5 A 点到平面 PCD 的距离设为 d ,则 d ? ? ? ? 5 V
即 A 点到平面 PCD 的距离设为

2 5 。 5

5、 (2009 河西区一模)如图:已知长方体 ABCD ? A B1C1D1 的底面 ABCD 是边长为 4 1 的正方形,高 AA ? 4 2 P 为 CC1 的中点 1 (I) (II) 求证: BD ? A1P 求二面角 A1 ? PD ? B 的余弦值

解:(I)证明:连结 AC1 , AC,? ABCD ? A B1C1D1 是长方体, 1 1

? A1 A ? 面 ABCD
又 BD ? 面 ABCD ,? BD ? A1 A ,又 ABCD 是 正方形,

? BD ? AC, AC ? A1 A ? A
? BD ? 面 A1 AC ,即 BD ? 面A1ACC1 ……3 分
又 A P ? 面A ACC1 ,? BD ? A1P ……6 分 1 1

-7-

(II)如图,以 D 为原点建系,由题意的 D(0,0,0)

A1(4,0, 4 2), B(4, 4,0), P(0, 4, 2 2) ……6 分
于是 BD ? (?4, ?4,0), PD ? (0, ?4. ? 2 2),

??? ?

??? ?

?? ? ?? A1D ? (?4,0, ?4 2) ,设 n1 ? 面 BDP
不妨设 n1 ? ( x, y,2), 由 ? ……8 分 设 n2 ? 面 A DP ,不妨设 n2 ? ( x, y, 2),由 ? 1

??

?? ? ? ??4 x ? 47 ? 0 ? ?x ? 2 )得 ? ?n1 ? ( 2, ? 2, 2) ??4 y ? 4 2 ? 0 ? y ? ? 2 ? ?
?? ? ??4 x ? 8 2 ? 0 ? ? x ? ?2 2 ? 得? ??4 y ? 4 2 ? 0 ? y ? ? 2 ? ?

?? ?

? ?? ?n2 ?( ? 2 , ? 2 ,……9 分 2 2)
????? ? ?? ?? ? n1 ?n2 ?4 ? 2 ? 4 7 若 n1 与 n2 的夹角 ? ,则 cos ? ? ??? ???? ? ……11 分 ? 14 | n1 | | n2 | 8 ? 14
据分析二面角 A1 ? PD ? B 是锐角,? 二面角 A1 ? PD ? B 的余弦值是
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7 ……12 分 14

-8-


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