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2016-2017年《金版学案》数学·必修5(苏教版)练习:章末知识整合2 Word版含解析


章末知识整合 [整合· 网络构建] 专题 1 求数列的通项公式 一、观察法 [典例 1] 写出以下数列的一个通项公式,使它的前 4 项分别是 下列各数. 1 1 1 (1)-1, ,- , ; 2 3 4 1 4 9 16 (2)1 ,2 ,3 ,4 ; 2 5 10 17 1 (3)-3,7,-15,31,…; (4)2,6,2,6,…. 分析:观察数列中的每一项与它的序号之间的对应关系,每一项 分子与分母的关系,前后项间的关系归纳通项. 解:(1)这个数列的前 4 项的绝对值都是序号的倒数,并且奇数 项为负,偶数项为正,故有: 1 an=(-1)n· . n 1 1 (2)1 =1+ 2 , 2 1 +1 4 22 2 =2+ 2 , 5 2 +1 9 32 3 =3+ 2 , 10 3 +1 16 42 4 =4+ 2 , 17 4 +1 …, 故 an=n+ 2 (n∈N*). n +1 (3)正负相间,且负号在奇数项,故可用(-1)n 来表示符号,各项 的绝对值恰是 2 的整数次幂减 1,所以 an=(-1)n·(2n+1-1). 2+6 (4)这样的摆动数列,一般求两数的平均数 =4, 2 n2 2 而 2=4-2,6=4+2,中间符号用(-1)n 来表示. ?2 an=4+(-1) ·2 或 an=? ?6 n (n是奇数), (n是偶数). 归纳拓展 (1)观察是归纳的前提,合理的转换是完成归纳的关键. (2)由数列的前 n 项归纳出的通项公式不一定唯一.如数列 5,0, (n-1)π -5,0,5,…的通项公式可为 5cos (n∈N*),也可为 an= 2 nπ 5sin (n∈N*). 2 (3)已知数列的前 n 项,写出数列的通项公式时,要熟记一些特 ?1 ? 殊数列.如{(-1)n},{n},{2n-1},{2n},{2n-1},{n2},?n?等,观 ? ? 察所给数列与这些特殊数列的关系,从而写出数列的通项公式. [变式训练] 1.写出下列数列的一个通项公式. 1 1 1 (1)1,- , ,- ,…; 4 9 16 (2) 2, 6,2 3,2 5,…; (3)1,3,6,10,15,…; (4)1,-4,7,-10,13,…. 1 解:(1)an=(-1)n+1 2(n∈N*). n (2)原数列可写成 2, 6, 12, 20,…, 3 易得 an= n(n+1)(n∈N*). (3)因为 3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,15=1+2+3 n(n+1) +4+5,…,所以 an=1+2+3+…+n= (n∈N*). 2 (4)因为 1,4,7,10,13,…组成 1 为首项,3 为公差的等差数 列,易得 an=(-1)n+1(3n-2)(n∈N*). ? ?S1,n=1, 二、利用 an=? 求 an ?Sn-Sn-1,n≥2 ? [典例 2] 数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 an=5Sn-3(n∈N+), 求 an 的通项公式. ?S1 分析:利用 an=? ?Sn-Sn-1 (n=1), (n≥2), 将式中的 Sn 去掉求解. 解:当 n=1 时,a1=5S1-3=5a1-3, 3 得:a1= , 4 当 n≥2 时,由已知 an=5Sn-3, 得:an-1=5Sn-1-3, 两式作差得 an-an-1=5(Sn-Sn-1)=5an, 1 所以 an=- an-1. 4 3 1 所以数列{an}是首项 a1= ,公比 q=- 的等比数列

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