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2007年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷)数学(理科)参考答案


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2007 年普通高等学校招生全国统一考试(宁夏卷) 数 学(理科)
参考答案
一、选择题 1.C 7.D 二、填空题 13. 3 14. 1 15.1 + 2i 16.240 2.D 8.B 3.A 9.C 4.D 10.D 5.C 11.B 6.C 12.B

三、解答题 17.解:在 △BCD 中, ∠CBD = π α β 由正弦定理得

BC CD = sin ∠BDC sin ∠CBD
所以 BC =

CD sin ∠BDC s sin β = sin ∠CBD sin(α + β ) s tan θ sin β sin(α + β )

在 Rt△ ABC 中, AB = BC tan ∠ACB =

18.证明:

(Ⅰ)由题设 AB=AC =SB=SC = SA ,连结 OA , △ ABC 为等腰直角三角形,所 以 OA = OB = OC =

2 SA ,且 AO ⊥ BC ,又 △SBC 为等腰三角形,故 SO ⊥ BC , 2

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且 SO =

2 SA ,从而 OA2 + SO 2 SA2 2

所以 △SOA 为直角三角形, SO ⊥ AO 又 AO I BO = O . 所以 SO ⊥ 平面 ABC (Ⅱ) 解法一: 取 SC 中 点 M , 连 结 AM,OM , 由 ( Ⅰ ) 知 SO = OC,SA = AC , 得

OM ⊥ SC,AM ⊥ SC

∴ ∠OMA 为二面角 A SC B 的平面角.
由 AO ⊥ BC,AO ⊥ SO,SO I BC = O 得 AO ⊥ 平面 SBC 所以 AO ⊥ OM ,又 AM = 故 sin ∠AMO =

3 SA , 2

AO 2 6 = = AM 3 3 3 3

所以二面角 A SC B 的余弦值为 解法二:

以 O 为坐标原点,射线 OB,OA 分别为 x 轴、 y 轴的正半轴,建立如图的空间直角 坐标系 O xyz . 设 B (1 0, ,则 C ( 1 0,,A(0,0) S (0,1) , 0) , 0) 1 ,, 0,

1 1 0, SC 的中点 M , , 2 2 uuuu 1 r r 1 uuur 1 1 uuu MO = , , = , , = (1 0, 1) 0, MA 1 , SC , 2 2 2 2 uuuu uuu r r uuur uuu r ∴ MO SC = 0, = 0 MA SC uuuu uuur r 故 MO ⊥ SC,MA ⊥ SC,<MO, MA > 等 于 二 面 角 A SC B 的平面角. uuuu uuur r uuuu uuur r MO MA 3 cos < MO, >= uuuu uuur = MA , r 3 MOMA x z S

M C A y

O B

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所以二面角 A SC B 的余弦值为

3 3

19.解: (Ⅰ)由已知条件,直线 l 的方程为

y = kx + 2 ,
代入椭圆方程得

x2 + (kx + 2)2 = 1 2
整理得

1 2 2 + k x + 2 2kx + 1 = 0 2



直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于

1 = 8k 2 4 + k 2 = 4k 2 2 > 0 , 2
解得 k <

2 2 2 2 或k > .即 k 的取值范围为 ∞, , ∞ + U 2 2 2 2 uuu uuur r (Ⅱ)设 P ( x1,y1 ),Q( x2,y2 ) ,则 OP + OQ = ( x1 + x2,y1 + y2 ) ,
由方程①, x1 + x2 =

4 2k 1 + 2k 2





y1 + y2 = k ( x1 + x2 ) + 2 2 ③ uuu r 而 A( 2,,B (0,, = ( 2, 0) 1) AB 1) r uuu uuur uuu r 所以 OP + OQ 与 AB 共线等价于 x1 + x2 = 2( y1 + y2 ) ,
将②③代入上式,解得 k = 由(Ⅰ)知 k <

2 2

2 2 或k > ,故没有符合题意的常数 k 2 2

20.解: 每个点落入 M 中的概率均为 p =

1 4

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依题意知 X ~ B 10000, (Ⅰ) EX = 10000 ×



1 4

1 = 2500 4 X × 4 1 < 0.03 , 10000

(Ⅱ)依题意所求概率为 P 0.03 <

X P 0.03 < × 4 1 < 0.03 = P(2425 < X < 2575) 10000 = =
2574

t = 2426 2574 t = 2426

∑C ∑

t 10000

× 0.25t × 0.7510000t
2425 t =0

t t C10000 × 0.25t × 0.7510000t ∑ C10000 × 0.25t × 0.75100001

=0.9570-0.0423 =0.9147

21.解: (Ⅰ) f ′( x) =

1 + 2x , x+a 3 2

依题意有 f ′( 1) = 0 ,故 a = 从而 f ′( x) =

2 x 2 + 3 x + 1 (2 x + 1)( x + 1) = 3 3 x+ x+ 2 2

3 3 f ( x ) 的定义域为 , ∞ ,当 < x < 1 时, f ′( x ) > 0 ; + 2 2
当 1 < x < 当x>

1 时, f ′( x ) < 0 ; 2

1 时, f ′( x ) > 0 2 3 2 1 2 1 单调减 2

从而, f ( x ) 分别在区间 , 1, , ∞ 单调增加,在区间 1 + , 少 (Ⅱ) f ( x ) 的定义域为 ( a, ∞) , f ′( x) = +

2 x 2 + 2ax + 1 x+a

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方程 2 x 2 + 2ax + 1 = 0 的判别式 = 4a 2 8 (ⅰ)若 < 0 ,即 2 < a < 值 (ⅱ)若 = 0 ,则 a 2 或 a = 2 若a =

2 ,在 f ( x ) 的定义域内 f ′( x ) > 0 ,故 f ( x ) 的极

+ 2 , x ∈ ( 2, ∞) , f ′( x) =

( 2 x 1) 2 x+ 2

当x=

2 2 2 时, f ′( x ) = 0 ,当 x ∈ 2, , ∞ 时, f ′( x ) > 0 , + U 2 2 2 ( 2 x 1) 2 x 2

所以 f ( x ) 无极值 若 a = 2 , x ∈ ( 2, ∞) , f ′( x) = + (ⅲ)若 > 0 ,即 a >

> 0 , f ( x ) 也无极值

2 或 a < 2 ,则 2 x 2 + 2ax + 1 = 0 有两个不同的实根

x1 =

a a2 2 a + a2 2 , x2 = 2 2

当 a < 2 时, 1 < a,x2 < a , x 从而 f ′( x ) 有 f ( x ) 的定义域内没有零点, f ( x ) 故 无极值

2 时, x1 > a , x2 > a , f ′( x ) 在 f ( x ) 的定义域内有两个不同的零点, 由根值判别方法知 f ( x ) 在 x = x1,x = x2 取得极值.
当a > 综上, f ( x ) 存在极值时, a 的取值范围为 ( 2, ∞) +

f ( x ) 的极值之和为 f ( x1 ) + f ( x2 ) = ln( x1 + a) + x12 + ln( x2 + a) + x2 2 1 e = ln + a 2 1 > 1 ln 2 = ln 2 2 P
22. A 解: (Ⅰ)证明:连结 OP,OM 因为 AP 与⊙ O 相切于点 P ,所以

A B

O M C

OP ⊥ AP
因为 M 是⊙ O 的弦 BC 的中点,所以

OM ⊥ BC

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于是 ∠OPA + ∠OMA = 180° ,由圆心 O 在 ∠PAC 的内部,可知四边形 APOM 的 对角互补,所以 A P,O,M 四点共圆 ,

, (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 A P,O,M 四点共圆,所以 ∠OAM = ∠OPM .
由(Ⅰ)得 OP ⊥ AP 由圆心 O 在 ∠PAC 的内部,可知 ∠OPM + ∠APM = 90° 所以 ∠OAM + ∠APM = 90° B 解: 解:以极点为原点,极轴为 x 轴正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的 长度单位。 (Ⅰ) x = ρ cos θ , y = ρ sin θ ,由 ρ = 4 cos θ 得 ρ 2 = 4 ρ cos θ 所以 x 2 + y 2 = 4 x 即 x 2 + y 2 4 x = 0 为⊙ O1 的直角坐标方程。 同理 x 2 + y 2 + 4 y = 0 为⊙ O2 的直角坐标方程。
2 2 x + y 4 x = 0, (Ⅱ)由 2 2 x + y + 4 y = 0

解得

x1 = 0, y1 = 0,

x2 = 2 y 2 = 2 y

即⊙ O1 ,⊙ O2 交于点 (0, 和 (2, 2) 过交点的直线的直角坐标方程为 y = x 0) C 解: (Ⅰ)令 y = 2 x + 1 x 4 ,则

1 x≤ , x 5, 2 1 y = 3 x 3, < x < 4, 2 x + 5, x ≥ 4.

y=2
... 分 ...3

O 1 2

4

x

作出函数 y = 2 x + 1 x 4 的图象,它与直线 y = 2 的交点为 ( 7, 和 , 2) 2 所以 2 x + 1 x 4 > 2 的解集为 ( ∞, 7) U , ∞ +

5 3



5 3



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(Ⅱ)由函数 y = 2 x + 1 x 4 的图像可知,当 x = 得最小值

1 时, y = 2 x + 1 x 4 取 2

9 2


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