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广东省佛山市高明区高中数学 第一章 计数原理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质(2)学案(无

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质(2)

【学习目标】 通过体验“发现规律、寻找联系、探究证明、性质运用”的学习过程,掌握二项式系数的一 些性质,体会应用数形结合、特殊到一般进行归纳、赋值法等重要数学思想方法解决问题的 过程,培养问题意识,提高思维能力,孕育创新精神,激发探索、研究数学的热情。 【能力目标】 掌握二项式系数的性质,培养观察发现,抽象概括及分析解决问题的能力。 【重点难点】 利用二项展开式证明或说明整除性和余数问题。二项式定理的正反应用; 【学法指导】 加深理解“杨辉三角数与二项式系数”关系,增加二项展开式的特征印象,联想其相关的方 法与应用范围和场合。 【学习过程】 一.【课前复习】

复习: 一般地, (a ? b)n 展开式的二项式系数 Cn0 , Cn1 , , Cnn 有如下性质

① Cnm ? Cnn?m ;

② Cnm

?

C m?1 n

?

Cm n ?1

;

n

n?1

n?1

③当 n 为偶数时, Cn2 最大,当 n 为奇数时, Cn 2 ? Cn 2 且最大;

④ Cn0 ? Cn1 ? ? Cnn ? 2n ;

二.【课堂学习与研讨】

例 1:求证: 32n?2 ? 8n ? 9(n ? N *) 能被 64 整除.

证明: 32n?2 ? 8n ? 9 ? 9n?1 ? 8n ? 9

? (8 ?1)n?1 ? 8n ? 9 ? 9(8 ?1)n ? 8n ? 9

? (8 ?1)(Cn08n ? Cn18n?1 ? ? Cnn?18 ? Cnn ) ? 8n ? 9

? (Cn0 8n?1 ? Cn18n ?

?

C n?1 n

82

?

Cnn 8)

?(Cn0 8n

?

Cn1 8n ?1

?

?

C n?1 n

8

?

Cnn

)

?

8n

?

9

? (Cn0 8n?1 ? Cn18n ?

? Cnn?182 ) ? (Cn0 8n ? Cn18n?1 ?

?

C n?2 n

82

)

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当 n ?1时, 32n?2 ? 8n ? 9 ? 81? 8 ? 9 ? 64 ,能被 64 整除;

当 n ? 2 时,(Cn08n?1 ? Cn18n ?

?

C n?1 n

82

)

?

(Cn0 8n

?

Cn1 8n ?1

?

?

C n?2 n

82

)

每一项都可以被

64 整除,因此, 32n?2 ? 8n ? 9(n ? N *) 能被 64 整除。

还能其他方法证明吗?数学归纳法 试一试:

①今天是星期五,那么 8100 后的这一天是星期几?

解: 8100

?

(7 ?1)100

?

C0 100

7100

?

C1 100

799

?

?

C 7 r 100?r 100

?

?

C 99 100

7

?

C100 100

?

7(C1000 799

?

C1 100

798

?

?

C 99 100

)

?

1

余数是 1,所以是星期六.若 31000 天后的这一天是星期几?

例 2.在 (x2 ? 3x ? 2)5 的展开式中 x 的系数为多少?

解: (x2 ? 3x ? 2)5 ? (x ?1)5 (x ? 2)5 ;在 (x ? 1)5 中的常数项和 x 的项分别是 1, C54 x ; 在 (x ? 2)5 中的常数项和 x 的项分别是 32,24 C54 x ,所以,在 (x2 ? 3x ? 2)5 的展开式中 x 的 系数是 24 C54 ? 32C54 ,即 240.

三.【课堂检测】

1. 230 ? 3 除以 7 的余数是

.

解: 230 ? 3 ? 810 ? 3 ? (7 ?1)10 ? 3 ? C100 710 ? C110 79 ?

?

C190 7

?

C10 10

?

3

? C100 710 ? C110 79 ? ? C190 7 ? 2

所以, 230 ? 3 除以 7 的余数是 5.

2. 5555 ?15 除以 8 的余数是

.

解: 5555 ?15 ? (56 ?1)55 ?15

? C505 56 ? C515 56 ?

?

C 54 55

56

?

C 55 55

? 15

?

C505 56

?

C515 56

?

?

C 54 55

56

?

16

所以, 5555 ?15 除以 8 的余数是 0

2
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3. Cn1 ? 2Cn2 ? 4Cn3 ? 2n?1Cnn 等于(C )

A. 3n

B. 3n ?1

C. 3n ?1 2

D. 3n ?1 2

解: Cn1 ? 2Cn2 ? 4Cn3 ?

2 n ?1 Cnn

?

1 2

(Cn1

2

?

22

Cn2

? 23Cn3

?

2n Cnn )

?

1 2

(Cn0

?

Cn1 2

?

22 Cn2

?

23 Cn3

?

2n

Cnn

?1)

?

1 [(1? 2

2)n

?1)]

?

1 2

(3n

?1)

,故选

C。

4.求 (1? x) ? (1? x)2 ? ? (1? x)16 的展开式中 x3 项的系数

解: C33 ? C43 ? C53 ? ? C136 ? C44 ? C43 ? C53 ? ? C136 ? C54 ? C53 ? C63 ? ? C136 ? C64 ? C63 ? ? C136 ? C74 ? ? C136 ? ? C146 ? 1820 所以, (1? x) ? (1? x)2 ? ? (1? x)16 的展开式中 x3 项的系数是 1820.
5.求值:
①1? C51 22 ? C52 24 ? C53 26 ? C54 28 ? C55 210 ? 解:原式 ? C50 ? C51 4 ? C52 42 ? C53 43 ? C54 44 ? C55 45 ? (1? 4)5 ? 55 ② 310 ? 39 C110 ? 38 C120 ? 37 C130 ? 36 C140 ? 35 C150 ? 34 C160 ? 33 C170 ? 32 C180 ? 3C190 ? 解:原式 ? (3 ?1)10 ?1 ? 210 ?1

四.【课堂小结】 1.求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值,赋值的选择则需根 据所求的展开式系数和特征来确定. 2(1)形式简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开,对于形式较复杂的二项式,在 展开之前可以根据二项式的结构特点进行必要的变形,然后再展开,以使运算得到简化.记
准、记熟二项式 (a ? b)n 的展开式是解答好与二项式定理有关的问题的前提.
(2)逆用二项式定理更要注意二项展开式的结构特点,如果项的系数是正负相间,则是
(a ? b)n 的形式.
3. 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是:通过观察找出每一行数据间的相互联系以及 行与行间数据的相互联系.然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来,使问题得解.注 意观察方向:横看、竖看、斜看、连续看、隔行看、从多角度观察
3
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【课外作业】

1. (1? x)2n+1 ( n ? N* )的展开式中,二项式系数最大的项所在的项数是 ( )

A.n,n+1 B.n-1,n

C.n+1,n+2 D.n+2,n+3

解:因为 2n ?1为奇数,所以展开式中中间两项的二项式系数最大,中间两项的项数是

n+1,n+2.

C

2.已知 (1? x) ? (1? x)2 ? ? (1? x)n ? a0 ? a1x ? a2x2 ? ? an xn (n ? N*) ,若

a0 ? a1 ? ? an ? 30 ,则 n 等于

()

A.5

B.3

C.4

D.7

解:令 x ?1得 a0 ? a1 ? ? an ? 2 ? 22 ? ? 2n ? 30 得 n ? 4 .

C

3. (a ? a )n 的展开式中奇数项系数和为 512 ,则展开式的第八项T8 ? ________.

13

解: Cn0 ? Cn2 ? Cn4 ?

?

2n?1

?

512

?

29

,所以 n

? 10

,所以 T8

?

C7 10

a

3

(

a )7 ? 120a 2 .

13
120a 2

4. (1? x )n 展开式中的各项系数的和大于 8 而小于 32,则系数最大的项是__________.

解:因为 8 ? Cn0 ? Cn1 ? Cn2 ? ? Cnr ? ? Cnn ? 32 ,即 8 ? 2n ? 32 .所以 n ? 4 .所以展开

式共有 5 项,系数最大的项为T3 ? C42 ( x)2 ? 6x . 6x

5.求1.9975 精确到 0.001的近似值.

解:1.9975 ? (2 ? 0.003)5

? C50 25 ? C51 24 ? 0.003 ? C52 23 ? 0.0032 ? C53 22 ? 0.0033 ? C54 2 ? 0.0034 ? C55 0.0035 ? 32 ?80?0.003? ? 32.24 6.在二项式 (2x ? 3y)9 的展开式中,求:
(1)二项式系数之和; (2)各项系数之和;

4
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(3)所有奇数项系数之和;

(4)系数绝对值的和.
解: 设 (2x ? 3y)9 ? a0 x9 ? a1x8 y ? a2 x7 y2 ? ? a9 y9 . (1)二项式系数之和 C90 ? C91 ? C92 ? ? C99 ? 29 . (2)各项系数之和 a0 ? a1 ? a2 ? ? a9 ,

令 x ?1, y ? 1,得 a0 ? a1 ? a2 ? ? a9 ? (2 ? 3)9 ? ?1 . (3)由(2)知 a0 ? a1 ? a2 ? ? a9 ? ?1,

令 x ?1 , y ? ?1,可得 a0 ? a1 ? a2 ? ? a9 ? 59 ,

以上两式相加可得

a0

?

a2

?

a4

?

a6

?

a8

?

59 ?1 . 2

(4)方法一  | a0 | ? | a1 | ? | a2 | ? ? | a9 |? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? a9 ? 59 .

方法二| a0 | ? | a1 | ? | a2 | ? ? | a9 | 即为 (2x ? 3y)9 展开式中各项系数之和,

令 x ?1, y ? 1得,  | a0 | ? | a1 | ? | a2 | ? ? | a9 |? 59 .

【归纳】“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法,根据题目要求,灵活赋给

字母不同值.一般地,要使展开式中项的关系变为系数的关系,令 x=0 可得常数项,令 x

=1 可得所有项系数之和,令 x=-1 可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差.

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