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2015届高考数学总复习 第七章 第十一节轨迹方程的求法课时精练 理

第十一节 轨迹方程的求法 2 → → x 1.已知两定点 A(1,1),B(-1,-1),动点 P 满足PA?PB= ,则点 P 的轨迹是( 2 A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.拋物线 → → 解析:设点 P(x,y),则PA=(1-x,1-y),PB=(-1-x,-1-y), → → 2 2 ∴PA?PB=(1-x)(-1-x)+(1-y)?(-1-y)=x +y -2. 由已知 x +y -2= ,即 + =1, 2 4 2 ∴点 P 的轨迹为椭圆.故选 B. 答案:B 2.如图, 2 2 ) x2 x2 y2 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,P 是侧面 BB1C1C 内一动点.若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离 相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( ) A.线段 B.圆 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 解析:连接 PC1,即为 P 到直线 C1D1 的距离.根据题意,在平面 BB1C1C 内点 P 到定点 C1 的距离等于到定直线 BC 的距离,符合抛物线定义,轨迹两个端点分别为 B1 及 CC1 的中点, 所以 P 点的轨迹为抛物线的一部分. 答案:D → → 3.(2013?武汉模拟)长为 3 的线段 AB 的端点 A、B 分别在 x 轴、y 轴上移动,AC=2CB, 则点 C 的轨迹是( ) A.线段 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 解析:设 C(x,y),A(a,0),B(0,b),则 a +b =9.① 2 2 ? → → 又AC=2CB,所以(x-a,y)=2(-x,b-y),即? 将②代入①式整理可得 x + =1.故选 C. 4 答案:C 2 ?a=3x, b= y, ? ? 2 3 ② y2 4.以坐标轴为对称轴,原点为顶点且过圆 x +y -2x+6y+9=0 圆心的抛物线方程是 第 1 页 共 5 页 2 2 ( ) 2 2 A.y=3x 或 y=-3x 2 B.y=3x 2 2 C.y =-9x 或 y=3x 2 2 D.y=-3x 或 y =9x 解析:圆的标准方程为(x-1) +(y+3) =1,故圆心坐标为(1,-3). 2 2 2 设抛物线方程为 y =2p1x 或 x =-2p2y,则(-3) =2p1 或 1=6p2, 1 1 2 2 2 2 ∴2p1=9 或 2p2= .∴抛物线方程为 y =9x 或 x =- y, 即 y =9x 或 y=-3x .故选 D. 3 3 答案:D 2 2 5. 已知 F1, F2 分别为椭圆 C: + =1 的左、 右焦点, 点 P 为椭圆 C 上的动点, 则△PF1F2 4 3 的重心 G 的轨迹方程为( ) 2 2 2 x y 4x 2 A. + =1(y≠0) B. +y =1(y≠0) 36 27 9 2 2 9x 4y 2 2 C. +3y =1(y≠0) D.x + =1(y≠0) 4 3 解析:由已知得 F1(-1,0),F2(1,0),设 G1(x,y),P(x1,y1),因为 G 是△PF1F2 的重心, 所以 -1+1+x x= , ? ? 3 ? 0+0+y ? ?y= 3 (y ≠0), 1 1 1 x2 y2 解得? ?x1=3x, ? ?y1=3y, ? 代入椭圆方程整理得 9x 2 + 3y = 4 2 1(y≠0).故选 C. 答案:C 6.(2013?苏州质检)已知点 M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆 C 与直线 MN 切于点 B, 过 M、N 与圆 C 相切的两直线相交于点 P,则 P 点的轨迹方程为( ) A.x - =1(x>1) 8 C.x + =1(x>0) 8 2 2 y2 y2 B.x - =1(x<-1) 8 D.x - =1(x>1) 10 2 2 y2 y2 解析:设另两个切点为 E、F,如图所示, 则|PE|=|PF|,|ME|=|MB|,|NF|=|NB|. 从而|PM|-|PN|=|ME|-|NF|=|MB|-|NB|=4-2=2<|MN|, 所以 P 点的轨迹是以 M、N 为焦点, 实轴长为 2 的双曲线的右支. 2 又因为 a=1,c=3,所以 b =8. 故方程为 x - =1(x>1). 8 第 2 页 共 5 页 2 y2 答案:A 7.(2013?上海检测)动点 P 到点 F(2,0)的距离与它到直线 x+2=0 的距离相等,则点 P 的轨迹方程为________. 解析:设点 P 的坐标为(x,y),由题意可得 即为点 P 的轨迹方程. 2 答案:y =8x 2 x- 2 +y =|x+2|,化简得 y =8x, 2 2 8.过抛物线 x =4y 的焦点 F 作直线 l 交抛物线于 A,B 两点,则弦 AB 的中点 M 的轨迹 方程是__________. 答案:x =2y-2 1 2 9.设抛物线 C1 的方程为 y= x ,它的焦点 F 关于原点的对称点为 E.若曲线 C2 上的点 20 到 E、F 的距离之差的绝对值等于 6,则曲线 C2 的标准方程为________. 1 2 2 解析:方程 y= x 可化为 x =20y,它的焦点为 F(0,5),所以点 E 的坐标为(0,-5), 20 2 y2 x2 根据题意,知曲线 C2 是焦点在 y 轴上的双曲线,设方程为 2- 2=1(a>0,b>0),则 2a=6, a b y2 x2 2 2 2 a=3,又 c=5,b =c -a =16,所以曲线 C2 的标准方程为 - =1. 9 16 答案: - =1 9 16 10.自抛物线 y =2x 上任意一点 P 向其准线 l 引垂线,垂足为 Q,连接顶点 O 与 P 的直 线与连接焦点 F 与 Q 的直线交于点 R,求点 R 的轨迹方程. 解析:设 P(x1,y1),R(x,y), ? 1 ? ?1 ? 则 Q?- ,y1?,

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