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优化方案高中数学 第1章 统计 2.2.2 分层抽样与系统抽样 第2课时 系统抽样课件 北师大版必修3_图文

第一章 统计
第 2 课时 系统抽样

1.问题导航 (1)如何区分某种抽样方法是系统抽样还是简单随机抽样? (2)用系统抽样从总体中抽取样本时,首先要做的工作是什 么? (3)用系统抽样从含有 N 个个体的总体中抽取一个容量为 n 的 样本.要平均分成多少段,每段各有多少个号码?

2.例题导读 P13 例 5.通过本例学习,学会利用系统抽样解决现实生活中 的实际问题.解决本例时要注意,首先用简单随机抽样的方 法剔除 2 册书,然后再按系统抽样方法抽取.

1.系统抽样 系统抽样是将总体中的个体进行编号,等距分组,在第一组 中按照简__单__随__机__抽__样__抽取第一个样本.然后按分__组__的__间__隔__(称 为抽样距)抽取其他样本.这种抽样方法有时也叫等___距__抽__样_或 机械抽样.

2.系统抽样的步骤 一般地,假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本, 我们可以按下列步骤进行系统抽样: (1)编号:先将总体的 N 个个体__编__号__.有时可直接利用个体 自身所带的号码,如学号、准考证号、门牌号等. (2)确定抽样距.当Nn 为整数时,k=Nn ;当Nn 不为整数时,剔 除某些个数再取 k.

(3)重新编号. (4)确定第一个编号:在第 1 段用简__单__随__机__抽__样__确定第一个个 体编号 l(l≤k); (5)成样:按照一定的规则抽取样本.通常是将 l_加__上__k_得到 第 2 个个体编号(l+k),再_加__k_得到第 3 个个体编号(l+2k), 依次进行下去,直到获取整个样本.

1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)系统抽样适用的总体应是个体数较多但均衡无差异的总 体.( ) (2)系统抽样不是等可能抽样,每个个体被抽到的可能性不一 样.( ) (3)为了检查某城市汽车尾气排放是否超标,在该城市的主要 干道上抽取车牌末尾数字为 5 的汽车检查,这种抽样方法为 系统抽样法.( ) 答案:(1)√ (2)× (3)√

2.为了了解参加一次知识竞赛的 1 252 名学生的成绩,决定

采用系统抽样的方法抽取一个为 50 的样本,那么总体中应随

机剔除的个体数目是( )

A.2

B.4

C.5

D.6

解析:选 A.因为 1 252=50×25+2,所以应随机剔除 2 个个

体.

3.从已编号为 1~50 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中

随机抽取 5 枚来进行发射实验,若采用系统抽样方法,则所

选取 5 枚导弹的编号可能是( )

A.5,10,15,20,25 B.3,13,23,33,43

C.1,2,3,4,5

D.2,4,6,16,32

解析:选 B.用系统抽样的方法抽取到的导弹编号应该为 k,k

+d,k+2d,k+3d,k+4d,其中 d=550=10,k 是 1 到 10

中用简单随机抽样方法得到的编号,因此只有选项 B 满足要

求.

4.若总体中含有 1 600 个个体,现在要采用系统抽样,从中 抽取一个容量为 50 的样本,编号应均分为________段,每段 有________个个体.
解析:1 56000=32,所以均分为 50 段,每段 32 个个体. 答案:50 32

1.系统抽样的特点 (1)系统抽样适用于总体容量较大,且分布均衡(即个体间无明 显的差异)的情况; (2)系统抽样的本质是“等距抽样”,要取多少个样本就把总 体分成多少组,每组中取一个; (3)系统抽样是等可能抽样,每个个体被抽到的可能性都是Nn .

2.系统抽样需注意的问题 (1)如果总体中个体数 N 正好被样本容量 n 整除,则每个个体 被入样的可能性是Nn,若 N 不能被 n 整除,需要随机剔除 m 个个体,m=N-n·[Nn ](这里[Nn ]表示不超过Nn 的最大整数),此 时每个个体入样的可能性仍是Nn,而不是N-n m. (2)剔除个体后需要对剩余的个体重新进行编号. (3)剔除个体及第一段抽样都用简单随机抽样.

3.简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的联系和区别

类别 简单随机抽样 分层抽样

系统抽样

各自 从总体中逐个 特点 抽取

将总体平均分成 将总体分成几
几个部分,按事 层,分层进行抽
先确定的规则在 取
各部分抽取

相互 联系

在各层抽样时采 在起始部分采用
用简单随机抽样 简单随机抽样
或系统抽样

类别 简单随机抽样 分层抽样

系统抽样

适用 范围

总体中的个体 数较少

总体由存在 明显差异的 几部分组成

总体中的个体数 较多且分布均衡

①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等; 共同点
②每次抽出个体后不再放回,即不放回抽样

探究点一 系统抽样的概念

某商场欲通过检查部分发票及销售记录来快速估计

每月的销售金额,采用如下方法:从某本发票的存根中随机

抽一张,如 15 号,然后按顺序将 65 号,115 号,165 号,… 发票上的销售金额组成一个调查样本.这种抽取样本的方法

是( ) A.抽签法 C.系统抽样法

B.随机数法 D.以上都不对

[解析] 上述抽样方法是将发票平均分成若干组,每组 50 张, 从第一组抽出了 15 号,以后各组抽 15+50n(n∈N+)号,符 合系统抽样的特点.
[答案] C

系统抽样的判断方法 判断一个抽样是否为系统抽样:(1)首先看是否在抽样前知道 总体是由什么组成,多少个个体,(2)再看是否将总体分成几 个均衡的部分,并在第一个部分中进行简单随机抽样,(3)最 后看是否为等距抽样.

1.(1)某影院有 40 排座位,每排有 46 个座位,

一个报告会上坐满了听众,会后留下座号为 20 的所有听众进

行座谈,这是运用了( )

A.抽签法

B.随机数法

C.系统抽样法

D.放回抽样法

(2)为了解 1 200 名学生对学校某项教改试验的意见,打算从

中抽取一个容量为 30 的样本,考虑采用系统抽样,则分段的

间隔 k=________.

解析:(1)此抽样方法将座位分成 40 组,每组 46 个个体,会 后留下座号为 20 的相当于第一组抽 20 号,以后各组抽取 20 +46n,n=1,2,3,…,符合系统抽样特点. (2)根据样本容量为 30,将 1 200 名学生分为 30 段,每段人 数即间隔 k=1 32000=40. 答案:(1)C (2)40

探究点二 系统抽样的方案设计 为了解参加某种知识竞赛的 1 000 名学生的成绩,从 中抽取一个容量为 50 的样本,那么采用什么抽样方法比较恰 当?简述抽样过程. (链接教材 P13 例 4)

[解] 适宜选用系统抽样,抽样过程如下: (1)随机地将这 1 000 名学生编号为 000,001,002,…,999. (2)将总体按编号顺序均分成 50 部分,每部分包括 20 个个体. (3)在第一部分的个体编号 000,001,002,…,019 中,利 用简单随机抽样抽取一个号码,比如是 017. (4)以 017 为起始号码,每间隔 20 抽取一个号码,这样得到 一个容量为 50 的样本:017,037,057,…,977,997.

若将“1 000 名学生的成绩”改为“1 002 名 学生的成绩”,又该如何抽样?请写出抽样过程.

解:因为 1 002=50×20+2,为了保证“等距”分段,应先 剔除 2 人. (1)将 1 002 名学生用随机方式编号; (2)从总体中剔除 2 人(剔除方法可用随机数法),将剩下的 1 000 名学生重新编号(编号分别为 000,001, 002,…,999), 并分成 50 段; (3)在第一段 000,001,002,…,019 这二十个编号中用简 单随机抽样抽出一个(如 003)作为起始号码; (4)将编号为 003,023,043,…,983 的个体抽出,组成样 本.

设计系统抽样应关注的几个问题 (1)系统抽样一般是等距离抽取,适合总体中个体数较多,个 体无明显差异的情况; (2)总体均匀分段,通常在第一段(也可以选在其他段)中采用 简单随机抽样的方法抽取一个编号,再通过将此编号加段距 的整数倍的方法得到其他的编号.注意要保证每一段中都能 取到一个个体; (3)若总体不能均匀分段,要将多余的个体剔除(通常用随机数 法),不影响总体中每个个体被抽到的可能性.

2.(1)从 2 005 个编号中抽取 20 个号码入样, 采用系统抽样的方法,则抽样的间隔为________. (2)某单位的在岗职工为 620 人,为了调查上班时,从家到单 位的路上平均所用的时间,决定抽取 10%的职工调查这一情 况,如何采用系统抽样抽取样本?
解:(1)由于2 20005不是整数,所以先剔除 5 个个体,再分段.分 段间隔为 k=2 20000=100.故填 100.

(2)用系统抽样抽取样本,样本容量是 620×10%=62. 步骤是: ①编号:把这 620 人随机编号为 1,2,3,…,620. ②确定分段间隔 k=66220=10,把 620 人分成 62 组,每组 10 人,第 1 组是编号为 1~10 的 10 人,第 2 组是编号为 11~ 20 的 10 人,依次下去,第 62 组是编号为 611~620 的 10 人.

③采用简单随机抽样的方法,从第 1 组 10 人中抽出一人,不 妨设编号为 l. ④那么抽取的职工编号为 l+10k(k=0,1,2,…,61),得 到 62 个个体作为样本,如当 l=3 时的样本编号为 3,13,23,…, 603,613.

探究点三 三种抽样方法的综合应用 ①某学校为了了解高一学生的情况,从每班抽 2 人进 行座谈;②一次数学竞赛中,某班有 10 人的成绩在 110 分以 上,10 人的成绩在 100~110 分,30 人的成绩在 90~100 分, 12 人的成绩低于 90 分,现在从中抽取 12 人了解有关情况; ③运动会服务人员为参加 400 m 决赛的 6 名同学安排跑道.就 这三件事,合适的抽样方法分别为______、_____、_____.

[解析] 系统抽样适合总体中个体数量比较大的情况.分层 抽样适合总体由差异明显的几层组成的.总体中个体数比较 少的时候,选用简单随机抽样. [答案] 系统抽样 分层抽样 简单随机抽样

(1)要根据以下三个要素确定抽样方法:①总体是否由有明显 差异的几部分组成;②总体容量的大小;③样本的容量. (2)在随机抽样中,三种抽样方法都具有每个个体被抽到的概 率相等这一特征.

3.某学校有职工 140 人,其中教师 91 人,教 辅行政人员 28 人,总务后勤人员 21 人.为了解职工的某种 情况,要从中抽取一个容量为 20 的样本.以下的抽样方法中, 按简单随机抽样、系统抽样、分层抽样顺序排列的是( ) 方法 1:将 140 人从 1~140 编号,然后制作出编号为 1~140 的形状、大小相同的号签,并将号签放入同一箱子里进行均 匀搅拌然后从中抽取 20 个号签,编号与号签相同的 20 个人 被选出.

方法 2:将 140 人分成 20 组,每组 7 人,并将每组 7 人按 1~ 7 编号,在第一组采用抽签法抽出 k 号(1≤k≤7),其余各组 k+10l(l=0,1,…,19)号被抽出,20 个人被选出. 方法 3:按 20∶140=1∶7 的比例,从教师中抽出 13 人,从 教辅行政人员中抽出 4 人,从总务后勤人员中抽出 3 人.从 各类人员中抽取所需人员时,可抽到 20 人. A.方法 2,方法 1,方法 3 B.方法 2,方法 3,方法 1 C.方法 1,方法 2,方法 3 D.方法 3,方法 1,方法 2

解析:选 C.由简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的含义可 判断,方法 1 是简单随机抽样,方法 2 是系统抽样,方法 3 是分层抽样,故选 C.

思想方法 三种抽样方法的公平性 在 120 个零件中,一级品 24 个,二级品 36 个,三级
品 60 个,从中抽取容量为 20 的样本,按照三种抽样方法抽 取,分别计算总体中每个个体被抽取的可能性.

[解] 简单随机抽样:因为总体中的个体数为 N=120,样本 容量 n=20,故每个个体被抽到的可能性均为16. 系统抽样:将 120 个零件分组,k=12200=6,即 6 个零件一组, 每组取 1 个,显然每个个体被抽到的可能性均为16.

分层抽样:一、二、三级品个数之比为 2∶3∶5,20×120=4, 20×130=6,20×150=10,故分别从一、二、三级品中抽取 4 个、6 个、10 个产品,每个个体被抽到的可能性分别为244,366, 1600,即都为16.

[感悟提高] 本题中对三种抽样方法可能性的计算是很典型 的,特别是后两种,要仔细体会.对于同一个问题,抽样方 法不是唯一的,但三种抽样过程中,每个个体被抽到的可能 性都相等.对于有明显差异层次的总体,用分层抽样法抽取 的样本更能代表总体.

1.在 10 000 个有机会中奖的号码(编号为 0000~9999)中, 有关部门按照随机抽样的方式确定后两位数字是 68 的号码 为中奖号码.这是运用哪种抽样方法来确定中奖号码的

() A.抽签法 C.随机数法

B.系统抽样法 D.其他抽样方法

解析:选 B.由题意,中奖号码分别为 0068,0168,0268,…, 9968.显然这是将 10 000 个中奖号码平均分成 100 组,从第一 组号码中抽取出 0068 号,其余号码是在此基础上加上 100 的 整数倍得到的,可见,这是用的系统抽样法.

2.为了了解一次期中考试的 2 003 名学生的成绩,决定采用

系统抽样方法抽取一个容量为 40 的样本,那么总体中应随机

剔除的个体数目是( )

A.2

B.3

C.4

D.5

解析:选 B.2 003÷40=50……3,故剔除 3 个.

3.采用系统抽样从含有 8 000 个个体的总体(编号为 0000, 0001,…,7999)中抽取一个容量为 50 的样本.已知最后一 个入样的编号为 7894,则第一个入样的编号是________. 解析:样本间隔 k=8 50000=160.最后一个编号为 7894,则 7 894 -49×160=54,所以第一个入样编号为 0054. 答案:0054

4.某集团有员工 1 019 人,其中获得过国家级表彰的有 29 人,其他人员 990 人.该集团拟组织一次出国学习,参加人 员确定为:获得过国家级表彰的人员 5 人,其他人员 30 人, 如何确定人选?

解:获得过国家级表彰的人员选 5 人,适宜使用抽签法,其 他人员选 30 人,适宜使用系统抽样法. (1)确定获得过国家级表彰的人员人选: ①用随机方式给 29 人编号,号码为 1,2,… ,29; ②将这 29 个号码分别写在一个小纸条上,揉成小球,制成号 签; ③将得到的号签放入一个不透明的袋子中,搅拌均匀; ④从袋子中逐个抽取 5 个号签,并记录上面的号码; ⑤从总体中将与抽到的号签的号码相一致的个体取出,人选 就确定了.

(2)确定其他人员人选: 第一步,将 990 名其他人员重新编号(分别为 1,2,…,990), 并分成 30 段,每段 33 人; 第二步,在第一段 1,2,…,33 这 33 个编号中用简单随机 抽样法抽出一个(如 3)作为起始号码; 第三步,将编号为 3,36,69,…,960 的个体抽出,人选就 确定了. (1)(2)确定的人选合在一起就是最终确定的人选.