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§3.1.1《数系的扩充和复数的概念》导学案


§3.1.1 数系的扩充和复数的概念
【学习目标】 1、了解数系的扩充过程; 2、理解复数的基本概念;理解并掌握虚数的单位 i; 2、理解并掌握复数相等的充要条件。 【重点难点】 ▲重点:对引入复数的必要性的认识,理解复数的基本概念。 ▲难点:从实数系扩充到复数系的过程。

【预习案】
1、复习回顾: 你能概括出对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程吗? ______ 2、新知导学: 问题 1:类比引进 2 ,就可以解决方程 x ? 2 ? 0 在有理数集中无解的问题,怎么解
2

_________

__________

_________

决 x ? 1 ? 0 在实数集中无解的问题呢?
2

问题 2:把实数和新引进的数 i 像实数那样进行运算,并希望运算时有关的运算律仍 成立,你得到什么样的数?

1、复数及有关概念: ⑴我们把形如 ⑵全体复数所组成的集合叫做 2、复数的代数形式: 复数通常用小写字母 z 表示,即 z= 其中 a 叫做复数 z 的 3、复数的分类: 对于复数 a+bi(a,b∈R) ,当且仅当 它是实数 0;当 时,叫做虚数;当 时,它是实数;当且仅当 时,叫做纯虚数。 时, ,b 叫做复数 z 的 ,这一表示形式叫做复数的代数形式, 。a,b∈ 。 的数叫做复数,其中 i 叫做 ,常用大写 字母 C 表示。即 C= .. 。 。

?实数(????????????) ? 复数(a ? bi ) ? ?纯虚数(??????????????????) 虚数( ???????????? ) ? ? ?非纯虚数(??????????????) ?
4、复数集与其它数集之间的关系:

5、复数相等的定义: 如果两个复数的 d∈R,那么 a+bi=c+di ? 和 分别相等,那么这两个复数就相等。即:如果 a,b,c, 。

一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小。

【预习自测】
1、说出下列复数的实部和虚部:

1 ?2? i 3

2 ?i

2 2

? 3i

i

0

2、说明下列数中,哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数,并指出复数的实部与虚部。

2 2 ? 7 ; 0.618 ; i ; 0 ; i(1 ? 3) ; i 2 ; 5i ? 8 ; 3 ? 9 2i 7

3、若复数 z=(x2-1)+(x-1)i 为纯虚数,则实数 x 的值为( A、-1 B、0 C、1 D、-1 或 1



4、如果(x+y)+(y-1) i =(2x+3y)+(2y+1) i ,求实数 x、y 的值

例 1 实数 m 取什么值时, 复数 z ? m ? 1 ? (m ?1)i 是⑴实数?⑵虚数? ⑶纯虚数?

【课中案】

变式 1、当 m 为何实数时,复数 z ? m2 ? m ? 2 ? (m2 ?1)i 是⑴实数?⑵ 虚数?⑶纯虚数?

例 2 已知 (2 x ?1) ? i ? y ? (3 ? y)i ,其中 x, y ? R , 求 x 与 y。

变式 2、若 (2x2 ? 3x ? 2) ? ( x2 ? 5x ? 6)i ? 0 ,求 x 的值。

【课堂小结】

当堂检测
1、以 3i-2 的虚部为实部,以 3i 2 +3i 的实部为虚部的复数是 ( ) A -2+3i C -3+3i B 3-3i D 3+3i )

2、下列说法正确的是(

A、如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0,那么这两个复数 相等; B、 ai 是纯虚数; C、如果复数 x ? yi( x, y ? R) 是实数,则 x ? 0, y ? 0 ; D、复数 x ? yi( x, y ? R) 不是实数. 3、若复数 (a 2 ? 3a ? 2) ? (a ? 1)i 是纯虚数,求实数 a 的值。

4、复数 4 ? 3a ? a 2 i 与复数 a 2 ? 4ai 相等,求实数 a 的值。


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