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高中数学人教A版选修2-2第3章 数系的扩充与复数的引入单元测试 (4)

阶段质量检测(三) (B 卷 能力素养提升) (时间 120 分钟,满分 150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.下面三个命题: ①0 比-i 大; ②两个复数互为共轭复数,当且仅当其和为实数时成立; ③x+yi=1+i 的充要条件为 x=y=1. 其中,正确命题的个数是( A.0 个 ) B.1 个 C.2 个 D.3 个 解析: 选 A ①中实数与虚数不能比较大小; ②两个复数互为共轭复数时其 和为实数,但两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共轭复数;③x+yi=1 +i 的充要条件为 x=y=1 是错误的,因为没有标明 x,y 是否是实数. 2.已知复数 z=2-i,则 z·z 的值为( A.5 B. 5 C.3 D. 3 ) 解析:选 A ∵z=2-i,∴ z =2+i,∴z·z =(2+i)(2-i)=4+1=5. 3.若复数 z 满足 z(1+i)=2i(i 为虚数单位),则|z|=( A.1 B. 2 C. 2 D. 3 ) 解析:选 C 法一:设 z=a+bi(a,b∈R),则由 z(1+i)=2i,得(a+bi)· (1 ?a-b=0, +i)=2i,所以(a-b)+(a+b)i=2i,由复数相等的条件得? 解得 a=b ?a+b=2, =1,所以 z=1+i,故|z|= 12+12= 2. 法二: 由 z(1+i)=2i, 得 z= 2. 4.如果一个复数的实部和虚部相等,则称这个复数为“等部复数”,若复 数 z=(1+ai)· i 为“等部复数”,则实数 a 的值为( A.-1 B.0 C.1 D.2 ) 2i?1-i? 2i = =i-i2=1+i, 所以|z|= 12+12= 2 1+i 解析:选 A 由已知可得 z=(1+ai)· i=-a+i,所以-a=1,即 a=-1. 第 1 页 共 5 页 5.已知 a∈R,且 0<a<1,i 为虚数单位,则复数 z=a+(a-1)i 在复平面内 所对应的点位于( A.第一象限 ) B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:选 D ∵0<a<1,∴a>0 且 a-1<0,故复数 z=a+(a-1)i 在复平面 内所对应的点(a,a-1)位于第四象限.故选 D. 6.已知复数 z= 1+3i ,则 z 的实部为( 1-i ) A.1 B.2C.-2 D.-1 解析:选 D 因为 z= 为-1. 7. 已知 a, b 是实数, 设 i 是虚数单位, 若 a+i= A.2-i B.2+iC.1+2i D.1-2i bi , 则复数 a+bi 是( 1+i ) 1+3i ?1+3i??1+i? -2+4i = = =-1+2i,故 z 的实部 2 1-i ?1-i??1+i? 解析:选 C 因为 a+i= bi ,整理得:(a+i)(1+i)=bi,∴(a-1)+(a+1)i 1+i ?a-1=0, ?a=1, =bi,由复数相等的条件知:? 解得? 即 a+bi=1+2i,故选 ?a+1=b, ?b=2, C. ― → ― → 8.在复平面内,向量 AB 对应的复数是 2+i,向量 CB 对应的复数是-1- ― → 3i,则向量 CA 对应的复数为( A.1-2i 解析:选 D ) D.-3-4i B.-1+2iC.3+4i ― → ― → ― → CA = CB - AB =-1-3i-2-i=-3-4i,故选 D. ) 9. 对任意复数 z=x+yi(x, y∈R), i 为虚数单位, 则下列结论正确的是( A.|z-- z |=2yB.z2=x2+y2C.|z-- z |≥2xD.|z|≤|x|+|y| 解析:选 D |z|= x2+y2≤ x2+2|xy|+y2= ?|x|+|y|?2=|x|+|y|,D 正确. 10. 已知 f(x)=x2, i 是虚数单位, 则在复平面中复数 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 f?1+i? 对应的点在( 3+i ) D.第四象限 解析:选 A 因为 第 2 页 共 5 页 f?1+i? 2i 1 3 = = + i,所以选 A. 3+i 3+ i 5 5 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) ― → ― → 11.在复平面内,复数 1+i 与-1+3i 分别对应向量 OA 和 OB ,其中 O 为 ― → 坐标原点,则| AB |=________. 解析:由题意知 A(1,1),B(-1,3), ― → 故| AB |= ?-1-1?2+?3-1?2=2 2. 答案:2 2 12.设复数 z 满足 iz=-3+i(i 为虚数单位),则 z 的实部为________. 解析:由 iz=-3+i,得 z= 答案:1 z1 13.已知 i 为虚数单位,复数 z1=3-ai,z2=1+2i,若 复平面内对应的点 z2 在第四象限,则实数 a 的取值范围为________. z1 3-ai ?3-ai??1-2i? 3-2a 6+a z1 解析: = = = - i,因为 复平面内对应的点 z2 1+2i ?1+2i??1-2i? 5 5 z2 ?3-2a>0, 3 在第四象限,所以? ?-6<a< . 2 ?6+a>0 3? ? 答案:?-6,2? ? ? 14.对于任意两个复数 z1=x1+y1i,z2=x2+y2i(x1、y1,x2、y2 为实数),定 义运算“⊙”为:z1⊙z2=x1x2+y1y2.设非零复数 ω1、ω2 在复平面内对应的点分 别为 P1、P2,点 O 为坐标原点.如果 ω1⊙ω2=0,那么在△P1OP2 中,∠P1OP2 的大小为________. ― → ― → 解析:设 OP 1=x1+y1i, OP 2=x2+y2i(x1,y1,x2,y2 为实数),∵ω1⊙ω2 =0,由定义知 x1x2+y1y2=0, π ― → ― → ∴ OP 1⊥ OP 2

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