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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学(北师大版,选修2-1)课时作业 第1章 2.3 常用逻辑用语]


2.3

充要条件

课时目标 1.结合实例,理解充要条件的意义.2.会判断(证明)某些命题的条件关系.3.会利用充要条 件求一些字母的范围,进一步理解数学概念.

1.如果既有 p?q,又有 q?p,就记作__________.这时 p 是 q 的____________条件, 简称________条件,实际上 p 与 q 互为________条件.如果 p ? q 且 q ? p,则 p 是 q 的____________________条件. 2.我们常用“当且仅当”表达充要条件.命题 p 和命题 q 互为充要条件,称它们是两个 相互等价的命题.

一、选择题 1.“x>0”是“x≠0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.设集合 M={x|0<x≤3},N={x|0<x≤2},那么“a∈M”是“a∈N”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 1 3.“m< ”是“一元二次方程 x2+x+m=0 有实数解”的( ) 4 A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件 D.非充分非必要条件 4.“k=1”是“直线 x-y+k=0 与圆 x2+y2=1 相交”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.设 l,m,n 均为直线,其中 m,n 在平面 α 内,“l⊥α”是“l⊥m 且 l⊥n”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.“a<0”是“方程 ax2+2x+1=0 至少有一个负数根”的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 6 题 号 答 案 二、填空题 7.用符号“?”或“ ? ”填空. (1)a>b________ac2>bc2;(2)a2c≠0________c≠0. 8.不等式(a+x)(1+x)<0 成立的一个充分而不必要条件是-2<x<-1,则 a 的取值范围是 ________. 9.函数 y=ax2+bx+c (a>0)在[1,+∞)上单调递增的充要条件是__________.(填序号) 三、解答题 10.下列命题中,判断条件 p 是条件 q 的什么条件: (1)p:|x|=|y|,q:x=y. (2)p:△ABC 是直角三角形,q:△ABC 是等腰三角形;

(3)p:四边形的对角线互相平分,q:四边形是矩形.

11.设 x,y∈R,求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是 xy≥0.

能力提升 12.已知 P={x|a-4<x<a+4},Q={x|x2-4x+3<0},若 x∈P 是 x∈Q 的必要条件,求实 数 a 的取值范围.

13. 记实数 x1, x2, ?, xn 中的最大数为 max{x1, x2, ?, xn}, 最小数为 min{x1,x2,?,xn}. 已知△ABC 的三边边长为 a,b,c(a≤b≤c),定义它的倾斜度为 ?a b c ? ?a b c ? l=max?b,c,a?· min?b,c ,a?, ? ? ? ? 则“l=1”是“△ABC 为等边三角形”的( ) A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

1.判断条件 p 和结论 q 之间的关系,可以先尝试确定 p、q 间的推出关系. 2.证明充要条件时,既要证明充分性,又要证明必要性,即证明原命题和逆命题都成立, 但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立.“A 的充要条件为 B”的命题的证 明:A?B 证明了必要性;B?A 证明了充分性.“A 是 B 的充要条件”的命题的证明: A?B 证明了充分性;B?A 证明了必要性.

2. 3

充要条件

知识梳理 1.p ? q 充分必要 充要 充要 既不充分又不必要 作业设计 1.A [对于“x>0” ? “x≠0”,反之不一定成立. 因此“x>0”是“x≠0”的充分而不必要条件.] 2.B [因为 N 3.A M.所以“a∈M”是“a∈N”的必要而不充分条件.]

[若一元二次方程 x2+x+m=0 有实数解,

1 则 Δ=1-4m≥0,因此 m≤ . 4 1 故 m< 是方程 x2+x+m=0 有实数解的充分非必要条件.] 4 4.A [把 k=1 代入 x-y+k=0,推得“直线 x-y+k=0 与圆 x2+y2=1 相交”;但“直 线 x-y+k=0 与圆 x2+y2=1 相交”不一定推得“k=1”.故“k=1”是“直线 x-y+k =0 与圆 x2+y2=1 相交”的充分而不必要条件.] 5.A [l⊥α ? l⊥m 且 l⊥n,而 m,n 是平面 α 内两条直线,并不一定相交,所以 l⊥m 且 l⊥n 不能得到 l⊥α.] 6.B 1 [当 a<0 时,由韦达定理知 x1x2= <0,故此一元二次方程有一正根和一负根,符合 a

题意;当 ax2+2x+1=0 至少有一个负数根时,a 可以为 0,因为当 a=0 时,该方程仅有 1 一根为- ,所以 a 不一定小于 0.由上述推理可知,“a<0”是“方程 ax2+2x+1=0 至少有 2 一个负数根”的充分不必要条件.] 7.(1) ? (2) ?

8.(2,+∞) 解析 不等式变形为(x+1)(x+a)<0,因当-2<x<-1 时不等式成立,所以不等式的解为 -a<x<-1.由题意有(-2,-1) 9.b≥-2a b 解析 由二次函数的图象可知当- ≤1, 即 b≥-2a 时, 函数 y=ax2+bx+c 在[1, +∞) 2a 上单调递增. 10.解 (1)∵|x|=|y| ? x=y, 但 x=y ? |x|=|y|, ∴p 是 q 的必要条件,但不是充分条件. (2)△ABC 是直角三角形 ? △ABC 是等腰三角形. △ABC 是等腰三角形 ? △ABC 是直角三角形. ∴p 既不是 q 的充分条件,也不是 q 的必要条件. (3)四边形的对角线互相平分 ? 四边形是矩形. 四边形是矩形 ? 四边形的对角线互相平分. ∴p 是 q 的必要条件,但不是充分条件. 11.证明 ①充分性:如果 xy≥0,则有 xy=0 和 xy>0 两种情况,当 xy=0 时,不妨设 x =0, 则|x+y|=|y|,|x|+|y|=|y|,∴等式成立. 当 xy>0 时,即 x>0,y>0,或 x<0,y<0, 又当 x>0,y>0 时,|x+y|=x+y,|x|+|y|=x+y, ∴等式成立. 当 x<0,y<0 时,|x+y|=-(x+y),|x|+|y|=-x-y,∴等式成立. 总之,当 xy≥0 时,|x+y|=|x|+|y|成立. ②必要性:若|x+y|=|x|+|y|且 x,y∈R, 则|x+y|2=(|x|+|y|)2, 即 x2+2xy+y2=x2+y2+2|x||y|, ∴|xy|=xy,∴xy≥0. 综上可知,xy≥0 是等式|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件. 12.解 由题意知,Q={x|1<x<3},Q ? P,
?a-4≤1 ? ∴? ,解得-1≤a≤5. ? ?a+4≥3

(-a,-1),∴-2>-a,即 a>2.

∴实数 a 的取值范围是[-1,5]. 13.A [当△ABC 是等边三角形时,a=b=c,
?a b c ? ?a b c ? ∴l=max?b,c ,a?· min?b,c ,a?=1×1=1. ? ? ? ?

∴“l=1”是“△ABC 为等边三角形”的必要条件.
?a b c ? c ∵a≤b≤c,∴max?b,c,a?= . ? ? a ?a b c? a 又∵l=1,∴min?b,c ,a?= , ? ? c

a a b a 即 = 或 = , b c c c 得 b=c 或 b=a,可知△ABC 为等腰三角形,而不能推出△ABC 为等边三角形. ∴“l=1”不是“△ABC 为等边三角形”的充分条件.]


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