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第三章直线与圆、圆与圆的位置关系


第 21 周 第 1 课 时 上 课 时 间 1 月 15 日 ( 星 期 一 ) 累 计 教 案 91 个

课题: 直线与圆的位置关系( ) 课题:3.1 直线与圆的位置关系(1)
教学目标: 1、利用投影演示,动手操作探索直线和圆的运动变化过程,经历直线与圆的三种位置关系 得产生过程; 2、在运动中体验直线与圆的位置关系,并观察理解直线与圆的“公共点的个数”的变化, 培养猜想、分析、概括、归纳能力。 3、正确判别直线与圆的位置关系,或根据直线与圆的位置关系正确的得出圆心到直线的距 离与圆的半径之间的大小关系或直线与圆的公共点的个数。 教学重点:直线与圆的三种位置关系 教学难点:直线与圆的三种位置关系的性质和判定俄正确运用 教学过程: 一、创设情景,引入新课 电脑演示:海上日出 1.观察三幅太阳升起的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的? 2.观察三幅太阳落山的照片,地平线与太阳的位置关系是怎样的? 你发现这个自然现象反映出直线和圆的位置关系有哪几种? 二、探究直线与圆的位置关系 1、动手操作:作一个圆,把直尺边缘看成一条直线.固定圆,平移直尺, 仔细观察,直线和圆的交点个数如何变化? 在学生回答得基础上,教师指出:由直线和圆的公共点的个数,得出直线和圆的三种位置关 系 : (1)相交:直线与圆有两个公共点时,叫做直线与圆相交,这时的直线叫做圆的割线; (2)相切:直线与圆有唯一公共点时,叫做直线与圆相切,这条直线叫做圆的切线,公共 点叫做切点; (3)直线与圆没有公共点时,叫做直线与圆相离。 2、做一做: 如 图 , O 为 直 线 L 外 一 点 ,OT ⊥ L, 且 OT=d 。 请 以 O 为 圆 心 , 分 别 以 为半径画圆.所画的圆与直线 l 有什么位置关系? 3、直线与圆的位置关系量化 观察所画图形, 你能从 d 和 r 的关系发现直线 l 和圆 O 的 位置关系吗?
T O

1 3 d,d, d 2 2

l

r O d T (1) (2) l T l T (3) l r O d r O

d

学生回答后,教师总结并板书: 如果⊙O 的半径 w 为 r ,圆心 O 到直线 l 的距离为 d,,那么: (1)直线 l 和⊙O 相交

? d<r;
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九年级下册第四章直线与圆 圆与圆的位置关系

(2) 直线 l 和⊙O 相切 (3)直线 l 和⊙O 相离

? d=r; ? d>r;

三、例题分析,课堂练习 例 1、在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以 C 为圆心,r 为半径的圆与 AB 有怎 样的位置关系?为什么? (1)r=2cm,(2)r=2.4cm,(3)r=3cm.(此题为课本第 49 页课内练习第 1 题的第 2 小题) 分析: 因为题中给出了⊙C 的半径, 所以解题的关键是求圆心到直线的距离, 然后与 r 比较, 确定⊙C 与 AB 的关系。 练习:课本第 49 页课内练习第 1 题的第 1 小题,作业题第 1 题。
A

例 2、 已知 Rt△ABC 的斜边 AB=8cm,直角边 AC=4cm. 以点 C 为圆心作圆,当半径为多长时,AB 与⊙C 相切? 练习:作业题第 2、3 题
C

D

B

例 3、 (即课本的例 1) 如图,海中有一个小岛 P,该岛四周 12 海里内暗礁.今有货轮四由西向东航行,开始在 A 点观测 P 在北偏东 60°处, 行驶 10 海里后到达 B 点观测 P 在北偏东 45°处,货轮继续向东航行.你 认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗? 分析:要解决这个问题,首先要把它转化为数学问题,画出图形。 要判断货轮是否有触礁危险,关键是看航线与 p 暗礁圆区的位置关系。

60 A B

45 H

练习:在南部沿海某气象站 A 测得一热带风暴从 A 的南偏东 30°的方向迎着气象站袭来, 已知该风暴的速度为每小时 20 千米, 风暴周围 50 千米范围内将受到影响, 若该风暴不改变 速度和方向, 问气象站正南方 60 千米的沿海城市 B 是否会受这次风暴的影响?若不受影响, 请说明理由;若受影响,请求出受影响的时间。 四、课堂小结: 这节课我们学习了哪些内容?用到了那些数学思想方法? 五、作业:见课课通
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第 21 周 第 2 课 时 上 课 时 间 1 月 16 日 ( 星 期 二 ) 累 计 教 案 92 个

课题: 直线与圆的位置关系( ) 课题:3.1 直线与圆的位置关系(2)之一
教学目标: 1、通过动手操作,经历圆的切线的判定定理得产生过程,并帮助理解与记忆; 2、在探索圆的切线的判定定理的过程中,体验切线的判定、切线的特殊性; 3、通过圆的切线的判定定理得学习,培养学生学习主动性和积极性。 教学重点:圆的切线的判定定理 教学难点:定理的运用中,辅助线的添加方法。 教学过程: 一、回顾与思考 投影出示下图,学生根据图形,回答以下问题:

r O d T (1) (2) l T l T (3) l r O d r O

d

(1)在图中,直线 l 分别与⊙O 的是什么关系? (2)在上边三个图中,哪个图中的直线 l 是圆的切线?你是怎样判断的? 教师指出: 根据切线的定义可以判断一条直线是不是圆的切线, 但有时使用定义判定很不方 便,为此我们还要学习切线的判定方法。 (板书课题) 二、探索判定定理 1、学生动手操作:在⊙O 中任取一点 A,连结 OA,过点 A 作直线 l⊥OA 。 思考: (可与同伴交流) (1)圆心 O 到直线 l 的距离和圆的半径由什么关系? (2)直线 l 与⊙O 的位置有什么关系?根据什么? (3)由此你发现了什么? o 启发学生得出结论:由于圆心 O 到直线 l 的距离等于圆的半径, 因此直线 l 一定与圆相切。 请学生回顾作图过程,切线 l 是如何作出来的?它满足哪些条 件? ①经过半径的外端;②垂直于这条半径。 从而得到切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 2、做一做(1)下列哪个图形的直线 l 与⊙O 相切?( )

O A

O

O

O

l l A C

l

A

l

A

B

D

九年级下册第四章直线与圆 圆与圆的位置关系

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小结:证明一条直线为圆的切线时,必须两个条件缺一不可:①过半径外端 ②垂直于这条半径。 (2)课本第 52 页课内练习第 1 题 (3)课本第 51 页做一做 小结:过圆上一点作圆的切线分两步:①连结该点与圆心得半径;②过该点作已连半径的垂 线。过圆上一点画圆的切线有且只有一条。 三、应用定理,强化训练 例 1、已知:如图,直线 AB 经过⊙O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB。 求证:直线 AB 是⊙O 的切线。 分析: 欲证 AB 是⊙O 的切线, 由于 AB 过圆上一点 C, 若连结 OC,则 AB 过半径 OC 的外端点,因此只要证 明 OC⊥AB,因为 OA=OB,CA=CB,易证 OC⊥AB。 O 学生口述,教师板书 证明:连结 OC, ∵OA=OB,CA=CB A ∴OC⊥AB(等腰三角形三线合一性质) B C ∴直线 AB 是⊙O 的切线。 例 2、如图,已知 OA=OB=5 厘米,AB=8 厘米,⊙O 的直径为 6 厘米。 求证:AB 与⊙O 相切。 分析:因为已知条件没给出 AB 和⊙O 有公共点,所以 可过圆心 O 作 OC⊥AB,垂足为 C,只需证明 OC 等于 O ⊙O 的半径 3 厘米即可。 证明:过 O 作 OC⊥AB,垂足为 C, ∵OA=OB=5 厘米,AB=8 厘米 ∴AC=BC=4 厘米 ∴在 Rt△AOC 中, OC =

A C B

OA 2 ? AC 2 = 5 2 ? 4 2 = 3 厘米,

又∵⊙O 的直径长为 6 厘米, ∴OC 的长等于⊙O 的半径 ∴直线 AB 是⊙O 的切线。 完成以上两个例题后,让学生思考:以上两例辅助线的添加法是否相同?有什么规律吗? 在学生回答的基础上,师生一起归纳出一下规律: (1)若直线与圆有公共点时,辅助线的作法是“连结圆心和公共点” ,再证明直线和半径垂 直。 (2)当直线与圆并没有明确有公共点时,辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”再证明 圆心到直线的距离等于圆的半径。 练习 1:判断下列命题是否正确 (1)经过半径的外端的直线是圆的切线 (2)垂直于半径的直线是圆的切线; (3)过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线; (4)和圆有一个公共点的直线是圆的切线; (5)以等腰三角形的顶点为圆心,底边上的高为半径的圆与底边相切。 采取学生抢答的形式进行,并要求说明理由。
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练习 2、如图,⊙O 的半径为 8 厘米,圆内的弦 AB= 8 3 厘米,以 O 为圆心,4 厘米为半 径作小圆。 求证:小圆与直线 AB 相切。 练习 3、 如图, 已知 AB 是⊙O 的直径, D 在 AB 的延长线上, 点 BD=OB,点 C 在圆上,∠CAB=30°。 求证:直线 DC 是⊙O 的切线。
C
A C B

O

A

O

B

D

练习 2、3 请两名学生板演,教师巡视,个别辅导。 四、小结: 并且垂直于 的直线是圆的切线。 1、 切线的判定定理: 经过 2、到目前为止,判定一条直线是圆的切线有三种方法,分别是: (1)根据切线的定义判定:即与圆有 公共点的直线是圆的切线。 (2)根据圆心到直线的距离来判定:即与圆心的距离等于 的直线是圆的切线。 并且 这条半径的直线是 (3)根据切线的判定定理来判定:即经过半径的 圆的切线。 3、证明一条直线是圆的切线常用的辅助线有两种: (1) 如果已知直线过圆上某一点, 则作 , 后证明 。 (2)如果直线与圆的公共点没有明确,则 ,后证明 。 五、作业:见课课通 第 170 页的第 1------8 题。

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第 21 周 第 3 课 时 上 课 时 间 1 月 17 日 ( 星 期 三 ) 累 计 教 案 93 个

课题: 直线与圆的位置关系( ) 课题:3.1 直线与圆的位置关系(2)之二
教学目标: 1、进一步掌握切线的判定定理,并能初步运用它解决问题; 2、通过例题教学,培养和提高学生分析问题解决问题的能力。 教学重点与难点:综合运用切线的判定定理。 教学过程: 一、知识回顾 判定直线与圆相切,常用的方法有哪些? 1、利用切线的定义; 2、利用圆心到直线的距离等于圆的半径;3、利用切线的判定定理。 二、基础热身 1、在 Rt△ABC 中,∠C=Rt∠,AC=BC,以 AB 上的高 CD 为直径作一个圆,与这个圆相切的 直线有( ) A A、AC B、AC、BC C、AB D、AC、BC、AB 2、如图,点 A 在⊙O 上,由下列条件能判定直线 AB 和⊙O 相切的有( ) B ①∠B=40°,∠O=50°,②sinB=1/2,③tanB×tanO=1, O ④⊙O 过 OB 的中点,∠O=60° A、① B、①② C、①②③ D、①③④ 3、已知⊙O 的直径为 10 厘米,如果圆心 O 到直线 l 的 距离为 4.5 厘米,那么直线 l 与⊙O 有 个公共点。 三、例题讲解 例 1、(即课本的例 2)已知如图,A 是⊙O 外一点,AO 的延长线交⊙O 于点 C,点 B 在圆上,且 AB=BC, ∠A=30°。 B 求证:直线 AB 是⊙O 的切线。

C

O

A

例 2、如图,台风中心 P(100,200)沿北偏东 30°的方向移动,受台风影响区域的半径为 200km,那么下列城市 A(200,380) ,B(600,480) ,C(550,300) ,D(370,540 )中, 哪些受到这次台风的影响,哪些不受到这次台风的影响? 分析: 引导学生画出图形, 判断四个城市会不会受到台风的影响主要是看在图上表示城市的 点是否会落在台风圆区的两条切线所夹的区域来解决。 三、课内练习 1、课本第 53 页作业题第 5、6 题 四、作业: 课课通地 171 页第 9---14

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第 21 周 第 4 课 时 上 课 时 间 1 月 18 日 ( 星 期 四 ) 累 计 教 案 94 个

课题: 直线与圆的位置关系( ) 课题:3.1 直线与圆的位置关系(3)
教学目标: 1、通过动手操作,反复尝试,合作交流,经历圆的切线的性质定理的产生过程,培养探索 精神和合作意识; 2、体验、理解圆的切线的两个性质,并正确合理、灵活运用。 教学重点:切线的两个性质 教学难点:切线的判定和性质的综合运用 教学过程: 一、复习引入 1、判断直线与圆相切有哪些方法? (1) 、利用切线的定义; (2) 、利用圆心到直线的距离等于圆的半径; 、利用切线的判 (3) 定定理。 2、合作学习: (1)如图,直线 AP 与⊙O 相切于点 A ,连结 OA,∠OAP 等于多少度? 在⊙O 上再任意 取一些点,过这些点作⊙O 的切线,连结圆心和切点,半径与切线所成的角为多少度?有此 你发现了什么? (2)任意画一个圆,作这个圆的一条切线,过切点作切线的垂线,你发现了什么? 你的发 现与你的同伴的发现相同吗? 二、形成新知 圆的切线的性质定理: 经过切点的半径垂直于圆的切线; 经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。 三、应用新知 例 1、如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,AD 和过 C 点的切线互相垂直,垂足为 D 。 求证:AC 平分∠DAB。 D 分析:从条件想,CD 是⊙O 的切线,可考虑连结 CO,利用 C 切线的性质定理可知 OC⊥CD,由 AD⊥CD,易知 OC∥AD。 如果从结论看, 要证 AC 平分∠DAB, 须证明∠DAC=∠CAB, 由于∠CAB=∠ACO,所以只要证明∠DAC=∠ACO 即可。 B A O 证明过程由学生自己完成。小结:在解有关圆的切线问题时, 常常需要作出过切点的半径。 练习:课本第 55 页第 1 题和第 2 题。 例2 (即课本的例 4) 木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径.如图,用角尺的较短边紧靠 ⊙O 于点 A,并使较长边与⊙O 相切于点 C,记角尺的直角顶点为 B,量得 AB=8cm,BC=16cm. 求⊙O 的半径。 分析:要求⊙O 的半径,可以考虑建立与圆的半径有关的直角三角形, 因为 BC 是⊙O 的切线,所以连结 OC,这样四边形 ABCO 是直角梯 O 形,过 A 点作 OC 的垂线,求得圆的半径。 过程由学生自己完成。 D A 例 3(即课本例 5) 如图,直线 AB 与⊙O 相切于点 C,AO 与⊙O 交于点 D,连结 CD。
B C

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1 ∠COD 。 2 1 分析:要证明 ∠ACD = ∠COD ,需要找到一个角等于 2 ∠COD 的一半,或者是∠ACD 的两倍。因为直线 AB 与
求证: ∠ACD = ⊙O 相切于点 C,所以 OC⊥AB,因此考虑作∠COD 的平分 线。 证明:作 OE⊥DC 于点 E, ∵△ODC 是等腰三角形, ∴∠COE=
B

O

D E C A

1 ∠COD 2

∵直线 AB 与⊙O 相切于点 C, ∴OC⊥AB,即∠ACD+∠OCE=Rt∠ ∴∠ACD=∠COE, 即 ∠ACD =

1 ∠COD 。 2

例 4、 (补充例题)已知如图,AB 是⊙O 的直径,BC 是与圆相切于点 B 的切线,弦 AD∥ OC。 C 求证:DC 是⊙O 的切线。 D 练习:课本第 56 页的作业题第 1、2、4、6 题 四、小结: 1、判定切线的三种方法 A 2、切线的两个性质; B O 3、常用的辅助线添加方法。 五、作业:见课课通

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第 21 周 第 5 课 时 上 课 时 间 1 月 19 日 ( 星 期 五 ) 累 计 教 案 95 个

课题: 课题:3.2 三角形的内切圆
教学目标: 1、通过作图操作,经历三角形内切圆的产生过程; 2、通过作图和探索,体验并理解三角形内切圆的性质; 3、类比三角形内切圆与三角形外接圆,进一步理解三角形内心和外心所具有的性质; 4、通过引例和例 1 的教学,培养学生解决实际问题的能力和应用数学的意识; 5、通过例 2 的教学,进一步掌握用代数方法解几何题的思路,渗透方程思想。 教学重点:三角形内切圆的概念和画法。 教学难点:三角形内切圆有关性质的应用。 教学过程 一、知识回顾 C 1、确定圆的条件有哪些? (1).圆心与半径; (2)不在同一直线上的三点 2、什么是角平分线?角平分线有哪些性质? (角平线上的点到这个角的两边的距离相等。 ) B O 3、左图中△ABC 与⊙O 有什么关系? (△ABC 是⊙O 的内接三角形;⊙O 是△ABC 的外接圆 圆心 O 点叫△ABC 的外心) 二、创设情境,引入新课 A 1、合作学习:李明在一家木料厂上班,工作之余想对厂 里的三角形废料进行加工:裁下一块圆形用料,且使圆的面积最大。应该怎样画出裁剪图? 探索: (1)当裁得圆最大时,圆与三角形的各边有什么位置关系? (2)与三角形的一个角的两边都相切的圆的圆心在哪里? (3)如何确定这个圆的圆心? 2、探究三角形内切圆的画法: (1) .如图,若⊙O 与∠ABC 的两边相切,那么圆心 O 的位置有什么特点? (圆心 0 在∠ABC 的平分线上。 )
A]
A

M

M

O

O

N B C
B

N C

(2) .如图 2,如果⊙O 与△ABC 的夹内角∠ABC 的两边相切,且与夹内角∠ACB 的两边 也相切,那么此⊙O 的圆心在什么位置? (圆心 0 在∠BAC,∠ABC 与∠ACB 的三个角的角平分线的交点上。 )

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(3) 如何确定一个与三角形的三边都相切的圆 . A 心的位置与半径的长? (作出三个内角的平分线, 三条内角平分线相交 M 于一点, 这点就是符合条件的圆心, 过圆心作一 边的垂线,垂线段的长是符合条件的半径) O ( 4). 你能作出几个与一个三角形的三边都相切 的圆么? (只能作一个,因为三角形的三条内角 N B 平分线相交只有一个交点。 ) C 教师示范作图。 3、三角形内切圆的有关概念 (1)定义:和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内 心,这个三角形叫做圆的外切三角形。 引导学生采用观察、类比的方法,理解三角形的内切圆及圆的外切三角形的概念,并于三角 形的外接圆与圆的内接三角形概念相比较。 (2)三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点,它到三边的距离相等。 (3)连接内心和三角形的顶点平分三角形的这个内角。 A 三、新知应用 例 1:如图,在△ABC 中,∠ABC=50°,∠ACB=75°,点 O 是内心, 求∠BOC 的度数。 解:∵点 O 是△ABC 的内心 O ∴BO 是∠ABC 的平分线,OC 是∠ ACB 的平分线 ∴∠OBC=1/2∠ABC,∠OCB=1/2∠ACB ∵∠ABC+∠ACB=50°+75°=125° B ∴∠BOC=180°-1/2×125°=117.5° 小结:已知内心往往连接内心和顶点,则连线平分 A 内角。 练习:课本第 59 页作业题第 1 题和第 3 题。 D 例 2、如图,一个木摸的上部是圆柱,下部是底面为 等边三角形的直棱柱.圆柱的下底面圆是直三棱柱 O 上底面等边三角形的内切圆.已知直三棱柱的底面 等边三角形边长为3cm。 求圆柱底面的半径。 B 分析:首先要根据题意画出图形,如图,要求圆柱 底面半径,要把它归纳到某个直角三角形中,由 A △ABC 是等边三角形可得 AD=1.5,连接 OA 即得 OA 平分∠ACB=30°。
E

C

C

例 3、如图,设△ABC 的周长为 c,内切 ⊙o 和各边分别相切于 D,E,F 求证:AE+BC=

F O

1 l 2
B D C

分析: AE、 即△ABC 的顶点 A 到△ABC 的内切 AF 圆⊙O 的切线长, 易证明 AE=AF, BD=BF、 CD=CF,
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后面由学生自己完成。 练习:第 59 页课内练习第 2 题,作业题第 5 题 备选例题: 如图, △ABC 中,E 是内心,∠A 的平分线和△ABC 的外接 圆相交于点 D。 求证:DE=DB。 四、小结: 1、什么叫三角形的内切圆?怎样作三角形的内切圆? 2、三角形的内切圆和三角形的外接圆的类比: 图形
A

A

E B C D

⊙O 的名称

△ABC 的名称

D B

F O

⊙O 叫做△ABC 的内切圆
C

△ABC 叫做⊙O 的外切三角 形

E

A

⊙O 叫做△ABC 的外接圆
O B

△ABC 叫做⊙O 的内接三角 形

C

圆心 O 的名称 圆心 O 叫做△ABC 的内心 圆心 O 叫做△ABC 外心

圆心 O 确定 作两角的角平分线 作两边的中垂线

“心”的性质 内心 O 到三边的距离相等 外心 O 到三个顶点的距离相 等

3、顶点与切点间的线段长与三角形三边关系: 如图,⊙I 切△ABC 三边于点 D、E、F,

1 则 AD=AF= ( AB + AC ? BC ) 2 1 BD=BE= ( AB + BC ? AC ) 2 1 CE=CF= ( AC + BC ? AB ) 2
特别地,当∠C=Rt∠时,如图,四边形 CEID 是正方形, 内切圆的半径

A

A

D

F

D
I C

F I C

B

E

B

E

r = CD = S ABC =

1 (CA + CB ? AB ) 2
(其中 r 、l 分别是内切圆的半径和三角形的周长)

1 rl 2

掌握这些结论对解填空题额、选择题很有帮助。 四、布置作业:见课课通。

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第 22 周 第 1 课 时 上 课 时 间 1 月 22 日 ( 星 期 一 ) 累 计 教 案 96 个

课题: 课题:圆与圆的位置关系
教学目标: 1、通过作图并用运动的观点,经历两圆的五种位置关系的产生过程; 2、采用合作交流的方法,体验两圆内切与外切的区别,两圆内含与外离的区别; 3、从两圆的交点个数及两圆的半径、圆心距之间的数量关系两方面理解两圆的五种位置关 系; 4、利用两圆的位置关系解决有关实际问题。 教学重点和难点:两圆的五种位置关系与两圆的半径、圆心距之间的数量关系 教学过程: 一、创设情景,引入新课 出示有关两圆关系的图片,如:奥运会的五环标志(圆与圆相交)自行车的两个车轮(两圆 外离) ,两个齿轮组成的传动装置(两圆外切、内切) 、飞镖靶(两圆内含)等。 板书课题:圆与圆的位置关系 二、探究两圆的位置关系 1、合作学习: (1)画一条线段 O1O2,在 O1O2 上取一点 T,分别以点 O1,O2 为圆心,O1T,O2T 为半径 作⊙O1 和⊙O2,⊙O1 和⊙O2 有几个公共点?两圆的圆心距 O1O2 与两圆的半径之间有怎样 的数量关系? (2)如果把点 T 取在线段 O1O2 的延长线上,再画⊙O1 和⊙O2,此时两圆有几个公共点? 两圆的圆心距离 O1O2 两圆的半径之间有怎样的数量关系? 2、归纳: (1)当两圆有唯一的公共点时,叫做两圆相切,唯一的公共点叫做切点。相切的两个圆除 了切点外,一个圆上的点都在另一个圆的外部时,我们就说这两个圆外切(如图 1),相切 ; 的两个圆,除了切点外,一个圆上的点都在另一个圆的内部时,我们就说这两个圆内切(如 图 2) 。

T 01 O2

O1

O2 T

图1

图2

(2)设两个圆的半径为 R 和 r,(R>r) ,圆心距为 d,则可得 两圆外切

? d=R+ r;

两圆内切

? d=R-r。

(3)用电脑出示下图,并演示这两个图形沿着通过两圆圆心的直线折叠的过程,让学生观 察连心线与切点的关系怎样? 在学生回答的基础上,教师指出:通过观察我们发现,相切两圆也组成轴对称图形,通过两 圆的圆心的直线叫做连心线,是他们的对称轴,由此我们得到相切两圆的连心线的性质:相 切两圆的连心线必经过切点。

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T 01 O2

O1

O2 T

图1

图2

3、应用新知: (1)已知⊙A、 ⊙B 相切,圆心距为 10cm,其中⊙A 的半径为 4cm,求⊙B 的半径. (注 意相切分外切和内切两种) (2)课本第 62 页第 1 题 (3)例题 1:为了要在直径为 50 毫米的圆形铁片中冲压出直径最大且全等的四个小圆片, 小聪和他的同学设计了如图的方案,其中每相邻两个小圆外切,每个小圆与⊙O 内切.这是一 个具有 4 条对称轴 AC,BD,L1L2 的对称图形.试求出小圆片的直径(结果保留 3 个有效数字)

A

D

O

l1

B

C

l2

解:设小圆片的半径为 r ,由图形的轴对称性,可得四边形 ABCD 是正方形,所以△ABC 是等腰直角三角形。 ∵相邻两个小圆片外切 ∴AB=BC=2r , ∵每个小圆都与⊙O 内切 ∴AC=2AO=2(25-r)
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AB = sin 45°, 可得2r = 2 (25 ? r ) 由 AC

解得 r =

25 2 +1 50 2 +1 ≈ 20.7毫米 。

∴r =

答:圆片的最大直径约为 20.7 毫米。 4、试验与操作 分别以 1 厘米、4 厘米为半径,用圆规画圆,使他们外切。然后相向或反向移动两个圆片, 你发现两圆还有哪些位置关系? 在这些位置关系中,R、r、d 之间分别有怎样的关系? 归纳:两圆的位置关系还有以下三种情况:

R O1

r o1 O2 R o2 r O1 O2

(1)

(2) (3)

当两个圆有两个公共点时,叫做两圆相交(如图 1) ;当两个圆没有公共点时,叫做两圆相 离,相离的两个圆,如果一个圆上的点都在另一个圆的外部,我们就说这两个圆外离(如图 2) ,如果一个圆上点都在另一个圆的内部。我们就说这两个圆内含(如图 3) 观察上图,可以得到: 设两个圆的半径为 R 和 r,圆心距为 d,则 (1)两圆相交 ? R- r< d<R+ r; (2)两圆外离 ? d>R+ r; (3)两圆内含

? d<R- r(R>r);

练习:第 62 页第 2 题和作业题第 1 题和第 2 题。 四、小结: 圆与圆的位置关系、数量关系、公共点的个数 五、作业:见课课通

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第 22 周 第 2 课 时 上 课 时 间 1 月 23 日 ( 星 期 二 ) 累 计 教 案 97 个

课题:第三章直线与圆、 课题:第三章直线与圆、圆与圆的位置关系复习
教学目标: 1、通过复习理解直线和圆、圆与圆的位置关系 2、掌握直线与圆相切的判定与性质定理; 3、理解三角形的内切圆、三角形内心的性质,并会利用内心性质解题。 4、通过解题思路的探索,提高学生观察、分析和解决问题的能力。 5、培养正确的学习方法和良好的学习习惯。 教学重点:掌握切线的判定和性质,并能灵活运用。 B 教学难点:切线的判定和性质的综合运用。 教学过程: 一、梳理知识点 学生完成课本第 64 页的小结部分 二、例题讲解 例 1、在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以 C 为圆心, r 为半径的圆与 AB 有何位置关系?为什么? 分析:求圆心 C 到 AB 的距离,再与半径 r 比较。 C

D

A

B

例 2、如图,△ADC 内接圆 O,AB 是⊙O 的直径,且 ∠EAC=∠D, 求证:AE 是⊙O 的切线。 O 分析:要证 AE 是⊙O 的切线,只要证 OA⊥AE,即证 D ∠OAE=90°。 C 学生自己完成证明过程。 E A 提问:上题中若去掉“AB 是⊙O 的直径”这个题设条 件,原题为“如图,△ADC 内接圆 O,且∠EAC=∠D” , AE 仍是⊙O 的切线吗? 小结:判定切线时,往往需要添加辅助线,其规律是: ①如果已知直线经过圆上的一点, 那么连接这点和圆心得到辅助线半径, 再证明所作半径与 这条直线垂直即可; ②如果已知条件即没有给出圆上一点, 也没有指出直径上的点, 那么过圆心作直线的垂线段 为辅助线,再证明垂线段的长度等于半径的长即可。 练习:1、 在△ABC 中,BC=6cm, ∠B=30°, ∠ B C=45°,以点 A 为圆心, 当半径多长时所作的⊙A 与 D BC 所在的直线相切?相交?相离? 2、已知 O 为∠BAC 的平分线上一点,OD⊥AB,D 为垂足,以 O 为圆心,OD 为半径作⊙O,如图。 O 求证:⊙O 与 AC 相切。 A
E

例 3、 某数学学习小组为了测量仪公园里放置于平台 上的一个巨型球体石料的半径, 采用了如下的方法:

C

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在球体石料的一侧紧挨一个已知直径的钢球,其截面如图所示,设⊙C 与大圆外切的切点为 D ,⊙C 与大圆都与平台相切,切点为 A、B 且⊙C 的直径为 10cm,测得 AB=50cm, 求球体 石料的半径 R。 分析:设大圆的圆心为 O,连接 OC,CA, OB , 作 CE ⊥ OB 于 E , 则 OC=R+5 , O OE=R-EB=R-CA=R-5,CE=AB=50cm,在 Rt△COE D 中用勾股定理可求出 R。 C E 小结:根据两圆相切,构造直角三角形,用勾 股定理求解是一种常用的方法。 A B 例 4、某公园有一块由三条马路围成的三角形 绿地(如图)现准备在其中建一个尽可能大的圆亭供人们休息,试作出这个圆。

四、布置作业:见课本目标与评定。

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第 22 周 第 3、 4 课 时 上 课 时 间 1 月 24 日 ( 星 期 三 ) 教 案 98、 99 个

课题:第三章直线与圆、圆与圆的位置关系测试 直线与圆、圆与圆的位置关系》 《直线与圆、圆与圆的位置关系》测试卷 班级 ____ 学号 _____姓名 _____ 得分 _______

一、选择题(每题 3 分,共 30 分) 1.下列说法中,正确的是( A C 切线垂直于圆的半径 相切两圆的连心线必过切点 ) B 垂直于切线的直线必过圆心 D 与圆有公共点的直线是该圆的切线 )

2. 已知两圆的圆心距是 3,两圆的半径分别 1,3,则这两个圆的位置关系是( A.外离 B.外切 C.相交 D.内切 )

3. 在平面直角坐标系中,以点(2 , l)为圆心、1 为半径的圆必与( A. x 轴相交 B.y 轴相交 C. x 轴相切 D. y 轴相切

4. ⊙O 的半径是 1.5,直线 l 与⊙0 相交,圆心 O 到直线 l 的距离是 d,则 d 应满足 ( A. d>3 B. 1.5<d<3 C. O ≤d<1.5 D.d<O ) 5.已知⊙O1 与⊙O2 内切,它们的半径分别为 2 和 3,则这两圆的圆心距 d 满足( (A)d=5 (B)d=1 (C)1<d<5 (D)d >5 6.如图,PA 为⊙O 的切线,A 为切点,PO 交⊙O 于点 B,PA=3,OA=4, 则 cos∠APO 的值为( ) 3 (A) 4 3 (B) 5 4 (C) 5 (D) 3 3 4 3 )

)

7.已知正三角形的内切圆半径为

cm,则它的边长是( (D) 3 cm

4 (A)2 cm (B) cm (C)2 3 cm 3

8.已知半径均为 1 厘米的两圆外切,半径为 2 厘米,且和这两圆都相切的圆共有( (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个 9.如图,AD、AE 分别是⊙O 的切线,D、E 为切点,BC 切⊙O 于 F,交 AD、 AE 于点 B、C,若 AD=8.则三角形 ABC 的周长是( A. 8 B.10 C.16 ) D.不能确定



10.如图,AB 是⊙O 的直径,P 是 AB 延长线上的一点,PC 切⊙O 于点 C,PC=3、PB:AB=1:3,则⊙O 的半径等于( A. )

5 2

B.

3

C.

9 4

D.

9 2

二、填空题(每小题 4 分,共 24 分) 11、如图 8,PA、PB 是⊙O 的切线,A、B 为切点,若∠APB=60°,

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则∠ABO=

.

(第 11 题) 为

(第 12 题)

(第 14 题)

(第 16 题)

12.如图,在△ABC 中,∠A=90°,AB=AC=2cm,⊙A 与 BC 相切于点 D,则⊙A 的半径 cm. .

13.两圆内切,其中一个圆的半径为 5,两圆的圆心距为 2,则另一个圆的半径是 14.如图,已知∠AOB=30°,M 为 OB 边上一点,以 M 为圆心、2 cm 为半径 作⊙M.若点 M 在 OB 边上运动,则当 OM= cm 时,⊙M 与 OA 相切. 15.△ABC 的面积为 4cm2,周长为 10 cm,则△ABC 的内切圆半径 r=________.

16、如图,施工工地的水平地面上有三根直径都是 1 米的水泥管,两两相切地堆放在一起, 则其最高点到地面的距离是 三、解答题(共 50 分) 17. (6 分)求作如图锐角三角形 ABC 的内切圆 A .

B

C

18. 分)如图,△ABC 中,∠BCA=90°,∠A=30°,以 AB 为直径画⊙O,延长 AB (8 到 D,使 BD 等于⊙O 的半径. 求证:CD 是⊙O 的切线.

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19. 分)一根钢管放在 V 形架内的横截面图如下,钢管的半径是 7cm, (8 . (1)如果量得 AB=24 cm,AO 是多少? (2)如果∠BAC=60°,AO 是多少?

20.(本题 8 分)正方形网格中,每个小正方形的边长为 1 个单位,以 O 为原点建立平面直 角坐标系。圆心为 A(3,0)的⊙A 被 y 轴截得的弦长 BC=8,如图 11 所示。解答下列问题: (1)⊙A 的半径为_____; (2)请在图中将⊙A 先向上平移 6 个单位,再向左平移 8 个单位得到⊙D,观察你所画的图 形知⊙D 的圆心 D 点的坐标是___;⊙D 与 x 轴的位置关系是____;⊙D 与 y 轴的位 置关系是_____;⊙D 与⊙A 的位置关系是____. (3)画出以点 E(—8,0)为位似中心,将⊙D 缩小为原来的
y

1 的⊙F 2

C

E O

A x

B

图 11

21.(8 分)如图,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线, D 是⊙O 上一点,且 AD∥OC (1)求证:△ADB∽△OBC (2)若 AB=2,BC= 5 ,求 AD 的长(结果保留根号)

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22.(本题满分 8 分, ) 在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,O 是边 AC 上的一个动点,以点 O 为圆心 作半圆,与边 AB 相切于点 D,交线段 OC 于点 E,作 EP⊥ED,交射线 AB 于点 P,交射 线 CB 于点 F。 (1) 如图,求证:△ADE∽△AEP; (2) 设 OA=x,AP=y,求 y 关于 x 的函数解析式

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