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湖北省襄阳四中、荆州中学、龙泉中学2013~2014学年度高三10月联考文科数学试题


2013~2014 学年度襄阳四中、荆州中学、龙泉中学高三 10 月联考

数学(文)试题
命题学校:龙泉中学 命题人:曾 敏 审题人:崔冬林 考试时间:120 分钟 试卷满分:150 分

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.全集 U={1,2,3,4,5},集合 M={1,4},N={1,3,5},则 N ? CU M ? ( A.{3,5} 2 . ) B.{1,5} 下 列 选 项 C.{4,5} 叙 述 错 D.{1,3} 误 的 是

( ) A.命题“若 x≠l,则 x2-3x 十 2≠0”的逆否命题是“若 x2-3x 十 2=0,则 x=1” B.若 p ? q 为真命题,则 p,q 均为真命题 C.若命题 p: ? x ? R,x2+x 十 1≠0,则 ? p: ?x ? R,x2+x 十 1=0 D.“x>2”是“x2 一 3x+2>0”的充分不必要条件 3 . ( A. (??, ]

函数f ( x) ? log 0.5 (4 x ? 1)
) B. [ , ??)











1 2

1 2

C. ( , ]

4.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (其中 A>0, | ? |? 则只需将 g ( x) ? sin 2 x 的图象

?

1 1 4 2

D. ( ,??)

1 4

2

)的图象如图所示,为了得到 f ( x) 图象,

y





A. 向右平移

?
6

π

7π 12 x

个长度单位
O -1

3

? B. 向左平移 个长度单位 6 ?
C. 向右平移 D. 向左平移

? 个长度单位 3

3

个长度单位

5 . 等 边 三 角 形 ABC 的 边 长 为 1 , BC ? a, CA ? b, AB ? c, 那么a ? ? b? ? c ? 等于 b c a ( ) A.3 B.-3 C.

??? ?

? ??? ?

? ??? ?

?

? ?? ? ? ? ? ?

3 2

D. ?

6.函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) ? 3 cos(2 x ? ? ) 为奇函数,且在 [0, 以

?
4

3 2

] 上为减函数的 ? 值可


( A. ?



?
3
x

6 ?e ? a, x ? 0, 7.已知函数 f ( x) ? ? (a?R ) ,若函数 f ( x) 在 R 上有两个零点,则 a 的取值 ?2 x ? 1, x ? 0
范围是 ( ) A. ? ??, ?1? B. ? ??, 0 ? C. ? ?1, 0 ? D. ? ?1, 0 ?

B. ?

?

C.

5? 6

D.

2? 3

8.已知函数 f ( x) 的导数为 f ?( x) ,且满足关系式 f ( x) ? x 2 ? 3 xf ?(2) ? ln x 则 f ?(2) 的值等 于 ( A. ?2 B.2 C. ? ) D.

9 4

9 . 已 知 函 数 f ( x) ? x sin x , x ? R , 则 f ( ) , f (1) , f( ?

?

9 4

?
3

5

)的 大 小 关 系 为

( A. f (?



?

5 3 2 10.函数 f ( x) ? x ? 2 | x | ?2 的定义域是[a,b] (a<b),值域是[2a,2b],则符合条件的数组(a,b)
的组数为 A. 0 ( ) B.1 C. 2 D. 3

C. f ( ) ? f (1) ? f (?

?

) ? f (1) ? f ( ) 3 5

?

B. f (1) ? f (? D. f (?

?

?

)

?

)? f( ) 3 5

?

) ? f ( ) ? f (1) 3 5

?

二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分。 )

? 1? . ( ) ? 3? 12.已知在直角三角形 ABC 中, ?ACB ? 90? , AC ? BC ? 2 ,点 P 是斜边 AB 上的一个 ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? 三等分点,则 CP ? CB ? CP ? CA ? . x 9 ?1 13.已知 f ( x) ? ? 1, 且 f (a ) ? 3 则 f (?a ) 的值为_____________. 3x
11.若幂函数 y = f x 的图象经过点 ? 9, ? , 则 f 25 的值是

( )

14 . 已 知 函 数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? a ? 7a 在 x = 1 处 取 得 极 大 值 10 , 则 a ? b 的 值
3 2 2

为 . 15.某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5cm,秒针均匀地绕点 O 旋转,当时间 t =0 时, 点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合,将 A、B 两点的距离 d (cm)表示成 t (秒)的函数,则 d=______________其中 t ? [0, 60] 16.已知函数

f ( x) ? x n ?1 (n ? N *) 的图象与直线 x ? 1 交于点 P,若图象在点 P 处的切线与


x 轴交点的横坐标为 xn ,则 log 2013 x1 + log 2013 x2 +…+ log 2013 x2012 的值为

17.定义在 [1, ??) 上的函数 f ( x) 满足:① f (2 x) ? cf ( x) (c,为正常数) ;②当 2 ? x ? 4 时,

f ( x) ? 1? | x ? 3 | .若函数的所有极大值点均在同一条直线上,则 c=______________

三、解答题(本题共 5 小题,共 65 分) 18. (本题满分 12 分) 已知命题 p:函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 2a 的值域为 [0, ??) ,
2

命题 q:方程 (ax ? 1)(ax ? 2) ? 0 在 [?1,1] 上有解, 若命题“p 或 q”是假命题,求实数 a 的取值范围。

19. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? [2sin( x ?

?
3

) ? sin x]cos x ? 3 sin 2 x .

(1)若函数 y=f(x)的图像关于直线 x ? a (a ? 0) 对称,求 a 的最小值; (2)若存在 x0 ? [0,

5? ], 使 mf ( x0 ) ? 2 ? 0 成立,求实数 m 的取值范围。 12

20. (本题满分 13 分)

? ? 2 (1)当 a // b 时,求 cos x ? sin 2 x 的值;
(2)设函数 若a

? 3 ? a ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1) . 已知向量 4
? ? ? f ( x) ? 2(a ? b) ? b ,已知在△ ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,

? 3 , b ? 2, sin B ?

6 3

,求 f ? x ? ? 4 cos? 2 A ?

? ?

??

? ?? ? ( x ? ?0, ? )的取值范围. 6? ? 3?

21. (本题满分 14 分) 某工厂有 216 名工人,现接受了生产 1000 台 GH 型高科技产品的总任务。已知每台 GH 型产品由 4 个 G 型装置和 3 个 H 型装置配套组成,每个工人每小时能加工 6 个 G 型装置或 3

个 H 型装置。现将工人分成两组同时开始加工,每组分别加工一种装置(完成自己的任务后 不再支援另一组) 。设加工 G 型装置的工人有 x 人,他们加工完 G 型装置所需时间为 g(x) , 其余工人加工完 H 型装置所需时间为 h(x) (单位:小时,可不为整数) (1)写出 g(x) h(x)的解析式; , (2)写出这 216 名工人完成总任务的时间 f(x)的解析式; (3)应怎样分组,才能使完成总任务用的时间最少?

22. (本题满分 14 分) 设函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 2 ln( x ? 1)
2

(1)求函数 f ( x) 的单调区间; (2)当 x ? [ ? 1, e ? 1] 时,是否存在整数 m,使不等式 m ? f ( x) ? ?m ? 2m ? e 恒成立?
2 2

1 e

若存在,求整数 m 的值;若不存在,请说明理由; (3)关于 x 的方程 f ( x) ? x ? x ? a 在[0,2]上恰有两个相异实根,求实数 a 的取值范围。
2

2013~2014 学年度襄阳四中、荆州中学、龙泉中学高三 10 月联考

数学(文)参考答案
1-5 ABCBD 11. 6-10 DDCAB 13. ?1 14 .3
2 2

1 5

12. 4

15.

10sin
2

?t
60

16. ?1

17. 1 或者 2

18.当 p 为真时, f ( x) ? ( x ? a ) ? a ? 2a ? ?a ? 2a ? 0 ? a ? 0 或者 a=2 ???4 分 q 为真时 ,a=0 不符合条件 当 a ? 0 时有 x ?

1 2 或者 x ? ? a a

1 2 ? 1 或 ?1 ? ? ? 1 a a 即 a ? 1 或 a ? ?1 或 a ? 2 或 a ? ?2 即 a ? 1 或 a ? ?1 ???????????????????????????8 分 ??1 ?
“p 或 q”假,即 p 假且 q 假

??1 ? a ? 1 ?? ?a ? 0,且a ? 2

? ?1 ? a ? 1 且 a ? 0 ? a 的范围为{a| ?1 ? a ? 1 且 a ? 0 } ???????????????????12 分
19.

(1) ? f ( x) ? (2sin x ? 3 cos x) cos x ? 3 sin 2 x ? 2sin x cos ? 3 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ) ??????????????????????2 分 3 ? ? ? 2 a ? = k? ? , k ? Z 3 2 k? ? ?a ? ? ,k ?Z 2 12
又? a ? 0 ?a 的最小值为

? 2sin(2 x ?

?

?

12

????????????????????6 分

(2) mf ( x0 ) ? 2 ? 0 ? m ?

2 1 ???????????8 分 ? f ( x0 ) sin(2 x ? ? ) 0 3 5? ? ? 7? ? x0 ? [0, ], ? 2 x0 ? ? 12 3 3 6 1 ? ?????????????????????10 分 ?? ? sin(2 x0 ? ) ? 1 2 3
则 m ? (??, ?2] ? [1, ??) ???????????????????12 分

20(1)? a // b,? cos x ? sin x ? 0,? tan x ? ?

? ?

3 4

3 4

????????????2 分

cos 2 x ? 2sin x cos x 1 ? 2 tan x 8 ? ? sin x 2 ? cos 2 x 1 ? tan 2 x 5 ? ? ? ? 3 (2) f ( x) ? 2(a ? b) ? b ? 2 sin(2 x ? ) + 4 2 cos 2 x ? sin 2 x ?
由正弦定理得

????6 分

a b 2 ? 3? ???9 分 ? 可得 sin A ? , 所以A ? , 或 A ? sin A sin B 2 4 4

因为 b

? a ,所以 A ?

? 4

????????????? ??????10 分

? 1 ?? ? ? ? 11? ? ? ? ?? , f ? x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 sin(2 x ? ) ? ,? x ? ?0, ? ? 2 x ? ? ? , 4 2 6? 4 ? 4 12 ? ? 3? ? ?
所以

3 ?? 1 ? ? 1 ? f ? x ? ? 4 cos? 2 A ? ? ? 2 ? 2 6? 2 ?

???????13 分

21. (Ⅰ 由题意知, ) 需加工 G 型装置 4000 个, 加工 H 型装置 3000 个, 所用工人分别为 x 人 和( 216 ? x )人,∴g x) ( ? 即 g x) ( ?

3000 4000 , (x) , h ? 6x (216 ? x) ? 3
???4 分

2000 1000 , (x)= ( 0 ? x ? 216 , x ? N * ) h 3x 216 ? x

(Ⅱ g ( x) ? h( x) ? )

2000 1000 1000 ? (432 ? 5 x) , ? ? 3 x(216 ? x) 3x 216 ? x

∵ 0<x<216,∴ 216-x>0, 当 0 ? x ? 86 时, 432 ? 5 x ? 0 , g ( x) ? h( x) ? 0 , g ( x) ? h( x) , 当 87 ? x ? 216 时, 432 ? 5 x ? 0 , g ( x) ? h( x) ? 0 , g ( x) ? h( x) ,

? 2000 * ? 3 x , 0 ? x ? 86, x ? N , ? ? f ( x) ? ? ? 1000 ,87 ? x ? 216, x ? N * . ? 216 ? x ?
(Ⅲ )完成总任务所用时间最少即求 f ( x) 的最小值, 当 0 ? x ? 86 时, f ( x) 递减,∴ f ( x) ? f (86) ? ∴ f ( x) min ? f (86) ,此时 216 ? x ? 130 , 当 87 ? x ? 216 时, f ( x) 递增,∴ f ( x) ? f (87) ? ∴ f ( x) min ? f (87) ,此时 216 ? x ? 129 , ∴ f ( x) min ? f (87) ? f (86) , ∴ 加工 G 型装置,H 型装置的人数分别为 86、130 或 87、129. 22.(Ⅰ)由 1 ? x ? 0 得函数 f ( x) 的定义域为 (?1, ??) ,

???9 分

2000 1000 , ? 3 ? 86 129
???11 分

1000 1000 , ? 216 ? 87 129
???13 分

???14 分

f ' ( x) ? 2 x ? 2 ?
'

2 2 x( x ? 2) 。 ?????????????????2 分 ? x ?1 x ?1
'

由 f ( x) ? 0 得 x ? 0; 由 f ( x) ? 0 ? ?1 ? x ? 0.

? 函数 f ( x) 的递增区间是 (0, ??) ;减区间是 (?1, 0) ; ?????????4 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)在 [ ? 1, 0] 上递减,在 [0, e ? 1] 上递增;

1 e

? f ( x) min ? f (0) ? 0
又? f ( ? 1) ?

????????????????????5 分

1 1 1 ? 1, f (e ? 1) ? e 2 ? 3, 且 e 2 ? 3 ? 2 ? 1, 2 e e e 1 ? x ? [ ? 1, e ? 1] 时, f ( x) max ? e 2 ? 3 ???????????????7 分 e

??m 2 ? 2m ? e 2 ? f ( x) max ? 不等式 m ? f ( x) ? ?m 2 ? 2m ? e 2 恒成立,? ? ?m ? f ( x) min ??m 2 ? 2m ? e 2 ? e 2 ? 3 ?m 2 ? 2m ? 3 ? 0 ??1 ? m ? 3 ?? ?? ? ?1 ? m ? 0 即? ? ?m ? 0 ?m ? 0 ?m ? 0

? m 是整数,? m ? ?1
? 存在整数 m ? ?1 ,使不等式 m ? f ( x) ? ?m 2 ? 2m ? e 2 恒成立 ???????9 分
(Ⅲ)由 f ( x) ? x ? x ? a 得 x ? a ? 2 ln(1 ? x) ? 0, x ? [0, 2]
2

令 g ( x) ? x ? a ? 2 ln( x ? 1), 则 g ' ( x) ? 1 ?
' '

2 x ?1 ? , x ? [0, 2] 1? x x ?1

由 g ( x) ? 0 ? 1 ? x ? 2; g ( x) ? 0 ? 0 ? x ? 1

? g ( x) 在[0,1]上单调递减,在[1,2]上单调递增

??????????10 分

? 方程 f ( x) ? x 2 ? x ? a 在[0,2]上恰有两个相异实根 ? 函数 g ( x) 在 [0,1) 和 (1, 2] 上各有一个零点,

? g (0) ? 0 ??a ? 0 ?a ? 0 ? ? ? ? ? g (1) ? 0 ? ?1 ? a ? 2 ln 2 ? 0 ? ?a ? 1 ? 2 ln 2 ? 1 ? 2 ln 2 ? a ? 2 ? 2 ln 3 ? g (2) ? 0 ?2 ? a ? 2 ln 3 ? 0 ?a ? 2 ? 2 ln 3 ? ? ?
? 实数 m 的取值范围是 1 ? 2 ln 2 ? a ? 2 ? 2 ln 3
???????????14 分


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