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数列求和导学案---张党光


咸阳彩虹中学

2016—2017 学年高二年级

(数学学科)导学案

课题: 《数列求和》 时间:2016.9.22 命制人:张党光 校对人:高二数学备课组 班级

姓名: 【学习目标】 (1)能熟练地应用等差数列、等比数列前 n 项和公式解决有关问题; (2)掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常用方法 【学习重难点】 重点:分组求和法、错位相减法、裂项相消法 难点:能根据通项选择合适的方法求和 【导学流程】 复习回顾: 若数列 ?an ? 是等差数列则: s n 若数列 ?an ? 是等比数列则: s n

? ______________=________________; ? ______________=________________;

方法探究 (一)公式法(直接求和)如果一个数列是等差数列或等比数列,则求和时直接利用等差、等比数 列的前 n 项和公式,注意等比数列公比 q 的取值情况要分 q=1 和 q≠1. 例 1、求和: (1)Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n

(2)Sn ? 2 ? 4 ? 8 ???? 2n

(3) S n ? 1 ? a ? a 2 ? a 3 ? ......? a n?1
(二) :绝对值求和 an :注重原来通项正负转换的位置 例 2:在等差数列 ?an ? 中, an ? 3n ?16 , bn ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n .

? ?

练习:在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 13, d ? ?5 , bn ? an ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n 。

(三)分组转化求和法:若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组 成,则求和时可用分组转化法,分别求和而后相加减.
2 3 n 例 3、求和: S n ? ? 2 ? 1? ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? ? 2 ? n

?

? ?

?

?

?

练习:.数列 1 ,3 ,5 ,7

1 2

1 4

1 8

1 1 ,…,(2n-1)+ n ,…的前 n 项和 S n 的值等于 16 2

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(四)错位相减法:若通项能转化为等差数列与等比数列的积,一般适用于数列 ?anbn ? 的前 n 项求 和,其中 ?an ? 成等差, ?bn ? 成等比,即 an ? bn ? cn . 例 4、求和 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? ? ? n ? 2
2 n ?1

.

变式:求和 1 ? 2a ? 3a ? ? ? na
2

n ?1



[归纳领悟]用乘公比错位相减法求和时,应注意:在写出“ S n ”与“ qSn ”的表达式时应特别注意 将两式“错项对齐” ,以便下一步准确写出“ S n - qSn ”的表达式. 练习:求数列 {

n } 的前 n 项和 S n 。 2n

(五) :裂项相消法:通项是分式结构,分母因式成等差数列关系,可以把通项写成两项之差, an ? f (n ? 1) ? f (n) ,然后累加抵消掉中间的许多项。 例 5、数列 ?an ? 的通项公式为 an ?

1 ,求它的前 n 项和 Sn 。 n(n ? 1)

练习: (1)求和 Sn =

1 1 1 1 + + + ……+ 2 ? 5 5 ? 8 8 ?11 (3n ? 1)(3n ? 2)

(2)求数列1 ?

1 1 1 1 ? ? ??? 的和 Sn 。 1? 2 1? 2 ? 3 1? 2 ? 3 ? 4 1? 2 ? 3 ??? n

常见的拆项公式:(1)

1 1 1 1 1? 1 1 ? ;⑵ ; ? ? ? ? ? n ? n ? 1? n n ? 1 ? 2n ?1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ?1 2n ? 1 ? ?
1 1? 1 1 ? 1 1 ? ? ? ? ? ;(4) an an ?1 d ? an an ?1 ? a ? b a ?b

(3) 若 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,则

?

a? b .

?

(六)倒序相加法:如果一个数列 ?an ? ,首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数,那 么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法。 例 6、设 f ( x) ?

1 2 ? 2
x

, 求f (?5) ? f (?4) ? ... ? f (0) ? ... ? f (5) ? f (6)的值。
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练习:已知数列的通项 an

? sin 2 n? ,求 S 89 .

数列求和课堂练习 1 1 1 1 1.数列 1 ,3 ,5 ,7 ,…的前 n 项和 S n 为 ( 2 4 8 16 1 1 1 1 2 2 2 2 A.n +1- n-1 B.n +2- n C.n +1- n D.n +2- n-1 2 2 2 2 1 2.已知数列{ an }的通项公式是 an = ,若前 n 项和为 10,则项数 n 为( n+ n+1 A.11 B.99 C.120 D.121 3.已知等比数列{ an }中,a1 ? 3, a4 ? 81, 若数列{ bn }满足 bn ? log3 an ,则数列 { 项和 S n =___________. 4.已知等差数列{ an }的前 n 项和为 S n ,且 a3 ? 5, S15 ? 225. (1)求数列{ an }的通项公式;(2)设 bn = 2
an

)

)

1 } 的前 n bn bn ?1

+2n,求数列{ bn }的前 n 项和 Tn .

5 . 设 { an } 是 等 差 数 列 ,{ bn } 是 各 项 都 为 正 数 的 等 比 数 列 , 且 a1 ? b1 ? 1, , a3 ? b5 ? 21 ,

a5 ? b3 ? 13.(1)求{ an },{ bn }的通项公式;(2)求数列 {

an } 的前 n 项和 S n . bn

6.等差数列{an}的各项均为正数,a1=3,前 n 项和为 Sn,{bn}为等比数列,b1=1,且 b2S2=64,b3S3 1 1 1 =960.(1)求 an 与 bn;(2)求 + +…+ .

S1 S2

Sn

数列求和课后作业 一、选择题: n 1. 若数列{an}的通项公式为 an=2 +2n-1,则数列{an}的前 n 项和为(
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).

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A.2 +n -1

n

2

B.2

n+1

+n -1

2

C.2

n+1

+n -2

2

D.2 +n-2

n

2.有两个等差数列 ?an ?, 若 ?bn ? ,其前 n 项和分别为 Sn,Tn, A. 65 12 B. 37 8 72 C. 13
2

S n 7n+2 a = ,则 5 = ( n+3 Tn b5

)

D.

9 4 ,…的前 n 项和 Sn ? 1020 ,那么 n 的最

3.数列 1,1+2,1+2+4,…, 1+2+2 +?+2 小值是 A.7 B.8 C.9

n-1

( ) D.10 1 2 013 4.在数列{an}中,an= ,若{an}的前 n 项和为 ,则项数 n 为( n(n+1) 2 014 A.2 011 B.2 012 C.2 013 D.2 014 二、填空题:

).

n ?1 n 2 3 5.已知 Sn=1+ + 2+…+ n ? 2 + n ?1 ,则 Sn= 3 3 3 3
则 log 4S10 =__________.

.

6..数列{ an }的前 n 项和为 Sn 且 a 1 =1, an+1 =3Sn (n=1,2,3,…), 三、解答题: 7. 设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列,且 a1=b1= 1, a3+b5 =21, a5+b3 =13. (1)求{an},{bn}的通项公式; (2)求数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和 Sn . ? bn ?

8.求数列 1, 1+ a , 1+a+a ,…, 1+a+a +?+a
2 2

n-1

的前 n 项和 Sn.

9.已知等差数列 ?an ? 前三项的和为-3,前三项的积为 8. (1)求等差数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列 ?| an |? 的前 n 项和.

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