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【步步高】2015届高考数学总复习 2.5指数与指数函数课件 理 新人教B版


数学

R B(理)

§2.5 指数与指数函数
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1.根式的性质 n n (1)( a) = a(n>1,且n∈N+) . n n (2)当 n 为奇数时 a = a ;
? ?a ?a≥0? ? n n ? - a ? a <0 ? ? 当 n 为偶数时 a =

.

基础知识·自主学习
要点梳理
2.有理指数幂 (1)幂的有关概念 ①正整指数幂:an=
知识回顾 理清教材

n个

(n∈N+).

②零指数幂:a0= 1 (a≠0). 1 n - ③负整指数幂:a n= a (a≠0,n∈N+). m n m m n ④正分数指数幂: a = a (a>0,m、n∈N+,且 n 为既约 分数).

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1
⑤负分数指数幂: a = a 为既约分数). (2)有理指数幂的运算法则
? m n

1


m n

n

am (a>0,m、n∈N+,且m n

设 a>0,b>0,对任意有理数,α、β 有
α+β a aa= ,
α β

(aα)β= a

αβ



α α (ab)α= a b .

基础知识·自主学习
要点梳理
3.指数函数的图象与性质 y=ax a>1 0<a<1
知识回顾 理清教材

图象

定义域 值域

(1) R (2) (0,+∞)

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

(3)过定点 (0,1) (4)当 x>0 时, y>1 性质 x<0 时, 0<y<1 (6)在(-∞,+∞)上 是 增函数 ;(5)当 x>0 时,0<y<1 ; x<0 时, y>1 (7)在(-∞,+∞)上 是 减函数

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1)× (2) × (3) × (4) × (5) × (6) √

解析

D A
(- 2,-1)∪(1, 2)
5 2

题型分类·深度剖析
题型一 指数幂的运算
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】化简:(1) 1 1 1 1 4 ?3 3 4 2 ?a b ? ? a b (a>0,b>0); 1 ? 27 ? 2 (2)( - ) 3 + (0.002) 2 - 10( 5 8 -2)-1+( 2- 3)0.

ab

3 23

ab2

题型分类·深度剖析
题型一 指数幂的运算
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】化简:(1) 1 1 1 1 4 ?3 3 4 2 ?a b ? ? a b (a>0,b>0); 1 ? 27 ? 2 (2)( - ) 3 + (0.002) 2 - 10( 5 8 -2)-1+( 2- 3)0.

ab

3 23

ab2

运算中可先将根式化成分数 指数幂,再按照指数幂的运 算性质进行运算.

题型分类·深度剖析
题型一 指数幂的运算
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】化简:(1) 1 1 1 1 4 ?3 3 4 2 ?a b ? ? a b

ab

3 23

ab

2



(1)原式=

( a 3b

1 2 2a 3b 3 ? 1 1 3b 3

)

1 2

ab2 a

3 1 1 1 1 (a>0,b>0); ? ?1? 1? ? 2? -1 2 6 3 3 3 a b = = ab . 2 1 ? 27 ? 3 2 1 (2)( - ) + (0.002) 2 - 10( 5 ? ? 27 1 8 (2)原式=(- 8 ) 3 +(500) 2

-2) +( 2- 3) .

-1

0

10 - +1 5-2 1 8 ?2 =(- ) 3 +500 2 -10( 5+2)+1 27 4 167 =9+10 5-10 5-20+1=- 9 .

题型分类·深度剖析
题型一 指数幂的运算
思维启迪 解析 思维升华

【例 1】化简:(1) 1 1 1 1 4 ?3 3 4 2 ?a b ? ? a b

ab

3 23

ab2

(1)指数幂的运算首先将根式、分 数指数幂统一为分数指数幂,以 便利用法则计算,但应注意:

(a>0,b>0); ①必须同底数幂相乘,指数才能 1 ? 27 ? 2 (2)( - ) 3 + (0.002) 2 - 10( 5 相加;②运算的先后顺序. 8 (2) 当底数是负数时,先确定符 -2)-1+( 2- 3)0. 号,再把底数化为正数. (3)运算结果不能同时含有根号和
分数指数,也不能既有分母又含 有负指数.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)化简 16x8y4(x<0,y<0)得 4 ( D ) D.-2x2y A.2x2y B.2xy C.4x2y -1 3 8 ? 4 ab ? 1 ?1 (2)( ) 2 · 1 =________. 5 4 -1 3 -3 2 ?0.1? · ?a · b ?
解析
4

(1) 16x y =(16x y )
8 4
1 4 4? 1 4

4

8 4

8 4

1 4

=[2 (-x) · (-y) ] =2

· (-x) · (-y)

1 8· 4

1 4· 4

=2(-x)2(-y)=-2x2y.
(2)原式=
4 a b 2·
3 2 3 2 ? 3 2 3 2

10 a b

3 2

?

8 = . 5

题型分类·深度剖析
题型二 指数函数的图象、性质
(1)函数 f(x)=a
x- b

【例 2】

的图象如 ( )

思维启迪

解析

答案

思维升华

图所示,其中 a,b 为常数,则下列 结论正确的是 A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 (2)若函数 f(x)=e
?( x ?u ) 2

(e 是自

然对数的底数)的最大值是 m, 且 f(x) 是偶函数,则 m+μ=________.

题型分类·深度剖析
题型二 指数函数的图象、性质
(1)函数 f(x)=a
x- b

【例 2】

的图象如 ( )

思维启迪

解析

答案

思维升华

图所示,其中 a,b 为常数,则下列 结论正确的是 A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 (2)若函数 f(x)=e
?( x ?u ) 2

对于和指数函数的图象、性 质有关的问题,可以通过探 求已知函数和指数函数的关 系入手.

(e 是自

然对数的底数)的最大值是 m, 且 f(x) 是偶函数,则 m+μ=________.

题型分类·深度剖析
题型二 指数函数的图象、性质
(1)函数 f(x)=a
x- b

【例 2】

的图象如 ( )

思维启迪

解析
-b

答案

思维升华

图所示,其中 a,b 为常数,则下列 结论正确的是 A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 (2)若函数 f(x)=e
?( x ?u ) 2

(1)由 f(x)=ax 调递减,

的图象可以观察
-b

出函数 f(x)=ax

在定义域上单


所以 0<a<1.函数 f(x)=ax b 的图象 是在 f(x)=ax 的基础上向左平移 得到的,所以 b<0.
(e 是自

(2)由于 f(x)是偶函数, 所以 f(-x)=f(x),
? ( ? x ?u ) 2 ?( x ?u ) 2

然对数的底数)的最大值是 m, 且 f(x) 是偶函数,则 m+μ=________.

即e

=e



题型分类·深度剖析
题型二 指数函数的图象、性质
(1)函数 f(x)=a
x-b

【例 2】

的图象如 ( )

思维启迪

解析

答案

思维升华

图所示,其中 a,b 为常数,则下列 结论正确的是 A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 (2)若函数 f(x)=e
?( x ?u ) 2

∴(x+μ)2=(x-μ)2,∴μ=0,
∴f(x)=e
? x2

.又 y=ex 是 R 上的

增函数,而-x2≤0,

∴f(x) 的最大值为 e0 = 1 = m ,
(e 是自然对数

的底数)的最大值是 m,且 f(x)是偶 函数,则 m+μ=________.

∴m+μ=1.

题型分类·深度剖析
题型二 指数函数的图象、性质
(1)函数 f(x)=a
x-b

【例 2】

的图象如 ( D)

思维启迪

解析

答案

思维升华

图所示,其中 a,b 为常数,则下列 结论正确的是 A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 (2)若函数 f(x)=e
?( x ?u ) 2

∴(x+μ)2=(x-μ)2,∴μ=0,
∴f(x)=e
? x2

.又 y=ex 是 R 上

的增函数,而-x2≤0,

∴f(x) 的最大值为 e0 = 1 = m ,
(e 是自然对

数的底数)的最大值是 m,且 f(x)是
1 偶函数,则 m+μ=________.

∴m+μ=1.

题型分类·深度剖析
题型二 指数函数的图象、性质
(1)函数 f(x)=a
x-b

【例 2】

的图象如 ( D)

思维启迪

解析

答案

思维升华

图所示,其中 a,b 为常数,则下列 结论正确的是 A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 (2)若函数 f(x)=e
?( x ?u ) 2

(1) 与指数函数有关的函数的图 象的研究,往往利用相应指数函 数的图象,通过平移、对称变换 得到其图象.

(e 是自然对

(2) 对复合函数的性 质进行讨 论 时,要搞清复合而成的两个函数, 然后对两层函数分别进行研究.

数的底数)的最大值是 m,且 f(x)是
1 偶函数,则 m+μ=________.

题型分类·深度剖析
ex+e-x 跟踪训练 2 (1) 函数 y= x -x的图象大致为 e -e ( A )

ex+e x 2 解析 y= x -x=1+ 2x , e -e e -1 2 2x 当 x>0 时,e -1>0,且随着 x 的增大而增大,故 y=1+ 2x >1 e -1


随着 x 的增大而减小,

即函数 y 在(0,+∞)上恒大于 1 且单调递减.又函数 y 是奇函数, 故只有 A 正确.

题型分类·深度剖析
(2)若函数 f(x)=ax-1(a>0 且 a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实
3 数 a=________.

解析

当 a>1 时,x∈[0,2],y∈[0,a2-1],

∴a2-1=2,即 a= 3.
当 0<a<1 时,x∈[0,2],y∈[a2-1,0],此时定义域与值域不一致, 无解. 综上,a= 3.

题型分类·深度剖析
题型三 指数函数的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 (1)k 为何值时,方程 |3x-1|=k 无解?有一解?有两 解? (2)已知定义在 R 上的函数 f(x) 1 x =2 - |x|. 2 3 ①若 f(x)= ,求 x 的值; 2 ② 若 2tf(2t) + mf(t)≥0 对 于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取 值范围.

题型分类·深度剖析
题型三 指数函数的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 (1)k 为何值时,方程 |3x-1|=k 无解?有一解?有两 解?

方程的解的问题可转为函数

(2)已知定义在 R 上的函数 f(x) 图象的交点问题;恒成立可以 1 =2x- |x|. 2 通过分离参数求最值或值域 3 ①若 f(x)= ,求 x 的值; 2 ② 若 2 f(2t) + mf(t)≥0 对 于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取 值范围.
t

来解决.

题型分类·深度剖析
题型三 指数函数的应用
思维启迪
x

【例 3】 (1)k 为何值时,方程

解析

思维升华

x 解 (1) 函数 y = |3 -1|的图象是 |3 -1|=k 无解?有一解?有两 x 由函数 y = 3 的图象向下平移一 解? (2)已知定义在 R 上的函数 f(x) 个单位后,再把位于 x 轴下方的

1 =2 - |x|. 2
x

图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到 的,函数图象如图所示.

3 ①若 f(x)= ,求 x 的值; 2 ② 若 2tf(2t) + mf(t)≥0 对 于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取 值范围.

题型分类·深度剖析
题型三 指数函数的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 (1)k 为何值时,方程 |3 -1|=k 无解?有一解?有两 解?
x

当 k<0 时,直线 y=k 与函数 y=|3x-1|的图象无交点, 即方程

无解; (2)已知定义在 R 上的函数 f(x) 当 k=0 或 k≥1 时, 直线 y=k 与 1 x x =2 - |x|. 函数 y = |3 -1|的图象有唯一的 2 3 交点,所以方程有一解; ①若 f(x)= ,求 x 的值; 2 当 0<k<1 时,直线 y=k 与函数

② 若 2tf(2t) + mf(t)≥0 对 于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取 值范围.

y = |3x - 1| 的图象有两个不同的 交点,所以方程有两解.

题型分类·深度剖析
题型三 指数函数的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 (1)k 为何值时,方程 |3 -1|=k 无解?有一解?有两
x

(2)①当 x<0 时,f(x)=0,无解;
x

1 当 x≥0 时,f(x)=2 -2x, 解? 1 3 (2)已知定义在 R 上的函数 f(x) x 由 2 -2x=2, 1 =2x- |x|. 2 得 2· 22x-3· 2x-2=0, 3 ①若 f(x)= ,求 x 的值; 2 看成关于 2x 的一元二次方程, ② 若 2tf(2t) + mf(t)≥0 对 于 解得 2x=2 或-1, 2 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取

值范围.

∵2x>0,∴x=1.

题型分类·深度剖析
题型三 指数函数的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 (1)k 为何值时,方程 |3x-1|=k 无解?有一解?有两 解?

②当 t∈[1,2]时, ? ? t 1? 1? t 2t 2 ?2 -22t?+m?2 -2t?≥0, ? ? ? ?

(2)已知定义在 R 上的函数 f(x) 2t 4t 即 m (2 - 1) ≥ - (2 -1), 1 =2x- |x|. 2 ∵22t-1>0,∴m≥-(22t+1), 3 ①若 f(x)= ,求 x 的值; ∵t∈[1,2], 2 2t t ∴ - (2 +1)∈[-17,-5], ② 若 2 f(2t) + mf(t)≥0 对 于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取 值范围.

故 m 的取值范围是[-5,+∞).

题型分类·深度剖析
题型三 指数函数的应用
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】 (1)k 为何值时,方程 解?

|3x-1|=k 无解?有一解?有两 对指数函数的图象进行变换是

利用图象的前提, 方程 f(x)=g(x)

(2)已知定义在 R 上的函数 f(x) 解的个数即为函数 y=f(x)和 y= 1 =2x- |x|. 2 g(x)图象交点的个数;有关复合 3 ①若 f(x)= ,求 x 的值; 2 函数问题的关键是通过换元得 ② 若 2tf(2t) + mf(t)≥0 对 于 到两个新的函数,搞清复合函数 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取 的结构. 值范围.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 设函数 f(x)=kax-a-x(a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数. (1)若 f(1)>0,试求不等式 f(x2+2x)+f(x-4)>0 的解集; 3 - (2)若 f(1)= ,且 g(x)=a2x+a 2x-4f(x),求 g(x)在[1,+∞)上的最小值. 2



因为 f(x)是定义域为 R 的奇函数,

所以 f(0)=0,所以 k-1=0,即 k=1. 1 (1)因为 f(1)>0,所以 a-a>0,又 a>0 且 a≠1,所以 a>1. 因为 f′(x)=axln a+a-xln a=(ax+a-x)ln a>0,
所以 f(x)在 R 上为增函数,原不等式可化为 f(x2+2x)>f(4-x),
所以 x2+2x>4-x,即 x2+3x-4>0, 所以 x>1 或 x<-4. 所以不等式的解集为{x|x>1 或 x<-4}.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 设函数 f(x)=kax-a-x(a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数. (1)若 f(1)>0,试求不等式 f(x2+2x)+f(x-4)>0 的解集; 3 - (2)若 f(1)= ,且 g(x)=a2x+a 2x-4f(x),求 g(x)在[1,+∞)上的最小值. 2

3 1 3 解 (2)因为 f(1)= ,所以 a-a= , 2 2 1 2 即 2a -3a-2=0,所以 a=2 或 a=-2(舍去).
所以 g(x)=22x+2-2x-4(2x-2-x)=(2x-2-x)2-4(2x-2-x)+2.
令 t(x)=2x-2-x(x≥1),则 t(x)在(1,+∞)为增函数(由(1)可知),
3 即 t(x)≥t(1)=2,所以原函数为 ω(t)=t2-4t+2=(t-2)2-2, 所以当 t=2 时,ω(t)min=-2,此时 x=log2(1+ 2).
即 g(x)在 x=log2(1+ 2)时取得最小值-2.

题型分类·深度剖析
思想与方法系列3 换元法解决与指数函数有关的值域问题 1 x 2 ? 2 x ?1 典例:(10 分)(1)函数 y=( ) 的值域是 ( ) 2
A.(-∞,4) C.(0,4] B.(0,+∞) D.[4,+∞)

1x 1x (2)函数 y=( ) -( ) +1 在 x∈[-3,2]上的值域是________. 4 2
解 析
温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
思想与方法系列3 换元法解决与指数函数有关的值域问题 1 x 2 ? 2 x ?1 典例:(10 分)(1)函数 y=( ) 的值域是 ( ) 2
A.(-∞,4) C.(0,4] B.(0,+∞) D.[4,+∞)

1x 1x (2)函数 y=( ) -( ) +1 在 x∈[-3,2]上的值域是________. 4 2
解 析
2

温 馨 提 醒

1t (1)设 t=x +2x-1,则 y=( ) . 2 1t 2 因为 t=(x+1) -2≥-2,y=(2) 为关于 t 的减函数, 1 t 1 -2 所以 0<y=(2) ≤(2) =4, 故所求函数的值域为(0,4].

题型分类·深度剖析
思想与方法系列3 换元法解决与指数函数有关的值域问题 1 x 2 ? 2 x ?1 典例:(10 分)(1)函数 y=( ) 的值域是 ( C ) 2
A.(-∞,4) C.(0,4] B.(0,+∞) D.[4,+∞)

3 1x 1x [ (2)函数 y=( ) -( ) +1 在 x∈[-3,2]上的值域是________ 4,57] . 4 2
解 析 温 馨 提 醒

1x 1 (2)因为 x∈[-3,2],若令 t=( ) ,则 t∈[ ,8]. 2 4 12 3 2 则 y=t -t+1=(t-2) +4. 1 3 当 t=2时,ymin=4;当 t=8 时,ymax=57. 3 ∴所求函数值域为[4,57].

题型分类·深度剖析
思想与方法系列3 换元法解决与指数函数有关的值域问题 1 x 2 ? 2 x ?1 典例:(10 分)(1)函数 y=( ) 的值域是 ( C ) 2
A.(-∞,4) C.(0,4] B.(0,+∞) D.[4,+∞)

3 1x 1x [ (2)函数 y=( ) -( ) +1 在 x∈[-3,2]上的值域是________ 4,57] . 4 2
解 析
温 馨 提 醒

和指数函数有关的值域或最值问题,通常利用换元法,将其转化 为两个基本初等函数的单调性或值域问题,注意换元过程中 “元”的取值范围的变化.

思想方法·感悟提高

1.判断指数函数图象上底数大小的问题,可以先通过令

方 法 与 技 巧

x=1 得到底数的值再进行比较.

2.指数函数 y=ax (a>0,a≠1)的性质和 a 的取值有关, 一定要分清 a>1 与 0<a<1.

3.对和复合函数有关的问题,要弄清复合函数由哪些基 本初等函数复合而成.

思想方法·感悟提高

1.恒成立问题一般与函数最值有关,要与方程有解区

失 误 与 防 范

别开来.
2.复合函数的问题,一定要注意函数的定义域.
3.对可化为 a2x+b· ax+c=0 或 a2x+b· ax+c≥0 (≤0) 形式的方程或不等式,常借助换元法解决,但应注 意换元后“新元”的范围.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

1.函数 y=ax-a(a>0,且 a≠1)的图象可能是

( C )

解析

当 x=1 时,y=0,故函数 y=ax-a(a>0,且 a≠1)的图

象必过点(1,0),显然只有 C 符合.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

5- 1 2.已知 a= ,函数 f(x)=ax,若实数 m、n 满足 f(m)>f(n), 2 则 m、n 的关系为 A.m+n<0 C.m>n
解析

( D ) B.m+n>0 D.m<n

5-1 5-1 x x ∵0< 2 <1,∴f(x)=a =( 2 ) ,

且 f(x)在 R 上单调递减,
又∵f(m)>f(n),∴m<n,故选 D.

练出高分
1 2 3
|2x-4|

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

3.若函数 f(x)=a 减区间是 A.(-∞,2]

1 (a>0,a≠1),满足 f(1)= ,则 f(x)的单调递 9 ( B ) B.[2,+∞) D.(-∞,-2]

C.[-2,+∞)

1 1 2 解析 由 f(1)=9得 a =9, 1 1 1 |2x-4| ∴a=3(a=-3舍去),即 f(x)=(3) .
由于 y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,

所以 f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.故选 B.

练出高分
1 2 3

A组
4
x

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

1 4.若存在负实数使得方程 2 -a= 成立,则实数 a 的取值 x-1 范围是 A.(2,+∞) C.(0,2) B.(0,+∞) D.(0,1) ( C )

解析

在同一坐标系内分别作 1 出函数 y= 和 y=2x-a 的图 x-1 象知,当 a∈(0,2)时符合要求.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

5.已知实数 a,b 满足等式 2 014a=2 015b,下列五个关系式: ①0<b<a ;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a= b.其中不可 能成立的关系式有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 ( B ) D.4 个

解析

设 2 014a=2 015b=t,如图所示,由函数图象,可得

(1)若 t>1,则有 a>b>0; (2)若 t=1,则有 a=b=0; (3)若 0<t<1,则有 a<b<0. 故①②⑤可能成立,而③④不可能成立.

练出高分
1 2
? 1 2

A组
3 4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

6.(0.002)

-19 -10( 5-2) 1+( 2- 3)0=________.


解析

1 ?2 10 原式=(500) - +1 5-2
=500
? 1 2

1

-10( 5+2)+1

=10 5-10 5-20+1=-19.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

7.若指数函数 y=ax 在[-1,1]上的最大值与最小值的差是 1, 5± 1 则底数 a=________. 2

解析
2

若 0<a<1,则 a-1-a=1,

-1+ 5 -1- 5 即 a +a-1=0,解得 a= 或 a= (舍去). 2 2
若 a>1,则 a-a 1=1,即 a2-a-1=0,


1+ 5 1- 5 解得 a= 2 或 a= 2 (舍去). 5± 1 综上所述 a= 2 .

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
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8.若函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a

(1,+∞) . 的取值范围是___________

解析

令 ax-x-a=0 即 ax=x+a,

若 0<a<1,显然 y=ax 与 y=x+a 的 图象只有一个公共点;

若 a>1,y=ax 与 y=x+a 的图象如 图所示有两个公共点.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
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9.已知函数 f(x)=b· ax(其中 a,b 为常量且 a>0,a≠1)的图 象经过点 A(1,6),B(3,24). (1)试确定 f(x); 1x 1x (2)若不等式(a) +(b) -m≥0 在 x∈(-∞,1]上恒成立, 求实数 m 的取值范围.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
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(1)∵f(x)=b· ax 的图象过点 A(1,6),B(3,24),
① ②

? a=6, ?b· ? ∴ 3 ? b · a =24, ?
2

x ∴ f ( x ) = 3· 2 . ②÷ ①得 a =4,又 a>0 且 a≠1,∴a=2,b=3,

1x 1x 1x (2)由(1)知(a) +(b) -m≥0 在(-∞,1]上恒成立化为 m≤(2) 1x +(3) 在(-∞,1]上恒成立. 1x 1x 令 g(x)=(2) +(3) ,则 g(x)在(-∞,1]上单调递减, 1 1 5 5 ∴m≤g(x)min=g(1)=2+3=6, 故所求实数 m 的取值范围是(-∞,6].

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

10.设 a>0 且 a≠1,函数 y=a2x+2ax-1 在[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
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10.设 a>0 且 a≠1,函数 y=a2x+2ax-1 在[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值.
解 令 t=ax (a>0 且 a≠1),
则原函数化为 y=(t+1)2-2 (t>0).
①当 0<a<1 时,x∈[-1,1],t=a
此时
? 1? f(t)在?a,a?上为增函数. ? ?
x

? 1? ∈?a,a?, ? ?

?1? ?1 ? 所以 f(t)max=f?a?=?a+1?2-2=14. ? ? ? ? ?1 ? 1 1 2 ? ? 所以 a+1 =16,所以 a=-5或 a=3. ? ?

练出高分
1 2 3

A组
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专项基础训练
5 6 7 8 9 10

10.设 a>0 且 a≠1,函数 y=a2x+2ax-1 在[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值.
1 又因为 a>0,所以 a=3.

②当 a>1 时,x∈[-1,1],t=a
此时
?1 ? f(t)在?a,a?上为增函数. ? ?

x

?1 ? ∈?a,a?, ? ?

所以 f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,
1 解得 a=3(a=-5 舍去).综上得 a=3或 3.

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

1 ? ? ?x>0?, x 1.设函数 f(x)=? 若 F(x)=f(x)+x,x∈R,则 F(x) x ? ?e ?x≤0?, 的值域为 A.(-∞,1] C.(-∞,1]∪[2,+∞) B.[2,+∞) D.(-∞,1)∪(2,+∞) ( C )

1 解析 当 x>0 时,F(x)=x+x≥2;
当 x≤0 时,F(x)=ex+x,根据指数函数与一次函数的单调性, F(x)是单调递增函数,F(x)≤F(0)=1,

所以 F(x)的值域为(-∞,1]∪[2,+∞).

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

2.若关于 x 的方程|ax-1|=2a (a>0 且 a≠1)有两个不等实根, 则 a 的取值范围是 A.(0,1)∪(1,+∞) C.(1,+∞)
解析

( B.(0,1) ? 1? ? D.?0,2? ? ? ?

)

方程|ax-1|=2a (a>0 且 a≠1)有两个实数根转化为函数 y=

|ax-1|与 y=2a 有两个交点.
①当 0<a<1 时,如图(1), 1 ∴0<2a<1,即 0<a<2.

图(1)

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

2.若关于 x 的方程|ax-1|=2a (a>0 且 a≠1)有两个不等实根, 则 a 的取值范围是 A.(0,1)∪(1,+∞) C.(1,+∞) B.(0,1) ? 1? ? D.?0,2? ? ? ? ( D )

②当 a>1 时,如图(2),而 y=2a>1 不符合要求.
1 综上,0<a<2.
图(2)

练出高分
1

B组
2

专项能力提升
3 4 5

3. 关于 x

?3? 2+3a x 的方程?2? = 有负数根, 则实数 5- a ? ?

a 的取值范围为

? 2 3? ?- , ? ? 3 4? __________ .

解析

由题意,得 x<0,所以

?3? 0<?2?x<1, ? ?

2+3a 2 3 从而 0< <1,解得-3<a<4. 5-a

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1

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2

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3 4 5

1 1 3 4.已知 f(x)=( x + )x (a>0 且 a≠1). a -1 2 (1)讨论 f(x)的奇偶性; (2)求 a 的取值范围,使 f(x)>0 在定义域上恒成立.
解 (1)由于 ax-1≠0,则 ax≠1,得 x≠0,

所以函数 f(x)的定义域为{x|x∈R,且 x≠0}.
对于定义域内的任意 x,
1 1 有 f(-x)=( -x +2)(-x)3 a -1 x 1 1 1 1 1 3 a 3 3 =( + )( - x ) = ( - 1 - + )( - x ) = ( + )x =f(x). 1-ax 2 ax-1 2 ax-1 2

∴f(x)是偶函数.

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1

B组
2

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3 4 5

1 1 3 4.已知 f(x)=( x + )x (a>0 且 a≠1). a -1 2 (1)讨论 f(x)的奇偶性; (2)求 a 的取值范围,使 f(x)>0 在定义域上恒成立.
(2)方法一 当 a>1 时,对 x>0,由指数函数的性质知 ax>1,
1 1 ∴ax-1>0, x +2>0. a -1
又 x>0 时,x3>0,
1 1 ∴x3( x +2)>0,即当 x>0 时,f(x)>0. a -1

又由(1)知,f(x)为偶函数,故 f(-x)=f(x),

练出高分
1

B组
2

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3 4 5

1 1 3 4.已知 f(x)=( x + )x (a>0 且 a≠1). a -1 2 (1)讨论 f(x)的奇偶性; (2)求 a 的取值范围,使 f(x)>0 在定义域上恒成立.
当 x<0 时,-x>0,有 f(x)=f(-x)>0.
综上知当 a>1 时,f(x)>0 在定义域内恒成立.
?ax+1?x3 当 0<a<1 时,f(x)= . 2?ax-1?

当 x>0 时,1>ax>0,ax+1>0,
ax-1<0,x3>0,此时 f(x)<0,不满足题意; 又 f(x)为偶函数,所以当 x<0 时,

练出高分
1

B组
2

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3 4 5

1 1 3 4.已知 f(x)=( x + )x (a>0 且 a≠1). a -1 2 (1)讨论 f(x)的奇偶性; (2)求 a 的取值范围,使 f(x)>0 在定义域上恒成立.
-x>0,f(x)=f(-x)<0,也不满足题意.
综上可知,a 的取值范围是 a>1.
方法二 由(1)知 f(x)为偶函数,

∴只需讨论 x>0 时的情况.
1 1 3 当 x>0 时,要使 f(x)>0,即( x + )x >0, a -1 2

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1

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3 4 5

1 1 3 4.已知 f(x)=( x + )x (a>0 且 a≠1). a -1 2 (1)讨论 f(x)的奇偶性; (2)求 a 的取值范围,使 f(x)>0 在定义域上恒成立.
ax+1 1 1 即 x + >0,即 x >0, a -1 2 2?a -1?

即 ax-1>0,ax>1,ax>a0.
又∵x>0,∴a>1.

∴当 a>1 时,f(x)>0.

故 a 的取值范围是 a>1.

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1

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2

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5.已知定义在实数集 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 2,且 2x 当散 x∈(0,1)时,f(x)= x . 4 +1 (1)求函数 f(x)在(-1,1)上的解析式; (2)判断 f(x)在(0,1)上的单调性; (3)当 λ 取何值时,方程 f(x)=λ 在(-1,1)上有实数解?

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1


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(1)∵f(x)是 x∈R 上的奇函数,∴f(0)=0.

设 x∈(-1,0),则-x∈(0,1),

2-x 2x f(-x)= -x = =-f(x), 4 +1 4x+1
2x ∴f(x)=- x , 4 +1

2x ? ?-4x+1, ? ∴f(x)=?0, ? 2x ? x , 4 + 1 ?

x∈?-1,0?, x=0, x∈?0,1?.

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1


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(2)设 0<x1<x2<1,

f(x1)-f(x2)=

(2 x1 ? 2 x2 ) ? (2 x1 ? 2 x2 ? 2 x2 ? 2 x1 ) (4 x1 ? 1)(4 x2 ? 1)


(2 x1 ? 2 x2 )(1 ? 2 x1 ? x2 ) = (4 x1 ? 1)(4 x2 ? 1)
∵0<x1<x2<1,∴2
x1

<2

x2

,2

x1 ? x2

>20=1,

∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x)在(0,1)上为减函数.
(3)∵f(x)在(0,1)上为减函数,
21 20 2 1 ∴ 1 <f(x)< 0 ,即 f(x)∈(5,2). 4 +1 4 +1

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1

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1 2 同理,f(x)在(-1,0)上时,f(x)∈(- ,- ). 2 5
1 2 2 1 又 f(0)=0,当 λ∈(-2,-5)∪(5,2),
或 λ=0 时,方程 f(x)=λ 在 x∈(-1,1)上有实数解.


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