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高中数学第一章计数原理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质习题新人教A版选修2_3

第一章 1.3 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

A 级 基础巩固

一、选择题

1.若(3 x- 1 )n 的展开式中各项系数之和为 256,则展开式的常数项是( C ) x

A.第 3 项

B.第 4 项

C.第 5 项

D.第 6 项

[解析] 令 x=1,得出(3 x- 1 )n 的展开式中各项系数和为(3-1)n=256,解得 n=8; x

∴(3 x- 1 )8 的展开式通项公式为: x

Tr+1=Cr8·(3 x)8-r·(- 1x)r=(-1)r·38-r·Cr8·x4-r,

令 4-r=0,解得 r=4.

∴展开式的常数项是 Tr+1=T5,即第 5 项.故选 C.

2.若 9n+C1n+1·9n-1+…+Cnn- +11·9+Cnn+1是 11 的倍数,则自然数 n 为( A )

A.奇数

B.偶数

C.3 的倍数

D.被 3 除余 1 的数

[解析] 9n+C1n+1·9n-1+…+Cnn-+11·9+Cnn+1

=19(9n+1+C1n+19n+…+Cnn- +1192+Cnn+19+Cnn++11)-19

=19(9+1)n+1-19=19(10n+1-1)是 11 的倍数,

∴n+1 为偶数,∴n 为奇数.

3.(2018·黄浦区二模)二项式( x+ 1 )40 的展开式中,其中是有理项的项数共有 3x

(B)

A.4 项

B.7 项

C.5 项

D.6 项

[解析] 二项式( x+ 1 )40 的展开式的通项为 3x

Tr+1=Cr40·(

x)40-r·( 31x)r=Cr40·x1206-5r.

∵0≤r≤40,且 r∈N,

∴当 r=0、6、12、18、24、30、36 时,1206-5r∈Z.

∴二项式( x+ 1 )40 的展开式中,其中是有理项的项数共有 7 项. 3x

故选 B.

4.若 a 为正实数,且(ax-1x)2016 的展开式中各项系数的和为 1,则该展开式第 2016 项

为( D )

1 A.x2016

1 B.-x2016

4032 C. x2014

4032 D.- x2014

[解析]由条件知,(a-1)2016=1,∴a-1=±1,

∵a 为正实数,∴a=2.

∴展开式的第 2016 项为:

T2016=C22001156·(2x)·(-1x)2015

=-2C12016·x-2014=-4032x-2014,故选 D.

5.若二项式(2x+ax)7

1 的展开式中x3的系数是

84,则实数

a=(

C

)

A.2

B.5 4

C.1

D.

2 4

[解析] 二项式(2x+ax)7 的通项公式为 Tr+1=Cr7(2x)7-r(ax)r=Cr727-rarx7-2r,令 7-2r=-

3,得 r=5.故展开式中x13的系数是 C5722a5=84,解得 a=1. 6.(2016·南安高二检测)233 除以 9 的余数是( A )

A.8

B.4

C.2

D.1

[解析] 233=(23)11=(9-1)11=911-C111910+C21199+…+C11019-1=9(910-C11199+…+C1101-

1)+8,

∴233 除以 9 的余数是 8.故选 A. 二、填空题
7.若???x2+x13???n 展开式的各项系数之和为 32,则 n=__5__,其展开式中的常数项为
__10__(用数字作答).
[解析] 令 x=1,得 2n=32,得 n=5,则 Tr+1=Cr5·(x2)5-r·???x13???r=Cr5·x10-5r,令 10 -5r=0,r=2.故常数项为 T3=10.
8.已知(x-ax)8 展开式中常数项为 1120,其中实数 a 是常数,则展开式中各项系数的 和是__1 或 38__.
[解析] Tr+1=Cr8x8-r(-ax)r =(-a)r·Cr8·x8-2r,令 8-2r=0 得 r=4, 由条件知,a4C48=1120,∴a=±2, 令 x=1 得展开式各项系数的和为 1 或 38. 9.在二项式( x+3x)n 的展开式中,各项系数之和为 A,各项二项式系数之和为 B,且 A +B=72,则 n=__3__. [解析] 由题意可知,B=2n,A=4n,由 A+B=72,得 4n+2n=72,∴2n=8,∴n=3. 三、解答题 10.设(1-2x)2017=a0+a1x+a2x2+…+a2017x2017(x∈R). (1)求 a0+a1+a2+…+a2017 的值; (2)求 a1+a3+a5+…+a2017 的值; (3)求|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2017|的值. [解析] (1)令 x=1,得: a0+a1+a2+…+a2017=(-1)2017=-1① (2)令 x=-1,得:a0-a1+a2-…-a2017=32017② ①-②得: 2(a1+a3+…+a2015+a2017)=-1-32017, ∴a1+a3+a5+…+a2017=-1+232017. (3)∵Tr+1=Cr2017·12017-r·(-2x)r =(-1)r·Cr2017·(2x)r, ∴a2k-1<0(k∈N*),a2k>0(k∈N*). ∴|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a2017|

=a0-a1+a2-a3+…+a2016-a2017 =32017.

B 级 素养提升

一、选择题

1.若 n 为正奇数,则 7n+C1n·7n-1+C2n·7n-2+…+Cnn-1·7 被 9 除所得的余数是( C )

A.0

B.2

C.7

D.8

[解析]







(7



1)n



C

n n



8n



1



(9



1)n



1



9n



C

1 n

·9n



1



C

2 n

·9n



2







Cnn-1·9(-1)n-1+(-1)n-1,n 为正奇数,(-1)n-1=-2=-9+7,则余数为 7.

2.(2016·上饶市高二检测)设函数 f(x)=(2x+a)n,其中 n=6∫π2 0cosxdx,

=-12,则 f(x)的展开式中 x4 的系数为( B )

A.-240 B.240 C.-60 D.60

[解析] ∵n=6∫π2 0cosxdx=6sinx|π2 0=6,

∴f(x)=(2x+a)6,

∴f′(x)=12(2x+a)5,

12a5



=-12,∴ a6 =-12,∴a=-1.

∴f(x)=(2x-1)6. 其展开式的通项 Tr+1=Cr6(2x)6-r(-1)r=(-1)rCr6·26-rx6-r, 令 6-r=4 得 r=2,∴f(x)展开式中 x4 的系数为(-1)2C26·24=240,故选 B. 二、填空题

3.观察下列等式: (1+x+x2)1=1+x+x2, (1+x+x2)2=1+2x+3x2+2x3+x4, (1+x+x2)3=1+3x+6x2+7x3+6x4+3x5+x6, (1+x+x2)4=1+4x+10x2+16x3+19x4+16x5+10x6+4x7+x8,

…… 由以上等式推测:对于 n∈N*,若(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,则 a2= n n+ __ 2 __.

[解析]

观察给出各展开式中

x2

的系数:1,3,6,10,据此可猜测

n a2=

n+ 2



4.设(3x-1)8=a8x8+a7x7+…+a1x+a0,则

(1)a8+a7+…+a1=__255__; (2)a8+a6+a4+a2+a0=__32896__. [解析] 令 x=0,得 a0=1. (1)令 x=1 得 (3-1)8=a8+a7+…+a1+a0,① ∴a8+a7+…+a2+a1=28-a0=256-1=255. (2)令 x=-1 得 (-3-1)8=a8-a7+a6-…-a1+a0.② ①+②得 28+48=2(a8+a6+a4+a2+a0), ∴a8+a6+a4+a2+a0=12(28+48)=32 896.

三、解答题 5.在(2x-3y)10 的展开式中,求:

(1)二项式系数的和;

(2)各项系数的和;

(3)x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和. [解析] 设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10,(*) 由于(*)是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和.

(1)二项式系数和为 C010+C110+…+C1100=210. (2)令 x=y=1,各项系数和为(2-3)10=(-1)10=1. (3)x 的奇次项系数和为 a1+a3+a5+…+a9=1-2510;

x 的偶次项系数和为 a0+a2+a4+…+a10=1+2510.

6.在二项式( x+ 1 )n 的展开式中,前三项系数成等差数列. 2x

(1)求展开式中的常数项;

(2)求展开式中系数最大的项.

[解析]

(1)二项式(

x+ 2

1

)n x

的展开式中,前三项系数分别为

nn 1,2,

n- 8



再根据前三项系数成等差数列,可得 n=1+n

n- 8

,求得 n=8 或 n=1(舍去).

故二项式(

x+ 2

1

)8 x

的展开式的通项公式为

Tr+1=Cr8·2-r·x4-r.

令 4-r=0,求得 r=4,可得展开式的常数项为 T5=C48·(12)4=385. (2)设第 r+1 项的系数最大,则由

??Cr8

1 2

r≥Cr8+1

1 r+1 2

? ??Cr8

1 2

r≥Cr8-1

1 r-1 2

,求得 2≤r≤3,

因为 r∈Z,所以 r=2 或 r=3,故第三项和第四项的系数最大,再利用通项公式可得系

数最大的项为 T3=7x2,T4=7x.

C 级 能力拔高

(2016·江苏卷)(1)求 7C36-4C47的值; (2)设 m,n∈N*,n≥m,求证:(m+1)Cmm+(m+2)Cmm+1+(m+3)Cmm+2+…+nCmn-1+(n+1)Cmn =(m+1)Cmn++22. [解析] (1)7C36-4C47=7×36××25××14-4×47××36××25××14=0.

(2)当 n=m 时,结论显然成立.当 n>m 时,

(k+1)Cmk=m!k+ k-mk!!=(m+1).

m+ !

k+ ! k+ - m+

!=(m+1)Cmk++11,k=m+1,m+2,…,n.

又 C +C =C , m+1

m+2

m+2

k+1

k+1

k+2

所以(k+1)Cmk=(m+1)(Cmk++22-Cmk++21),k=m+1,m+2,…,n.

因此,(m+1)Cmm+(m+2)Cmm+1+(m+3)Cmm+2+…+(n+1)Cmn

=(m+1)Cmm+[(m+2)Cmm+1+(m+3)Cmm+2+…+(n+1)Cmn]

=(m+1)Cmm++22+(m+1)[(Cmm++23-Cmm++22)+(Cmm++24-Cmm++23)+…+(Cmn++22-Cmn++21)]

=(m+1)Cmn++22.