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正切函数的性质与图象(1)教案


4-1.4.3 正切函数的性质与图象(1)教案
教学目的: 知识目标:1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象; 2.用正切函数图象解决函数有关的性质; 能力目标:1.理解并掌握作正切函数图象的方法; 2.理解用函数图象解决有关性质问题的方法; 德育目标:培养认真学习的精神; 教学重点:用单位圆中的正切线作正切函数图象; 教学难点:正切函数的性质。 授课类型:新授课 教学模式: 启发、诱导发现教学. 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 问题:正弦曲线是怎样画的? 正切线? 练习正切线,画出下列各角的正切线:

. 下面我们来作正切函数和余切函数的图象. 二、讲解新课:

1.正切函数

的定义域是什么?

2.正切函数是不是周期函数?







的一个周期。

是不是正切函数的最小正周期?下面作出正切函数图象来判断。

3.作



的图象

说明: (1)正切函数的最小正周期不能比 小,正切函数的最小正周期是 ; (2)根据正切函数的周期性,把上述图象向左、右扩展,得到正切函数

,且

的图象,称“正切曲线” 。

(3)由图象可以看出,正切曲线是由被相互平行的直线 无穷多支曲线组成的。 4.正切函数的性质 引导学生观察,共同获得:

所隔开的

(1)定义域: (2)值域:R 观察:当 从小于 ,



时,

当 从大于 (3)周期性: (4)奇偶性:由 ;



时,



知,正切函数是奇函数;

(5)单调性:在开区间

内,函数单调递增。

5.余切函数 y=cotx 的图象及其性质(要求学生了解) :

——即将 单位,再以 x 轴为对称轴上下翻折,即得 的图象

的图象, 向左平移



定义域: 值域:R,

当 周期: 奇偶性:奇函数 单调性:在区间 6.讲解范例:



,当



上函数单调递减

例 1 比较



的大小

解:





又:

内单调递增,

例 2 讨论函数

的性质

略解:定义域: 值域:R 奇偶性:非奇非偶函数

单调性:在

上是增函数

图象:可看作是

的图象向左平移

单位

例 3 求函数 y=tan2x 的定义域

解:由 2x≠kπ +

,(k∈Z)

得 x≠



,(k∈Z)

∴y=tan2x 的定义域为: {x|x∈R 且 x≠



,k∈Z}

例 4 观察正切曲线写出满足下列条件的 x 的值的范围:tanx>0

解:画出 y=tanx 在(-



)上的图象,不难看出在此区间上满足 tanx>0 的 x 的范围

为:0<x<

结合周期性,可知在 x∈R,且 x≠kπ +

上满足的 x 的取值范围为(kπ ,kπ +

)(k∈Z)

例 5 不通过求值,比较 tan135°与 tan138°的大小 解:∵90°<135°<138°<270° 又∵y=tanx 在 x∈(90°,270°)上是增函数 ∴tan135°<tan138° 三、巩固与练习 P.71.练习 2,3,6 求函数 y=tan2x 的定义域、值域和周期、并作出它在区间[-π,π]内的图象

解: (1)要使函数 y=tan2x 有意义,必须且只须 2x≠

+kπ,k∈Z

即 x≠



,k∈Z

∴函数 y=tan2x 的定义域为{x∈R|,x≠

,k∈Z}

(2)设t=2x,由 x≠

,k∈Z}知t≠



kπ,k∈Z
∴y=tant的值域为(-∞,+∞)

即 y=tan2x 的值域为(-∞,+∞)

(3)由 tan2(x+

)=tan(2x+π)=tan2x

∴y=tan2x 的周期为



(4)函数 y=tan2x 在区间[-π,π]的图象如图 四、小 结:本节课学习了以下内容:

1. 因为正切函数

的定义域是

,所以它的图象被

等相互平行的直线所隔开,而在相邻平行线间的图象是连续的。

2.作出正切函数的图象,也是先作出长度为一个周期(-π /2,π /2)的区间内的函数的图 象,然后再将它沿 x 轴向左或向右移动,每次移动的距离是π 个单位,就可以得到整个正切 函数的图象。 讨论函数的单调性应借助图象或相关的函数的单调性;形如 y = tan(ω x),x ≠

(k∈Z)的周期 T= 五、课后作业: 六、板书设计:

;注意正切函数的图象是由不连续的无数条曲线组成的


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