当前位置:首页 >> 数学 >>

上海市闵行区2013届高三一模数学答案(理科)


上海市闵行区 2013 届高三一模数学试题(理科) 参考答案与评分标准
说明: 1.本解答仅列出试题的一种或两种解法,如果考生的解法与所列解答不同,可参考解 答中的评分标准进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的 评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题 的内容和难度时, 可视影响程度决定后面部分的给分, 这时原则上不应超过后面部分应给分 数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分. ? 2 2 3 一、 第 1 题至第 14 题) 1. ? 2i ; ( 2. ?1,1) ; 3. ; 4. 2 ; 5. ; ( 6. 20 ; 或a ? 5, ;

1 , ; 3 2 12. , ; 3
7. ?

8. 5 ; 13. 15 , ; 15.A;

9. , ;

2 5

10.

2 ; 4

11. a ? 2

14. (?4, ?2) , . 16.B; 17.A; 18.D.

二、 (第 15 题至第 18 题) 三、 (第 19 题至第 23 题) 19. [解] (1) f ( x) ?

2sin x 3(sin x ? cos x) ? sin2 x ? 3cos2 x ? 2sin(2 x ? ? ) ?3 分 sin x ? cos x cos x 3 所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? ???????3 分 ? ? ? 2? ) ?????????2 分 (2) y ? f ( x ? ) ? 2sin[2( x ? ) ? ] ? 2sin(2 x ? 2 2 3 3
∵ x ?[0, ] ,∴ ?

?

2

2? 2? ? 2? 3 ? 2x ? ? , ?1 ? sin(2 x ? ) ? ????? 2 分 3 3 3 3 2
???????2 分

∴ y?[?2, 3] . 另解: y ? f ( x ?

?

) ? 2sin[2( x ? ) ? ] ? 2sin(2 x ? ? ? ) ? ?2sin(2 x ? ) ?2 分 2 2 3 3 3

?

?

?

?

∵ x ?[0, ] ,∴

?

?
3

2

? 2x ?

?
3

?

4? 3 ? ,? ? sin(2 x ? ) ? 1 ????????2 分 3 2 3
??????????2 分

∴ ?2 ? ?2sin(2 x ?

?
3

) ? 3 ,即 y?[?2, 3] .

20. [解](理) (1)由于学生的注意力指数不低于 80,即 y ? 80 当 0 ? x ? 8 时,由 2 x ? 68 ? 80 得 6 ? x ? 8 ; ????2 分

2 当 8 ? x ? 40 时,由 ? ( x ? 32 x ? 480) ? 80 得 8 ? x ? 16 ? 4 6 ;????2 分

1 8

所以 x ? ?6,16 ? 4 6 ? , 16 ? 4 6 ? 6 ? 10 ? 4 6 ? 20

?

?

故学生处于“理想听课状态”所持续的时间有 20 分钟.

?????3 分

(2)设教师上课后从第 t 分钟开始讲解这道题,由于 10 ? 4 6 ? 24 所以 t ??0,6? ??????????????????????2 分

要学生的注意力指数最低值达到最大,只需 f (t ) ? f (t ? 24) 即 2t ? 68 ? ? [(t ? 24) ? 32(t ? 24) ? 480] ???????????2 分
2

1 8

解得 t ? 8 6 ? 16 ? 4

???????????????2 分

所以,教师上课后从第 4 分钟开始讲解这道题,能使学生的注意力指数最低值达到最 大. ???????????????????????????1 分

21. [解](理) (1)设直线 l 的方程为 y ? x ? m ,

则有

|m| ? 3 ,得 m ? ? 6 2

??????????????3 分

又切点 Q 在 y 轴的右 侧,所以 m ? ? 6 ,???????????2 分 所以直线 l 的方程为 y ? x ? 6 ?????????????2 分
2 2

(2)因为 ?AOQ 为直角三角形,所以 | AQ |? OA ? OQ ?

x12 ? y12 ? 3



1 x12 y12 ? ? 1 得 | AQ |? x1 2 4 3


?????????????????2 分

| AF |? ( x1 ? 1) 2 ? y12

1 x12 y12 ? ? 1 得 | AF |? 2 ? x1 ?????2 分 2 4 3
?????2 分

所以 | AF | ? | AQ |? 2 ,同理可得 | BF | ? | BQ |? 2

所以 | AF | ? | AQ |? | BF | ? | BQ | ?????????????????1 分 22. [解](理) (1)令

1? x ? 0 ,解得 ?1 ? x ? 1 , D ? ? ?1,1? ?????2 分 1? x
?1

1? x ? 1? x ? ? 1? x ? 对任意 x ? D, f (? x) ? log a ? log a ? ? ? ? loga ? ? ? ? f ( x) 1? x ? 1? x ? ? 1? x ?
所以函数 f ( x ) 是奇函数. ?????????????????????2 分 另证:对任意 x ? D, f (? x) ? f ( x) ? log a

1? x ? 1? x ? ? log a ? ? ? log a 1 ? 0 1? x ? 1? x ?

所以函数 f ( x ) 是奇函数. (2)由

?????????????2 分

1? x 2 1? x ? ?1 ? 知,函数 g ( x ) ? 在 ? ?1,1? 上单调递减, 1? x x ?1 1? x

因为 0 ? a ? 1 ,所以 f ( x ) 在 ? ?1,1? 上是增函数 ?????????2 分 又因为 x ? (t , a) 时, f ( x ) 的值域是 ? ??,1? ,所以 (t , a) ? (?1,1) 且 g ( x) ?

1? x 在 (t , a ) 的值域是 (a, ??) , 1? x 1? a ? a 且 t ? ?1 (结合 g ( x) 图像易得 t ? ?1 )?????2 分 故 g (a) ? 1? a

a 2 ? a ? 1 ? a 解得 a ? 2 ? 1( ? 2 ? 1 舍去) .
所以 a ?

2 ? 1, t ? ?1

?????????????2 分

(3)假设存在 x3 ? (?1,1) 使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) 即 log a

1 ? x3 1 ? x1 1 ? x2 ? log a ? log a 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3

1 ? x3 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3 , log a ( ? ) ? log a ? ? ? 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3 1 ? x1 1 ? x2 1 ? x3
解得 x3 ?

x1 ? x2 , 1 ? x1 x2

????? ????????3 分
2

? x ?x ? x ? x2 ? (?1,1), 即证: 1 2 ? ? 1 . 下证: x3 ? 1 ? 1 ? x1 x2 ? 1 ? x1 x2 ?
2 2 2 ? x ? x2 ? ( x ? x )2 ? (1 ? x1 x2 )2 x12 ? x2 ? 1 ? x12 x2 (1 ? x12 )(1 ? x2 ) ?1 ? 1 2 ? ?? 证明: ? 1 ? (1 ? x1 x2 ) 2 (1 ? x1 x2 ) 2 (1 ? x1 x2 ) 2 ? 1 ? x1 x2 ? 2

? x1,x2 ? (?1, ,∴ 1 ? x12 ? 0, ? x22 ? 0 , (1 ? x1 x2 )2 ? 0 1) 1
? x ?x ? ? x ?x ? (1 ? x12 )(1 ? x2 2 ) ∴ ? 0 ,即 ? 1 2 ? ? 1 ? 0 ,∴ ? 1 2 ? ? 1 2 (1 ? x1 x2 ) ? 1 ? x1 x2 ? ? 1 ? x1 x2 ?
所以存在 x3 ?
2 2

x1 ? x2 ? (?1,1) ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) 1 ? x1 x2
2

?????3 分

? x ? x2 ? 2 2 2 2 另证:要证明 ? 1 ? ? 1 ,即证 ( x1 ? x2 ) ? (1 ? x1 x2 ) ,也即 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) ? 0 . ? 1 ? x1 x2 ?

? x1 , x2 ? (?1,1) ,∴ 1 ? x12 ? 0,1 ? x22 ? 0, ∴ (1 ? x12 )(1 ? x22 ) ? 0 ,
? x ? x2 ? ∴? 1 ? ? 1. ? 1 ? x1 x2 ?
所以存在 x3 ?
2

x1 ? x2 ? (?1,1) ,使得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x3 ) 1 ? x1 x2

?????3 分

2 2 23. [解](理) (1)∵ 4Sn ? an ? 2an ?1 ,∴当 n ? 2 时, 4Sn?1 ? an?1 ? 2an?1 ?1 . 2 2 两式相减得 4an ? an ? an?1 ? 2an ? 2an?1 ,

∴ (an ? an?1 )(an ? an?1 ? 2) ? 0 ∵ an ? 0 ,∴ an ? an?1 ? 2 ,
2 又 4S1 ? a1 ? 2a1 ?1 ,∴ a1 ? 1

??????????2 分

∴ {an } 是以 a1 ? 1为首项, d ? 2 为公差的等差数列. ?????????1 分 ∴ an ? 2n ?1 ???????????????1 分

(1 ? 2n ?1)n ? n2 , 2 2 2 2 ∴ Sm ? m , k ? k , p ? p S S
(2)由(1)知 S n ?
2 2 2

??????????2 分

1 1 2 1 1 2 k ( p ? m ) ? 2m2 p2 于是 ? ? ? ? ? ? S m S p S k m2 p 2 k 2 m2 p 2 k 2 m? p 2 2 ( ) ( p ? m 2 ) ? 2m 2 p 2 2 ? , ??????????2 分 m2 p 2k 2
mp ? 2 pm ? 2m2 p 2 ? ?0 m2 p 2 k 2 1 1 2 ∴ ? ? Sm S p Sk
(3 )结论成立,证明如下:

??????????2 分 ??????????1 分
[

设等差 数列 {an } 的首项为 a1 ,公差为 d ,则 S n ? na1 ? 于是 S m ? S p ? 2S k ? ma1 ?

m(m ?1) p( p ?1) d ? pa1 ? d ? [2ka1 ? k (k ? 1)d ] 2 2 m2 ? p 2 ? m ? p ? (m ? p)a1 ? d ? (2ka1 ? k 2 d ? kd ) ?????????2 分 2 (m ? p) 2 d ?0, 将 m ? p ? 2k 代入得, Sm ? S p ? 2Sk ? 4 ∴ Sm ? S p ? 2Sk ??????????2 分
又 Sm S p ?

n(a1 ? an ) n(n ?1) d? 2 2

mp(a1 ? am )(a1 ? a p ) 4

?

mp[a12 ? (am ? a p )a1 ? am a p ] 4

a ?a m? p 2 2 ) [a1 ? 2a1ak ? ( m p )2 ] 2 ? 2 4 2 k 2 (a12 ? 2a1ak ? ak ) k 2 (a1 ? ak )2 ? ? ? Sk2 4 4 Sm ? S p 2Sk 2 1 1 ∴ ? ? ? 2 ? . Sm S p Sm S p Sk Sk (

??????????2 分 ??????????1 分


赞助商链接
相关文章:
上海市闵行区2017届高三一模数学试卷(含答案)
上海市闵行区2017届高三一模数学试卷(含答案) - 闵行区 2016 学年第一学期高三年级质量调研考试 数学试卷 (满分 150 分,时间 120 分钟) 考生注意: 1.答卷前,...
上海闵行区2012届高三一模数学(理)试题及答案
上海闵行区2012届高三一模数学(理)试题及答案_数学_高中教育_教育专区。闵行区 2011 学年第一学期高三年级质量调研考试 数学试卷(理科) 一. 填空题(本大题满分 ...
闵行区2014年高三数学理科一模试卷_图文
闵行区2014年高三数学理科一模试卷_高三数学_数学_高中教育_教育专区。闵行区2014年高三数学理科一模试卷,word版含答案 闵行区 2014 学年第一学期高三年级质量调研...
2017年上海市闵行区高考数学一模试卷(含答案)
2017年上海市闵行区高考数学一模试卷(含答案) - 上海市闵行区 2017 届高三一模数学试卷 2016.12 一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题...
上海市闵行区2016届高考数学一模试卷(理科)(解析版)
上海市闵行区2016届高考数学一模试卷(理科)(解析版) - 2016 上海市闵行区高考数学一模试卷(理科) 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在...
2018年上海市闵行区高考数学一模试卷及答案
2018年上海市闵行区高考数学一模试卷及答案 - 2018 年上海市闵行区高考数学一模试卷 一.填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54...
2013届闵行区初三数学一模试卷及答案
2013届闵行区初三数学一模试卷及答案_数学_初中教育_教育专区。1 / 11 2 / ...2013届闸北区初三英语一... 2013届闵行区初三英语一... 2013届闸北区高三政治...
2015年上海市闵行区高考数学一模试卷(理科)含解析答案
2015年上海市闵行区高考数学一模试卷(理科)含解析答案_数学_高中教育_教育专区。...上海) 若圆锥的侧面积为 2π, 底面面积为 π, 则该圆锥的体积为 . 【...
2018年上海市闵行区高考数学一模试卷
2018年上海市闵行区高考数学一模试卷 - 2018 年上海市闵行区高考数学一模试卷 一.填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分) ...
2018届闵行区高三一模数学Word版(附解析)
2018届闵行区高三一模数学Word版(附解析)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2018届闵行区高三一模数学Word版 上海市闵行区 2018 届高三一模数学试卷 2017.12 一....
更多相关标签: