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2014届高考数学一轮专题复习 高效测试41 直线与圆、圆与圆的位置关系 新人教A版


高效测试 41:直线与圆、圆与圆的位置关系
一、选择题 1.点 M(x0,y0)是圆 x2+y2=a2(a>0)内不为圆心的一点,则直线 x0x+y0y=a2 与该圆的 位置关系是( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交 a2 解析:由已知 得 x2 0+y2 0<a2,且 x2 0+y2 0≠0,又∵圆心到直线的距离 d= >a, x2 0+y2 0 ∴直线与圆相离. 答案:C 2.设两圆 C1、C2 都和两坐标轴相切,且都过点(4,1),则两圆心的距离|C1C2|=(

)

A.4 B.4 2 C.8 D.8 2 解析:依题意,可设圆心坐标为(a,a)、半径为 r,其中 r=a>0,因此 圆方程是(x-a)2 +(y-a)2=a2,由圆过点(4,1)得(4-a)2+(1-a)2=a2,即 a2-10a+17=0,则该方程 的两根分别是圆心 C1,C2 的横坐标,|C1C2|= 2× 102-4×17=8,选 C. 答案:C 3.若 a、b、c 是直角三角形的三边(c 为斜边),则圆 x2+y2=2 截直线 ax+by+c=0 所得 的弦长等于( ) A.1 B.2 C. 3 D.2 3 答案:B 4.若圆 x 2+y2-4x-4y-10=0 上至多有三个不同点到直线 l:ax+by=0 的距离为 2 2, 则直线 l 的斜率的取值范围是( ) A.(-∞,2- 3] B.[2+ 3,+∞) C.(-∞,2- 3]∪[2+ 3,+∞) D.[2- 3,2+ 3] 答案: C 5.直线 xsinθ +ycosθ =2+sinθ 与圆(x-1)2+y2=4 的位置关系是( ) A.相离 B.相切 C.相交 D.以上都有可能 答案:B 6.已知圆 x2+y2+x-6y+3=0 上的两点 P、Q 关于直线 kx-y+4=0 对称,且 OP⊥OQ(O 为坐标原点),则直线 PQ 的方程为( ) 1 3 A.y=- x+ 2 2 1 3 1 5 B.y=- x+ 或 y=- x+ 2 2 2 4 1 1 C.y=- x+ 2 4 1 1 1 5 D.y=- x+ 或 y=- x+ 2 2 2 4

1

1 解析:由 P、Q 关于直线 kx-y+4=0 对称知直线 kx-y+4=0 过已知圆的圆心(- ,3), 2 1 则 k=2,直线 PQ 的斜率 kPQ=- . 2 1 设直线 PQ 的方程为 y=- x+b,P(x1,y1)、Q(x2,y2),则 P、Q 两点的坐标是方程组 2 1 ? ?y=- x+b 2 ? ? ?x2+y2+x-6y+3=0

的解,

5 4? 消去 y 得 x2+(4-b)x+b2-6b+3=0,故 x1+x2=- 4 4? x1x2= b2-6b+3? , ② 5

4-b? 5

, ①

1 1 由 OP⊥OQ? x1x2+y1y2 =0? x1x2+(- x1+b)·(- x2+b)=0, 2 2 5 b x1x2- (x1+x2)+b2=0, 4 2 3 5 将①,②代入得 b= 或 b= . 2 4 1 3 1 5 所以直线 PQ 的方程为 y=- x+ 或 y=- x+ .故选 B. 2 2 2 4 答案:B 二、填空题 7.已知圆心在 x 轴上,半径为 2的圆 O 位于 y 轴左侧,且与直线 x+y=0 相切,则圆 O 的 方程是__________. |a| 解析:设圆心为(a, 0)(a<0),则 = 2,解得 a=-2, 2 故圆 O 的方程为(x+2)2+y2=2. 答案:(x+2)2+y2=2 8.过原点的直线与圆 x2+y2-2x-4y+4=0 相交所得弦的长为 2,则该直线的方程为 __________. 解析:设所求直线方程为 y=kx,即 kx-y=0.由于直线 kx-y=0 被圆截得的弦长等于 2, 圆的半径是 1,因此圆心到直线的距离等于 12-? 2 ? 2=0,即圆心位于直线 kx-y=0 2

上.于是有 k-2=0,即 k=2,因此所求直线方程是 2x-y=0. 答案:2x-y=0 9.若⊙O:x2+y2=5 与⊙O1:(x-m)2+y2=20(m∈R)相交于 A、B 两点,且两圆在点 A 处 的切线互相垂直,则线段 AB 的长度是__________. 1 |AB| 解析:依题意得|OO1|= 5+20=5,且△OO1A 是直角三角形,S△OO1A= · ·|OO1| 2 2 1 2·|OA|·|AO1| 2× 5×2 5 = ·|OA|·|AO1|,因此|AB|= = =4. 2 |OO1| 5 答案:4

2

三、解答题 10.根据下列条件求圆的方程: (1)经过坐标原点和点 P(1,1),并且圆心在直线 2x+3y+1=0 上; (2)已知一圆过 P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 3. 解析:(1)显然,所求圆的圆心在 OP 的垂直 平分线上,OP 的垂 直平分线方程为 x+y-1= 0.
? ?x+y-1=0, 解方程组? ?2x+3y+1=0, ?

得圆心 C 的坐标为(4,-3).

又因为圆的半径 r=|OC|=5,所以所求圆的方程为(x-4)2+(y+3)2=25. (2)设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,① 将 P,Q 点的坐标分别代入①,得
?4D-2E+F=-20, ? ? ? ?D-3E-F=10. ③



令 x=0,由①得 y2+Ey+F=0,④ 由已知|y1-y2|=4 3,其中 y1、y2 是方程④的两根, 所以( y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48.⑤ 解②③⑤组成的方程组,得 D=-2,E=0,F=-12,或 D=-10,E=-8,F=4, 故所求圆的方程为 x2+y2-2x-12=0,或 x2+y2-10x-8y+4=0. 11.已知 m∈R,直 线 l?mx-(m2+1)y=4m 和圆 C? x2+y2-8x+4y+16=0. (1)求直线 l 斜率的取值范围; 1 (2)直线 l 能否将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段圆弧?为什么? 2 m 4m 解析:(1)直线 l 的方程可化为 y= x- , m2+1 m2+1 m 直线 l 的斜率 k= , m2+1 1 因为|m|≤ (m2+1), 2 |m| 1 所以|k|= ≤ , m2+1 2 当且仅当|m|=1 时等号成立. 1 1 所以,斜率 k 的取值范围是[- , ]. 2 2 (2)不能. 由(1)知 l 的方程为 1 y=k(x-4),其中|k|≤ . 2 圆 C 的圆心为 C(4,-2),半径 r=2. 圆心 C 到直线 l 的距离为

3

d=

. 1+k2 1 4 由|k|≤ ,得 d≥ >1, 2 5 r 即 d> . 2 2π 从而,若 l 与圆 C 相交,则圆 C 截直线 l 所得的弦所对的圆心角小于 . 3 1 所以 l 不能将圆 C 分割成弧长的比值为 的两段弧. 2 12.已知直线 l:y=x+m,m∈R. (1)若以点 M(2,0)为圆心的圆与直线 l 相切于点 P,且点 P 在 y 轴上,求该圆的方程; (2)若直线 l 关于 x 轴对称的直线为 l′, 问直线 l′与抛物线 C: x2=4y 是否相切?说明理 由. 解析:方法一:(1)依题意,点 P 的坐标为(0,m). 0-m 因为 MP⊥l,所以 ×1=-1, 2-0 解得 m=2,即点 P 的坐标为(0,2). 从而圆的半径 r=|MP|= ? 2-0? 2+? 0-2? 2=2 2, 故所求圆的方程为(x-2)2 +y2=8.

2

(2)因为直线 l 的方程为 y =x+m, 所以直线 l′的方程为 y=-x-m.
? ?y=-x-m, 由? ?x2=4y ?

得 x2+4x+4m=0. Δ =42-4×4m=16(1-m). (1)当 m=1,即 Δ =0 时,直线 l′与抛物线 C 相切; (2)当 m≠1,即 Δ ≠0 时,直线 l′与抛物线 C 不相切. 综上,当 m=1 时,直线 l′与抛物线 C 相切;当 m≠1 时,直线 l′与抛物线 C 不相切. 方法二:(1)设所求圆的半径为 r,则圆的方程可设为(x-2)2+y2=r2. 4+m2=r2, ? ? 依题意,所求圆与直线 l:x-y+m=0 相切于点 P(0,m),则?|2-0+m| =r ? 2 ?

,解得

?m=2, ? ?r=2 2.

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所以所求圆的方程为(x-2)2+y2=8. (2)同方法一.

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