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2015年汕头市普通高考第一次模拟考试试题及答案(理科数学)2015.3.7


2015届高三一模理科数学参考答案 参考答案
一、选择题 CDACA DCB 2、解析 :由 题 意 全 集 U={ 1, 2, 3, 4, 5, 6 M= }, 又 CU M ? N ∴ CU M

{1, ,4} N =

观察 6} = CU ( M N ) , {2, , 3}知 ,集 合 {5,

(

) ( C M ) ( C N)
U U U

(

6} . 故 选 D . ) ( C N) ={5,

4 、解析 :对 于 命题 p : ? x ? R, x ? 2 ? lg x,例如当 x ? 10 时成立,故命题

p 是真命题;对于命题

q : ?x ? R, e x ? 1 ,当 x ? 0 时命题不成立,故命题 q 是假命题;所以命题 p ? (?q) 是真命题.故选C.
6、解析:因为 n ? ? , m ? ? ? n / / m
n ? ? , n ? ? ?? / / ? m ? ? ,? m ? ? 所以

n ? ? , n ? ? , m ? ? 是 m ? ? 的充分条件.
8. 【解析】甲地肯定进入,因为众数为 22,所以 22 至少出现两次,若有一天低于 22 0C,则中位数不可 能为 24;丙地肯定进入, 10.8 ? 5 ? (32 ? 26)2 ? 18 ? ( x ? 26)2 ,若 x ? 21 ,上式显然不成立.乙地不一 定进入,如 13,23,27,28,29. 二、填空题: 9、 51 10、 y ? -2 ,z? -3 . 11、 80
?

12、 (?? , )

3 2

13、 [?1,2]

14、 ? ? ?4 cos? 三、解答题

15、 ?DAC ? 36

16、解:(1) f (2015? ) ? 2 sin( 2015? ?

?
6

) ? ?2 sin

?
6

? ?2 ?

1 ? ?1 ……(3分) 2

(2)函数 f ( x) 是非奇非偶函数(既不是奇函数也不是偶函数)……(4分) 取x ?

?
6

,则 f ( ?

?
6

) ? 2 sin( ?

?
6

?

?
6

)?0

f ( ) ? 2 sin( ? ) ? 2 sin ? 3 6 6 6 3

?

?

?

?

显然 f ( ?

?

) ? f ( ) , f (? ) ? ? f ( ) 6 6 6 6

?

?

?

所以函数 f ( x) 是非奇非偶函数。(否定一件事情,最好用特殊值法)……(6分)

(3) ?

sin 3? sin(2? ? ? ) ? sin ? sin ? sin 2? cos? ? cos 2? sin ? ? ........( 7分) sin ? 2 sin ? cos2 ? ? (2 cos2 ? ? 1) sin ? ? .....(8 分) sin ? 1 ? 4 cos2 ? ? 1 ? .......(9 分) 3

? ?0 ? ? 为第四象限的角 ? c o s

?c o ? s ?

3 ……(10分) 3 2 3 ……(12分) 3

? f (? ?

?
3

) ? 2 sin(? ?

?
3

?

?
6

) ? 2 sin(? ?

?
2

) ? 2 cos? ?

17、解: (1) 成绩性别 男生 女生 总计 优秀 13 7 20 不优秀 10 20 30 总计 23 27 50 -----------------(4 分) (2)由(1)中表格的数据知, K2=
2

50 ? ?13 ? 20 ? 7 ?10 ? ≈4.844. ---------(6 分) 20 ? 30 ? 27 ? 23

∵K2≈4.844≥3.841,∴有 95%的把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系.-----(8 分) (3)成绩在 ?130,140? 的学生中男生 50 ? 0.008 ? 10 ? 4 人, 女生有 50 ? 0.004 ? 10 ? 2 人,--------------(9 分)
2 从 6 名学生中任取 2 人,共有 C6 =15 种选法,
2 若选取的都是男生,共有 C4 = 6 种选法;--------------------(10 分)

故所求事件的概率 p = 1 -

2 C4 3 = .-------------------------(12 分) 2 C6 5

【知识点】频率分布直方图; 2 × 2 列联表;独立性检验的基本思想;排列组合;概率. 18.解: (1)证明∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形, 俯视图为直角梯形,∴ BA, BC, BB1 两两垂直。 且 BC ? 4, BA ? 4, BB1 ? 8, AN ? 4 , ……………(3 分)

以 BA,BB1 ,BC 分别为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系,如图 则 N(4,4,0) ,B1(0, 8,0) ,C1(0,8,4) ,C(0,0,4) ∵ BN ? NB1 =(4,4,0)·(-4,4,0)=-16+16=0

BN ? B1C1 =(4,4,0)·(0,0,4)=0
∴BN⊥NB1,BN⊥B1C1 且 NB1 与 B1C1 相交于 B1, ∴BN⊥平面 C1B1N; -----------------(5 分)

(2)设 n2 ? ( x, y, z ) 为平面 NCB1 的一个法向量, 则?

? ?n2 ? CN ? 0

?( x, y, z ) ? (4, 4, ?4) ? 0 ?? ? ?n2 ? NB1 ? 0 ?( x, y, z ) ? (?4, 4, 0) ? 0

?x ? y ? z ? 0 ?? , 取n2 ? (1,1, 2), C1 N ? (4, ?4, ?4) ?? x ? y ? 0
则 sin ? ?|

(4, ?4, ?4) ? (1,1, 2) 2 |? ; 3 16 ? 16 ? 16 ? 1 ? 1 ? 4

-----------------(9 分)

(3)∵M(2,0,0) .设 P(0,0,a)为 BC 上一点, 则 MP ? (?2,0, a) , ∵MP//平面 CNB1, ∴ MP ? n2 ? MP ? n2 ? (?2,0, a) ? (1,1,2) ? ?2 ? 2a ? 0 ? a ? 1. 又 PM ? 平面CNB1 ,? MP // 平面CNB1 , ∴当 PB=1 时 MP//平面 CNB1

?

BP 1 ? ----------(14 分) PC 3

19、解: (1)由题意知: PF1 ? PF2 ? 4 ? F1 F2 ? 2 2 ……(1分) 所以,由椭圆的定义可知:动点 P 运动的轨迹是: 以 F1 ,F2 为焦点,长轴长为 4,焦距为 2 2 的椭圆,且短半轴长为 2 2 ?

? 2?

2

? 2

x2 y2 ? ? 1 ……(4分) 所以轨迹 C 的方程为 4 2

(2)直线 AB 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 相切。……(5分) 证明如下:设点 A?m, n? , B?t ,2? ,显然其中 m ? 0 ,

因为 OA ? OB ,所以 OA ? OB ? 0 ,即 tm ? 2n ? 0 ,所以 t ? ?
①当直线 AB 的斜率不存在时,即 m ? t 时, n ? ?

2n ……(6分) m

t2 ,代入椭圆方程可得: 2

? t2 t ? 2?? ?? 2 ?
2

? ? ? ? 4 ,解得: t ? ? 2 , ?

2

此时直线 AB 的方程为 x ? 2 或 x ? ? 2 ,显然与圆 x 2 ? y 2 ? 2 相切。……(8分) ②当直线 AB 的斜率存在,即 m ? t 时,直线 AB 的方程为:
y?2? n?2 ( x ? t ) ,即 (n ? 2) x ? (m ? t ) y ? 2m ? tn ? 0 ……(9分) m?t

此时,圆心 O(0,0) 到直线 AB 的距离 d ? 又因为 m 2 ? 2n 2 ? 4 , t ? ?
2m ? tn (n ? 2) 2 ? (m ? t ) 2
2n m

2m ? tn ( n ? 2) 2 ? ( m ? t ) 2

……(10分)

所以 d ?

?
2 2

? 2n ? 2m ? ? ? ? ? n ? m? ? 2n ? ? 2n ? m ? n ? 4n ? 2m ? ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? m? ? m?
2m 2 ? 4 ? m 2 m
2

=

2m 2 ? 2n 2 m 4n 2 m ?n ? 2 ?4 m
2 2

=
m2 ?

4 ? m 2 8 ? 2m 2 ? ?4 2 m2

=

m2 ? 4 m m ? 8m ? 16 2m 2
4 2

? 2 ,所以,直线 AB 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 相切。

综上,直线 AB 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 相切。……(14分)
2 2 20、解:方法一: (I)当 n ≥ 2 时,由已知得 S n ? S n ?1 ? n an 2

因为 an ? Sn ? Sn?1 ? 0 ,所以 S n ? S n?1 ? n 2

…… ①…………………(1分)

当 n ? 2 时, S 2 ? S1 ? a2 ? 2a1 ? 4, a2 ? 4 …………………(2 分) 又 S n?1 ? S n ? (n ? 1) 2 ……②
…………………(3 分)

由②-①得 an?1 ? an ? 2n ? 1. …… ③

当 n ? 2 时, a3 ? a2 ? 5, a3 ? 1 …………………(4分) 对于③式又有 an?2 ? an?1 ? 2n ? 3 . …… ④
…………………(5 分)

由④-③得 an?2 ? an ? 2 ( n ? 2 ) …… ⑤

⑤表明:数列 ?a 2 n ?是以 a2 =4 为首项,2 为公差的等差数列, 所以 a2n ? a2 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 2 , ?n ? 1?
2

…………………(6 分)

2 2 方法二: (I)当 n ≥ 2 时,由已知得 S n ? S n ?1 ? n an

因为 an ? Sn ? Sn?1 ? 0 ,所以 S n ? S n?1 ? n 2

…… ①…………………(1 分)

当 n ? 2 时, S 2 ? S1 ? a2 ? 2a1 ? 4, a2 ? 4 …………………(2 分) 又 S n?1 ? S n ? (n ? 1) 2 ……②

由②-①得 an?1 ? an ? 2n ? 1. ( n ≥ 2 )…………………(3 分) 所以 an?1 ? (n ? 1) ? ?(an ? n) , ( n≥ 2 ) ,且 a2 ? 2 ? 4 ? 2 ? 2 它表示数列 ?an ? n?( n ≥ 2 ) (从第二项开始起)是从 a2 ? 2 ? 2 开始,以 ? 1 为公比的等比数 列。…………………(4 分) 所以 an ? n ? 2 ? (?1) n?2 ,所以 an ? n ? 2 ? (?1) n?2 , ( n≥ 2 ) ,…………………(5 分) 所以 a2n ? 2n ? 2 ? (?1) 2n?2 ? 2n ? 2 , ?n ? 1? …………………(6 分) (II)又因为 a3 ? a1 ? 1, 不满足⑤ 而⑤也表明 ?a2n?1 ?是从 a3 开始,以 2 为公差的等差数列, 所以 a2n?1 ? a3 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 1 , ?n ? 1? …………………(7 分)
?0 ? 所以 a n ? ?n ? 2 ?n - 2 ? (n ? 1) (n为偶数) (n为大于1的奇数) (n ? 1) (n ? 2k) , k ? N ? ( n ? 2k ? 1)

?0 ? 也可以写成 a n ? ?2k ? 2 ?2k - 1 ?

1 所以 bn ? ( ) an 2

? ?1, n ? 1 ? ? 1 ,…………………(8 分) ? ?( ) n ? 2 , n为偶数 2 ? ? 1 n?2 ( ) ,为大于 1的奇数 ? ? 2 ? ?1, ? ? 1 ? ?( ) 2 k ? 2 , ? 2 ? 1 2 k ?1 ( ) , ? ? 2 (n ? 1) ( n ? 2k ) (n ? 2k ? 1)
k ? N?

1 也可以写成 bn ? ( ) an 2

所以对于数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 有

1 7 ①当 n ? 1 时, T1 = b1 ? ( ) a1 ? 1 ? …………………(9 分) 2 4 1 1 17 7 ? …………………(10 分) ②当 n ? 2 时 T2 = b1 ? b2 ? ( ) a1 ? ( ) a2 ? 2 2 16 4

③当 n ? 2k (k ? 1) 时,

Tn ? T2k ? b1 ? b2 ? b3 ? b4 ? ? b2k ?1 ? b2k
= (b1 ? b3 ? ......? b2k ?1 ) ? (b2 ? b4 ? ......? b2k ) = b1 ? (b3 ? ......? b2k ?1 ) ? (b2 ? b4 ? ......? b2k )
1 ?? 1 ? 3 ? 1 ? 5 ?1? ?1? = ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ......? ? ? ?2? ?2? ?2? ? ?? 2 ?

a

a

a

a2 k ?1

a2 k ? ?? 1 ? a2 ? 1 ? a4 ?1? ? ? ? ? ...... ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?2? ?2? ? ? ? ? ?? 2 ? ?

k ? 1 ? ?1? ? 1 ? ? ? ? ? ? 16 ? ?4? ? ? ? ? ? 1 ? 1 ? 4 ? 1 ? 4 ? 7 …………………(13 分) ? 1? ? ? 1 1 16 3 2 3 4 1? 1? 4 4 7 ④当 n ? 2k ? 1(k ? 1) 时, Tn ? T2 k ?1 ? T2 k ?a 2 k ? T2 k ? 4 7 综上所述 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? 对任意正整数成立。…………………(14 分) 4 k ?1

1 ? ?1? ?1 ? ? ? 2? ? ?4?

21、解: (1)显然曲线方程为 y ? ln x ,设切点为 ?x0 , ln x0 ?

由y ?
/

1 1 1 得到切线的斜率为 k ? 。则切线方程为 y ? ln x0 ? ( x ? x0 ) x x0 x0

因为切线过点 P(0,?1) ,所以 ? 1 ? ln x0 ? ?1 ,解得 x0 ? 1 所以切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 …………………(3 分) (2)显然函数的定义域为 (0,??) ,且 g ( x) ? 2 x ? 2 ?
/

m 2x 2 ? 2x ? m ? x x

令 g / ( x) ? 0 并结合定义域可得 2 x ? 2 x ? m ? 0
2

对应一元二次方程的判别式 ? ? 4 ? 8m 故当 ? ? 4 ? 8m ? 0 ,即 m ?

x1






1 时,对应方程有两个不等实根 2 1 ? 1 ? 2m 1 ? 1 ? 2m 与 x2 ? …………………(4 分) ? 2 2 1 当 ? ? 4 ? 8m ? 0 ,即 m ? 时, g / ( x) ? 0 恒成立, 2 所以函数的增区间为 (0,??) ……………(5 分) 1 当 0 ? m ? 时,对应方程两根为正,故函数的单调增区间为 2 ? 1 ? 1 ? 2m ? ? 1 ? 1 ? 2m ? ? 0, ? 与? ,?? ? ……………(6 分) ? ? ? ? 2 2 ? ? ? ? 当 m ? 0 时,对应方程两根 x1 ? 0 , x2 ? 0 ,
故函数的单调增区间为 ?

? 1 ? 1 ? 2m ? ? ……………(7 分) , ?? ? ? 2 ? ? 2 m 2x ? 2x ? m 2 ? (3) g ?( x) ? 2 x ? 2 ? ,令 g ?( x) ? 0 得 2 x ? 2 x ? m ? 0, x x ?? ? 4(1 ? 2m) ? 0, ? 由题意知方程有两个不相等的正数根 a, b(a ? b) ,则 ? m ?0 ? ?2 1 解得 0 ? m ? , ……………(8 分) 2 1 ? 1 ? 2m 1 解方程得 b ? ,则 ? b ? 1 . ……………(9 分) 2 2 2 又由 2b ? 2b ? m ? 0 得 m ? ?2b 2 ? 2b , 1 2 2 2 所以 g (b) = b ? 2b ? 1 ? m ln b ? b ? 2b ? 1 ? (?2b ? 2b) ln b , b ? ( ,1). 2 1 g ?(b) ? 2b ? 2 ? (?4b ? 2) ln b ? 2 ? 2b ? ?4(b ? ) ln b 2 1 1 当 b ? ( ,1) 时, g ?(b) ? 0 ,即函数 g (b) 是 ( ,1) 上的增函数 2 2 1 ? 2 ln 2 1 ? 2 ln 2 所以 ? g (b) ? 0 ,故 g (b) 的取值范围是 ( ,0) . 4 4 则 [ g (b)] ? ?1 . ……………(11 分) 1 1 2 2 同理可求 0 ? a ? , g ( a ) = a ? 2a ? 1 ? (?2a ? 2a ) ln a , a ? (0, ). 2 2

1 1 g ?(a ) ? ?4(a ? ) ln a ? 0 ,即函数 g (a ) 是 (0, ) 上的减函数 2 2 1 ? 2 ln 2 1 ? 2 ln 2 所以 ? g (a ) ? 1 ,故 g (a ) 的取值范围是 ( ,1) 4 4 则 [ g (a )] = ? 1 或 [ g (a )] =0 ……………(13 分) [ g (a )] 当 [ g (a )] = ? 1 时, sin ? cos([ g (a )][ g (b)]) ; [ g (b)] [ g (a )] 当 [ g (a )] = 0 时, sin ? cos([ g (a )][ g (b)]) . ……………(14 分 [ g (b)]


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