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2012年广州市高三第一次模拟考试试题


试卷类型:A

2012 年广州市普通高中毕业班综合测试(一)

数学(文科)
2012.3 本试卷共 4 页,21 小题, 满分 150 分.考试用时 120 分钟 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写 在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏涂、错涂、多 涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.函数 y ?

1 的定义域为 x ?1
B. ? ??, ?1? C. ? ?1, ?? ? D. ? ?1, ?? ?

A. ? ??, ?1?

2.已知复数 a ? bi ? i ?1 ? i ? (其中 a, b ? R , i 是虚数单位) ,则 a ? b 的值为 A. ? 2 B. ? 1 C.0 D.2

3.如果函数 f ? x ? ? sin ? ? x ? A.1

? ?

? ?? ? ?? ? 0? 的最小正周期为 2 ,则 ? 的值为 6?
C.4 D.8

B.2

4.在△ ABC 中, ?ABC ? 60 , AB ? 2 , BC ? 3 ,在 BC 上任取一点 D ,使△ ABD 为钝角三角形的 概率为 A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

第 1 页 共 4 页

5.如图 1 是一个空间几何体的三视图,则该几何体的侧面积 为 ...

4 3 A. 3
C.8

2 B. 4 3 D.12 2

2

2 2

2

正(主)视图

侧(左)视图

2

? x ? y ? 2≥0, ? 6.在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? y ? 2≥0, 表示的 ? x≤t ?
平面区域的面积为4,则实数 t 的值为 A.1 B.2 7.已知幂函数 y ? m ? 5m ? 7 x
2

2 俯视图 D.4 图1

C.3

?

?

m ?6

2

在区间 ? 0, ??? 上单调递增,则实数 m 的值为 C.2 或 3 D. ?2 或 ?3

A.3

B.2

8. 已知两个非零向量 a 与 b , 定义 a ? b ? a b sin ? , 其中 ? 为 a 与 b 的夹角. 若 a = ? ?3, 4? , b = ? 0,2? , 则 a ? b 的值为 A. ? 8 B. ? 6 C. 6 D. 8

9.已知函数 f ? x ? ? 2x ? 1 ,对于任意正数 a , x1 ? x2 ? a 是 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? a 成立的 A.充分非必要条件 C.充要条件
2 2 2

B.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件

10.已知圆 O : x ? y ? r ,点 P ? a,b ? ( ab ? 0 )是圆 O 内一点,过点 P 的圆 O 的最短弦所在的直 线为 l1 ,直线 l2 的方程为 ax ? by ? r 2 ? 0 ,那么 A. l1∥l2 ,且 l2 与圆 O 相离 C. l1∥l2 ,且 l2 与圆 O 相交 B. l1 ? l2 ,且 l2 与圆 O 相切 D. l1 ? l2 ,且 l2 与圆 O 相离

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题)
2 11.若函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? 1 是偶函数,则实数 a 的值为

?

?

. .

12.已知集合 A ? x 1≤x≤3 , B ? x a≤x≤a ? 3 ,若 A ? B ,则实数 a 的取值范围为

?

?

?

?

第 2 页 共 4 页

13.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小 石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图2中的实心点个数1,5,12,22,…, 被称为五角形数,其中第1个五角形数记作 a1 ? 1 ,第2个五角形数记作 a2 ? 5 ,第3个五角形数记作 第4个五角形数记作 a4 ? 22 , …, 若按此规律继续下去, 则 a5 ? a3 ? 12 , , 若 an ? 145 , 则n ? .

1

5

12

22 图2 B C A O P D

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如图3,圆 O 的半径为 5 cm ,点 P 是弦 AB 的中点,

OP ? 3 cm ,弦 CD 过点 P ,且

CP 1 ? ,则 CD 的长为 CD 3

cm .

15. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中,已知直线 l 与曲线 C 的 参数方程分别为 l : ?

? x ? t ? 2, ? x ? 1 ? s, ( s 为参数)和 C : ? ( t 为参数) , 2 ?y ? t ? y ? 1? s


图3

若 l 与 C 相交于 A 、 B 两点,则 AB ?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? tan ? 3x ?

? ?

?? ?. 4?
(2)若 f ?

(1)求 f ?

??? ? 的值; ?9?

?? ?? ? ? ? 2 ,求 cos 2? 的值. ? 3 4?
频率 组距

17. (本小题满分12分) 某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生, 将他们的期中考 试数学成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数)分 成六段: ?40,50? , ?50,60? ,…, ?90,100? 后得到如图 4 的 频率分布直方图. (1)求图中实数 a 的值; (2)若该校高一年级共有学生 640 人,试估计该校高一年级 期中考试数学成绩不低于 60 分的人数; (3) 若从数学成绩在 ? 40,50? 与 ?90,100? 两个分数段内的学 生中随机选取两名学生,求这两名学生的数学成绩之差 的绝对值不大于 10 的概率.
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a
0.025 0.020

0.010 0.005 0 40 50 60 70 80 90 100(分数)

图4

18. (本小题满分14分) 如图 5 所示, 在三棱锥 P ? ABC 中, AB ? BC ? 6 ,平面 PAC ? 平面 ABC ,PD ? AC 于点 D ,

AD ? 1 , CD ? 3 , PD ? 2 . (1)求三棱锥 P ? ABC 的体积; (2)证明△ PBC 为直角三角形. A

P

D B
图5

C

19. (本小题满分14分)

已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,它的前 n 项和为 Sn ,若 S5 ? 70 ,且 a2 , a7 , a22 成等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 ?

?1? 1 3 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ≤Tn ? . 6 8 ? Sn ?

20. (本小题满分14分) 已知函数 f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? b ? a, b ? R ? . (1)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2)若对任意 a ? ?3, 4? ,函数 f ( x ) 在 R 上都有三个零点,求实数 b 的取值范围.

21. (本小题满分14分) 已知椭圆 x ?
2

y2 ? 1的左、右两个顶点分别为 A 、 B .曲线 C 是以 A 、 B 两点为顶点,离心率为 5 4

的双曲线.设点 P 在第一象限且在曲线 C 上,直线 AP 与椭圆相交于另一点 T . (1)求曲线 C 的方程; (2)设点 P 、 T 的横坐标分别为 x1 、 x2 ,证明: x1 ? x2 ? 1; (3)设 ?TAB 与 ?POB (其中 O 为坐标原点)的面积分别为 S1 与 S2 ,且 PAgPB≤15 ,求 S12 ? S22 的取值范。

uu r uur

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