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陕西省高中数学 第四章 数系的扩充 复数性质的妙用拓展资料素材 北师大版选修1-2

复数性质的妙用 复数有很多特殊的性质, 如果能在解题的过程中灵活地加以运用, 就会收到事半功倍的 效果. 一、虚数 i 的性质及其应用 与虚数单位 i 相关的性质有: ① i 2 ? ?1 (即 ?1 的平方根是 ?i ) ; ②若 n ? N? ,则 i 4 n ?1 ? i , i 4 n ? 2 ? ?1 , i 4 n ?3 ? ?i , i 4 n ? 1 ; ③ (1 ? i)2 ? ?2i ; ④ 1? i ?i; 1? i ⑤ i n ? i n ?1 ? i n ? 2 ? i n ?3 ? 0 , i n · i n?1 · i n? 2 · i n?3 ? ?1(n ? N? ) . ?1? i ? i? 计算 ?3· ? ?1? i ? 1998 1998 例1 . 999 ?1? i ? 解析: ? ? ?1? i ? ?1? i ? ∴ ?3i ? ? ?1? i ? ? (1 ? i)2 ? ?? 2 ? ? (1 ? i) ? ? (?1)999 ? ?1 , 1998 ? ?3i(?1) ? 3i . 二、共轭复数的性质及其应用 设复数 z 的共轭复数为 z ,则有如下性质: ①z ? z ; ② z1 ? z2 ? z1 ? z2 ; ③ z1 · z2 ? z1 · z2 ; ?z ? z ④ ? 1 ? ? 1 ( z2 ? 0) ; ? z2 ? z2 ⑤ z 为实数 ? z ? z , z 为纯虚数 z ? ? z . 例2 · z2 ? A 的值. 设复数 z1,z2 满足 z1 · z2 ? A · z1 ? A · z2 ? 0 ,其中 A ? 5 ,求 z1 ? A 解析: z1 ? A · z2 ? A ? z1 ? A · z2 ? A ? z1 ? A · z2 ? A ? ( z1 ? A)( z2 ? A) ? z1 · z2 ? A · z1 ? A · z2 ? A ·A , 把 z1 · z2 ? A · z1 ? A · z2 ? 0 代入上式,得 z1 ? A · z2 ? A ? A ·A ? A ?5. · z ? z ? z 的应用 三、 z 2 2 2 例3 设复数 z 满足 z ? 2 ,求 z2 ? z ? 4 的最值. 2 解析:由题意, z ? zz ? 4 ,则 z 2 ? z ? 4 ? z 2 ? z ? zz ? z ( z ? 1 ? z ) . 设 z ? a ? bi(?2 ≤ a ≤ 2, ? 2 ≤ b ≤ 2) ,则 z 2 ? z ? 4 ? 2 a ? bi ? 1 ? a ? bi ? 2 2a ? 1 . ∴ 当a ? 1 时, z 2 ? z ? 4 ? 0 ;当 a ? ?2 时, z 2 ? z ? 4 ? 10 . min max 2 四、纯虚数的性质及其应用 命题 设 z 为非零复数, 若 z 为纯虚数, 则对任意非零实数 a, 有 z ?a ? z ?a 之,若 a 是非零实数,且 z ? a ? z ? a ,则 z 为纯虚数. 证明: 由两复数差的模的几何意义可知, 复数 z 对应点的轨迹为复平面上复数 a 与 ?a 对 应点连线的中垂线.显然其中垂线为虚轴.因而复数 z 为纯虚数,反之亦然. 例4 解方程 z ? 4 i ? z ? 4 i ? 6z ? 5i . 成立. 反 解析:原方程可化为 6z ? ( z ? 4 ? z ? 4 ? 5)i ,若 z ? 4 ? z ? 4 ? 5 ? 0 ,则 z ? 0 ,原方 程不成立,∴ z ? 4 ? z ? 4 ? 5 ? 0 . ∴ z 为纯虚数. 5 由命题知, z ? 4 ? z ? 4 ,∴ 6 z ? ?5i ,即 z ? ? i . 6