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江西省南昌市第二中学2015-2016学年高二数学下学期期末考试试题 理

南昌二中 2015—2016 学年度下学期期末考试 高二数学(理)试卷

一、选择题

1.已知集合 A ? {?2, ?1,1, 2, 4}, B ? {y | y ? log2 | x | ?1, x ? A},则 A B ? ( )

A.{?2, ?1,1}

B.{?1,1, 2}

C.{?1,1}

D.{?2, ?1}

2. 设命题 p :存在四边相等的四边形不是正方形;命题 q :若 cosx ? cos y ,则 x ? y ,则下列判断正确

的是( )

A. p ? q 为真

B. p ? q 为假

C. ?p 为真

D. ?q 为真

3. 某空间几何体的正视图、俯视图如图所示,则该几何体的表面积为

()

A. 27 3 2

B. 27 35 2

C. 27 ( 3 + 35) 2

D. 27 ( 35 ? 3) 2

4. 某中学为研究某位学生物理成绩与数学成绩的相关性,抽取该同学

高二的 5

次月考数学成绩和相应的物理成绩如下表:

数学成绩 xi 90 100 115

130

物理成绩 yi 60 65 70 75 80

由这些样本数据算得变量 x 与 y 满足线性回归方程 y ? 0.47x+17.36 ,但由于某种原因该表中一次数学成绩

被污损,则根据回归方程和表中数据可得污损的数学成绩为( )

A.120

B.122.64

C.125

D.127

? 5. “ a ? 1 1? x2 dx ”是“函数 y ? cos2 ax ? sin 2 ax 的最小正周 0
的( )

期为 4 ”

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

6. 如图是某算法的程序框图,若实数 x ? (?1, 4) ,则输出的数值不小

于 30 的概率为( )

A. 1 5

B. 2 5

C. 7

D. 7

30

8

7. 一直线与直二面角的两个面所成的角分别为 α ,β ,则( )

A.α +β <90°

B.α +β ≤90°

C.α +β >90°

D.α +β ≥90°

8. 自 圆 C :(x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 4 外一点 P(x, y) 引该圆的一条切线,切点为 Q ,切线的长度等于点 P 到

原点 O 的长,则 PQ 的最小值为( )

A. 13

B.3

C.4

10

D. 21 10

9. 某同学有 7 本工具书,其中语文 2 本、英语 2 本、数学 3 本,现在他把这 7 本书放到书架上排成一排,

要求 2 本语文书相邻、2 本英语书相邻、3 本数学书任意两本不相邻,则不同的排法种数为( )

A.12

B.24

C.48

D.720

10. 一个盒子中放有大小相同的 6 个小球,其中白球 4 个,红球 2 个.任取两次,每次取

儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

一个球,每次取后不放回,已知第一次取到的是白球,则第二次也取到的是白球的概率为( )

A. 5

B. 5

C. 2

D. 7

9

12

3

9

11.四棱锥 P ? ABCD 的底面 ABCD 为正方形, PA ?底面 ABCD , AB ? 2 ,若该四棱锥的所有顶点

都在体积为 243? 同一球面上,则 PA ? ( ) 16

A.3

B. 7

2

C. 2 3

D. 9 2

12.已知函数 f (x) ? ex sin x ,其中 x?R , e ? 2.71828 为自然对数的底数.当 x ?[0, ? ] 时,函数 2

y ? f (x) 的图象不在直线 y ? kx 的下方,则实数 k 的取值范围( )

A. (??,1)

B. (??,1]

?
C. (??, e 2 )

?
D. (??, e 2 ]

二、填空题

13. (x ? 2 ? 2)7 的展开式中,不含 y 的各项系数之和为

.

y

14. 已知 p : ?4 ? x ? a ? 4, q : (x ? 2)(3 ? x) ? 0 ,若 ?p 是 ?q 的充分不必要条件,则实

数 a 的取值范围为

.

15.已知过双曲线 x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? 0, b ? 0) 的右焦点 F2 的直线交双曲线于 A, B 两点,连结 AF1, BF1 ,若

| AB |?| BF1 | ,且 ?ABF1 ? 90? ,则双曲线的离心率为______________.
16. 下列关于空间向量的命题中,正确的有_____.

①若向量 a,b 与空间任意向量都不能构成基底,则 a∥b;

②若非零向量 a,b,c 满足 a⊥b,b⊥c 则有 a∥c;

③若 OA , OB , OC 是空间的一组基底,且 OD ? 1 OA ? 1 OB ? 1 OC ,则 A,B,C,D 四点共面; 333
④若向量 a+b, b+c, c+a,是空间一组基底,则 a,b,c 也是空间的一组基底.

三、解答题 17. (本小题满分 10 分)
已知命题:“ ?x ??x | ?1 ? x ? 1? ,使等式 x2 ? x ? m ? 0 成立”是真命题,
(1)求实数 m 的取值集合 M ; (2)设不等式 (x ? a)(x ? a ? 2) ? 0 的解集为 N ,若 x ? N 是 x ?M 的必要条件,求实数 a 的取值
范围.

18.(本小题满分 12 分)

心理学家发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层

抽样的方法抽取 50 名同学(男 30 女 20),给所有同学几何题和代数各一题,让各位同学自由选择一道题

进行解答.选情况如下表:(单位:人)

几何题 代数题 总计

男同学 30

8

30

女同学 8

12

20

2
儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

总计 30

20

50

(1)能否据此判断有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关?

(2)经过多次测试后,女生甲每次解答一道几何题所用的时间在 5---7 分钟,女生乙每次解答一道

几何题所用的时间在 6—8 分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率.

附表及公式

? ? P k 2 ? k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0,005 0.001

k

2.072 2.706

k2 ?

n ?ad ? bc?2

?a ?b??c ? d??a ? c??b ? d ?

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

19.(本小题满分 12 分)
如图,平面 ABCD ? 平面 ABE ,四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,且点 B 在平面 ACE 上的射影 F 恰好落在边 CE 上.
(Ⅰ)求证: AE ? 平面 BCE ;

(Ⅱ)当二面角 B ? AC ? E 的余弦值为 3 时,求 ?BAE 的 3

大小.

20.(本小题满分 12 分)
为了解班级学生对任课教师课堂教学的满意程度情况.现从某班全体学生中,随机抽取12 名,测试的
满意度分数(百分制)如下茎叶图所示:

根据学校体制标准,成绩不低于 76 的为优良. (Ⅰ)从这 12 名学生中任选 3 人进行测试, 求至少有1人成绩是“优良”的概率;
(Ⅱ)从抽取的12 人中随机选取 3 人,记? 表示测试成绩“优良”的学生人数,求? 的分布列及期望.

21.(本小题满分 12 分)

如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 E



x2 a2

?

y2 b2

? 1(a ? b ? 0) 的离心率

e?

3 2



A1

,

A2

分别是椭圆

E

的左、右两个顶点,圆

A2

的半径为

a

,过点

A1 作圆

A2

的切线,切点为

P



在 x 轴的上方交椭圆 E 于点 Q .

(1)求直线 OP 的方程;

(2)求 PQ 的值; QA1
(3)设 a 为常数,过点 O 作两条互相垂直的直

线,分别交椭圆 E 于点 B,C ,分别交圆 A2 于点

3
儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

M , N ,记△ OBC 和△ OMN 的面积分别为 S1, S2 , 求 S1 : S2 的最大值.

22.(本小题满分 12 分)已知 f (x) = a ln x ? x ?1? a ?1 ( a ?R ). x
(Ⅰ)讨论函数 f (x) 的单调性;

(Ⅱ)已知 h(x)

?

2e x -1 x

? a ,若

x1 ,

x2



f

(x)

的两个极值点,且 ?m ?(0, 2] ,

f

(x1) ?

f

(x2 ) > h(m) ,

求实数 a 的取值范围.

4
儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

1—5 CDCCA

南昌二中 2015—2016 学年度下学期期末考试 高二数学(理)试卷参考答案
6—10 BBDCA 11-12 BB

13. ?1

14. [?1,6]

三.选择题.

15. 5 ? 2 2 16.①③④.

17.【解析】(1)由题意可知,等价于方程 m ? x2 ? x 在 x ?(?1,1) 上有解.

令 f (x) ? x2 ? x ,当 x ?(?1,1) 时, f (x) ?[? 1 , 2) ,∴要使方程 m ? x2 ? x 有解, 4

则实数 m

的取值集合 M

?

??m ?

?1 4

?

m?

2?? . ?

(2)∵ x ? N 是 x ?M 的必要条件,也即 x ? N ? x ?M ,∴ M ? N

∴M ??.

i)当 a ? 2 ? a 时,也即 a ?1时, N ? (2 ? a, a) ,要使 M ? N

?a ?1



???2 ?

?

a

?

?

1 4

??a ? 2

解得: a ? 9 ; 4

Ii)当 a ? 2 ? a 时,也即 a ?1时, N ? (a, 2 ? a) ,要使 M ? N

?a ?1



???a ?

?

?

1 4

??2 ? a ? 2

解得: a ? ? 1 ; 4

综上:实数 a 的取值范围为 a ? 9 或 a ? ? 1 .

4

4

18. 【 解 析 】( 1 ) 由 表 中 数 据 得 K2 的 观 测 值

K 2 ? 50??22?12 ? 8?8?2 ? 50 ? 5.024 ,
30? 20?30? 20 9

所以根据统计有 97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有
(2)设甲、乙解答一道几何题的时间分别为 x、y 分钟,则

关; 基本事件满足

?5 ? x ? 7 的区域为 ??6 ? y ? 8 (如图所示), 设事件 A 为“乙比甲先做完此道题”,则满足的区域为

x? y

∴由几何概型

P?

A?

?

1 2

?1?1

?

1

,即乙比甲先解答完的

2?2 8

概率 1 . 8

19.【解析】(I)∵BF ? 平面 ACE,AE ? 平面 ACE,∴BF ? AE,

又∵四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形,∴BC ? AB,

∵平面 ABCD ? 平面 ACE,且平面 ABCD ? 平面 ACE=AB,BC ? 平面 ABCD,

∴BC ? 平面 ABE,∴BC ? AE,又∵BC ? BF=B,∴AE ? 平面 BCE.(5 分)

(Ⅱ)以 A 为原点,垂直于平面 ABCD 的直线 AG 为 x 轴, AB 所在直线为 y 轴, AD 所在直线为 z 轴,

如图所示建立空间直角坐标系 A? xyz ,

5
儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

设 E(a,b, 0) ,则 AE ? (a,b,0) , AC ? (0, 2, 2), BE ? (a,b ? 2,0) ,

设平面

AEC

的一个法向量

n

?

(x,

y,

z)

,则

?? ?

AE

?

n

?

0



??AC ? n ? 0

所以

?ax ? by ? 0 ??2 y ? 2z ? 0

,即

?? x ? ?? z

? ?

?b a
?y

y



不妨令 y ? a ,得 n ? (?b, a, ?a) 是平面 EAC 的一个法向量,

又因为平面 BAC 的一个法向量为 m ? (1,0,0) ,(8 分)

由| cos ? m, n ?|?| m ? n |? | b | ? 3 ,化简得 a2 ? b2 ①, | m | ? | n | 2a2 ? b2 3
又因为 AE ? 平面 BCE , BE ? 平面 BCE ,

所以 AE ? BE ,所以 AE ? BE ? 0 ,即 a2 ? b(b ? 2) ? 0 ②,

联立①②,解得 b ? 0 (舍),或 b ? 1,

所以 a2 ? b2 ? 1,此时易得 AE ? BE ? 2 , 所以 ?BAE ? ? .(12 分)
4 20.【解析】(I)由茎叶图可知,抽取的 12 人中成绩是“优良”的有 9 人,频率为 3 ,由题意可知,从该
4 校学生中任选 1 人,成绩是“优良”的概率为 3 ,
4
设事件 A 表示“在该校学生中任选 3 人,至少有 1 人成绩是“优良””,则

P( A)

?1?

C33

?

(1?

3)3 4

?

63 64



∴至少有1人成绩是“优良”的概率为 63 . (6 分) 64

(Ⅱ)由题意可得,? 的可能取值为 0,1,2,3.

P(?

?

0) ?

C33 C132

?

1 220

, P(?

? 1)

?

C91C32 C132

?

9?3 220

?

27 220



P(? ? 2) ? C92C31 ? 36?3 ? 27 , P(? ? 3) ? C93 ? 84 ? 21 .

C132

220 55

C132 220 55

所以? 的分布列为:

?

0

1

2

3

1

27

27

21

P

220

220

55

55

6
儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

所以? 的期望 E(? ) ? 0? 1 ?1? 27 ? 2? 27 ? 3? 21 ? 9 .(12 分) 220 220 55 55 4

21.【解析】(1)连结 A2P ,则 A2P ? A1P ,且 A2P ? a ,又 A1A2 ? 2a ,所以 ?A1A2P ? 60 .

所以 ?POA2 ? 60 ,所以直线 OP 的方程为 y ? 3 x .

(2)由⑴知,直线 A2P 的方程为 y ? ?

3( x ? a) , A1P 的方程为 y ?

3 3

(

x

?

a) ,解得

xP

?

a 2

.

因为 e ?

3 ,即 c ?

2

a

3 2

,所以 c2

?

3 a2 , b2 4

?

1 a2 ,故椭圆 E 4

的方程为

x2 a2

+

4y2 a2

? 1.



? ?? ? ? ??

y
x a

?
2
2+

3 ( x ? a) 3 4y2 a2 ?1 ,

,

解得

xQ

?

?a 7

,所以

PQ QA1

?

a ? (? a) 27 ? a ? (?a) 7

?

3 4



⑶不妨设 OM 的方程为 y ? kx (k ? 0) ,

? y ? kx ,

联立方程组

? ?

x

2

?? a2

+

4y2 a2

?1

解得 B( ,

a, 1? 4k2

ak ) ,所以 OB ? a 1? 4k2

1? k2 ; 1? 4k 2

用 ? 1 代替上面的 k ,得 OC ? a k

1 ? k 2 .同理可得, OM ? 4? k2

2a , ON ? 1? k2

所以

S1

?

S2

?

1 4

? OB

? OC

? OM

? ON

?

a4

?

k

.因为

(1 ? 4k 2 )(4 ? k 2 )

2ak . 1? k2

k

?

1

≤1 ,

(1? 4k 2 )(4 ? k 2 )

4(k 2

?

1 k2

)

? 17

5

当且仅当

k

?1

时等号成立,所以

S1

?

S2

的最大值为

a4 5

22.【解析】(Ⅰ) f (x) 的定义域为(0,+∞),



f

?(x) =

a x

?1?

a ?1 x2

=

x2

? ax ? (a ?1) x2

=

(x ?

a

? 1)( x x2

?1)

,(1

分)

当 a ≥-1 时,-( a +1)≤0,当 0< x <1 时, f ?(x) <0,当 x >1 时, f ?(x) >0,

∴ f (x) 的增区间为(1,+∞),减区间为(0,1);
当-2< a <-1 时,0<-( a +1)<1,当 0< x <-( a +1)或 x >1 时, f ?(x) >0,当-( a +1)< x <1 时,f ?(x) <0,∴ f (x) 的增区间为(0,-( a +1)),(1,+∞),减区间为(-( a +1),1); 当 a =-2 时, f ?(x) ≥0,则 f (x) 的增区间为(0,+∞);

当 a <-2 时,-( a +1)>1,当 1< x <-( a +1)时, f ?(x) <0,当 0< x <1 或 x >-( a +1)时, f ?(x) >

0,∴ f (x) 的减区间为(1,-( a +1)),增区间为(0,1),(-( a +1),+∞).(5 分)

综上所述,当 a <-2 时, f (x) 的减区间为(1,-( a +1)),增区间为(0,1),(-( a +1),+∞);
当 a =-2 时, f (x) 的增区间为(0,+∞); 当-2< a <-1 时, f (x) 的增区间为(0,-( a +1)),(1,+∞),减区间为(-( a +1),1); 当 a ≥-1 时, f (x) 的增区间为(1,+∞),减区间为(0,1).(6 分)

(Ⅱ)由题知, h?(x) ? 2ex?1(x ?1) ,当 0< x <1 时, h?(x) <0,当 1< x <2 时, h?(x) >0,故 h(x)
x2 在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,故 h(x)min ? h(1) ? a ? 2 , 由题知 f (x1) ? f (x2 ) ? a ? 2 , (8 分)
由(Ⅰ)知,要使 f (x) 有两个极值点,即 f ?(x) =0 在(0,+∞)上有两解,则 a < ?1且 a ? ?2 ;

7
儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定

当 a <-2 时, f (x) 的减区间为(1,-( a +1)),增区间为(0,1),(-( a +1),+∞),故 f (x) 在 x =1 处取 极大值 f (1) = a ? 3,在 x =-( a +1)处取极小值 f [?(a ?1)] = a ln[?(a ?1)] ? a ?1; 当-2< a <-1 时, f (x) 的增区间为(0,-( a +1)),(1,+∞),减区间为(-( a +1),1),故 f (x) 在 x =1 处取极小值 f (1) = a ? 3,在 x =-( a +1)取极大值 f [?(a ?1)] = a ln[?(a ?1)] ? a ?1. 由题知, f (1) + f [?(a ?1)] = a ? 3+ a ln[?(a ?1)] ? a ?1> a ? 2 ,(11 分)
∴ a ln[?(a ?1)] ? a >0,即 ln[?(a ?1)] ?1 ? ln e ,∴ 0 ? ?(a ?1) ? e ,解得 ?1? e < a < ?1且 a ? ?2 ,
综上所述,实数 a 的取值范围为( ?1? e ,-2)∪(-2,-1).(12 分)
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儒家思想自有真理的闪光点和恒久魅力,但历代帝王看重是它所宣扬仁义道德等对封建专制统治合法性诠释倚“君、臣父子”秩序巩固从而形成天下以共识。因此都把继作为己中之不过基础新其极限一个朝替前会去否定