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必修2平面解析几何知识点总结与训练


苏教版必修 2

第 2 章 平面解析几何
1.直线的倾斜角与斜率: .直线的倾斜角与斜率: (1)直线的倾斜角:在平面直角坐标系中,对于一条与 x 轴相交的直线,如果把 x 轴绕着交点按逆时针 方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 α 叫做直线的倾斜角. 倾斜角 α ∈ [0,180°) , α = 90° 斜率不存在. (2)直线的斜率: k =

y 2 ? y1 ( x1 ≠ x 2 ), k = tan α . P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) ). ( 1 x 2 ? x1

2.直线方程的五种形式: .直线方程的五种形式: (1)点斜式: y ? y1 = k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). 注:当直线斜率不存在时,不能用点斜式表示,此时方程为 x = x 0 . (2)斜截式: y = kx + b (3)两点式: (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

y ? y1 x ? x1 = ( y1 ≠ y2 , x1 ≠ x2 ). y 2 ? y1 x2 ? x1

注:① 不能表示与 x 轴和 y 轴垂直的直线; ② 方程形式为: ( x 2 ? x1 )( y ? y1 ) ? ( y 2 ? y1 )( x ? x1 ) = 0 时,方程可以表示任意直线. (4)截距式:

x y + = 1 ( a, b 分别为 x 轴 y 轴上的截距,且 a ≠ 0, b ≠ 0 ) . a b 注: 不能表示与 x 轴垂直的直线,也不能表示与 y 轴垂直的直线,特别是不能表示过原点的直线.
(其中 A、B 不同时为 0).

(5)一般式: Ax + By + C = 0 一般式化为斜截式: y = ?

A C A x ? ,即,直线的斜率: k = ? . B B B 注: (1)已知直线纵截距 b ,常设其方程为 y = kx + b 或 x = 0 . 已知直线横截距 x0 ,常设其方程为 x = my + x0 (直线斜率 k 存在时, m 为 k 的倒数)或 y = 0 .
已知直线过点 ( x0 , y0 ) ,常设其方程为 y = k ( x ? x0 ) + y0 或 x = x0 . (2)解析几何中研究两条直线位置关系时,两条直线有可能重合;立体几何中两条直线一般不重 合. 3.直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为 0. .直线在坐标轴上的截矩 (1)直线在两坐标轴上的截距相等 ? 直线的斜率为 ? 1 或直线过原点. .... (2)直线两截距互为相反数 ? 直线的斜率为 1 或直线过原点. ....... (3)直线两截距绝对值相等 ? 直线的斜率为 ±1 或直线过原点. ....... 4.两条直线的平行和垂直 .两条直线的平行和垂直: 平行和垂直 (1)若 l1 : y = k1 x + b1 , l2 : y = k 2 x + b2 ① l1 // l 2 ? k1 = k 2 , b1 ≠ b2 ; ② l1 ⊥ l2 ? k1k2 = ?1 . (2)若 l1 : A1 x + B1 y + C1 = 0 , l 2 : A2 x + B2 y + C 2 = 0 ,有 ① l1 // l 2 ? A1 B2 = A2 B1 且A1C 2 ≠ A2 C1 .② l1 ⊥ l 2 ? A1 A2 + B1 B2 = 0 . 5.平面两点距离公式: .平面两点距离公式: ( P ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x2 , y2 ) ), P1 P2 = 1

( x1 ? x 2 ) 2 + ( y1 ? y 2 ) 2 . x 轴上两点间距离: AB = x B ? x A .

x1 + x 2 ? ? x0 = ? 2 线段 P1 P2 的中点是 M ( x 0 , y 0 ) ,则 ? . ? y = y1 + y 2 ? 0 2 ?
6.点到直线的距离公式: .点到直线的距离公式: 直线的距离公式

点 P ( x0 , y 0 ) 到直线 l:Ax + By + C = 0 的距离: d = 7.两平行直线间的距离: .两平行直线间的距离: 行直线间的距离

Ax0 + By 0 + C A2 + B 2


两条平行直线 l1:Ax + By + C1 = 0,l 2:Ax + By + C 2 = 0 距离: d =

C1 ? C 2 A2 + B 2


8.直线系方程: .直线系方程: (1)平行直线系方程: 平行直线系方程: 平行直线系方程 ① 直线 y = kx + b 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线系方程. . ② 与直线 l : Ax + By + C = 0 平行 平行的直线可表示为 Ax + By + C1 = 0 . ③ 过点 P ( x0 , y0 ) 与直线 l : Ax + By + C = 0 平行 平行的直线可表示为: A( x ? x0 ) + B ( y ? y0 ) = 0 . (2)垂直直线系方程: 垂直直线系方程: 垂直直线系方程 ① 与直线 l : Ax + By + C = 0 垂直 垂直的直线可表示为 Bx ? Ay + C1 = 0 . ② 过点 P ( x0 , y0 ) 与直线 l : Ax + By + C = 0 垂直 垂直的直线可表示为: B ( x ? x0 ) ? A( y ? y0 ) = 0 . (3)定点直线系方程: 定点直线系方程: 定点直线系方程 ① 经过定点 P0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 y ? y0 = k ( x ? x0 ) (除直线 x = x0 ),其中 k 是待定的系数. ② 经过定点 P0 ( x0 , y0 ) 的直线系方程为 A( x ? x0 ) + B ( y ? y0 ) = 0 ,其中 A, B 是待定的系数. (4)共点直线系方程:经过两直线 l1:A1 x + B1 y + C1 = 0,l 2:A2 x + B2 y + C 2 = 0 交点的直线系方 共点直线系方程: 共点直线系方程 程为 A1 x + B1 y + C1 + λ ( A2 x + B2 y + C 2 ) = 0 (除 l2 ),其中λ是待定的系数. 9.曲线 C1 : f ( x, y ) = 0 与 C2 : g ( x, y ) = 0 的交点坐标 ? 方程组 . 10.圆的方程: .圆的方程: (1)圆的标准方程: ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 ( r > 0 ) . (2)圆的一般方程: x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0( D 2 + E 2 ? 4 F > 0) . (3)圆的直径式方程: 若 A( x1 , y1 ),B( x 2 , y 2 ) , 以线段 AB 为直径的圆的方程是:( x ? x1 )( x ? x 2 ) + ( y ? y1 )( y ? y 2 ) = 0 . 注:(1)在圆的一般方程中,圆心坐标和半径分别是 (? (2)一般方程的特点: ① x 和 y 2 的系数相同且不为零;② 没有 xy 项; ③ D + E ? 4 F > 0
2 2 2

{gf ((xx,, yy)) == 00

的解.

1 D E ,? ) , r = D 2 + E 2 ? 4F . 2 2 2

(3)二元二次方程 Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的等价条件是: ① A=C ≠ 0; ② B = 0; ③ D + E ? 4 AF > 0 . 11.圆的弦长的求法: .圆的弦长的求法: (1)几何法:当直线和圆相交时,设弦长为 l ,弦心距为 d ,半径为 r , l 则: “半弦长 2 +弦心距 2 =半径 2 ”—— ( ) 2 + d 2 = r 2 ; 2 (2)代数法:设 l 的斜率为 k , l 与圆交点分别为 A( x1 , y1 ),B( x 2 , y 2 ) ,则
2 2

1 | y A ? yB | k2 (其中 | x1 ? x 2 |, | y1 ? y 2 | 的求法是将直线和圆的方程联立消去 y 或 x ,利用韦达定理求解) | AB |= 1 + k 2 | x A ? x B |= 1 +
12.点与圆的位置关系:点 P ( x 0 , y 0 ) 与圆 ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 的位置关系有三种 .点与圆的位置关系: ① P 在在圆外 ? d > r ? ( x 0 ? a ) 2 + ( y 0 ? b) 2 > r 2 . ② P 在在圆内 ? d < r ? ( x 0 ? a ) 2 + ( y 0 ? b) 2 < r 2 . ③ P 在在圆上 ? d = r ? ( x 0 ? a ) 2 + ( y 0 ? b) 2 = r 2 . 【 P 到圆心距离 d = 13.直线与圆的位置关系: .直线与圆的位置关系:

(a ? x0 ) 2 + (b ? y0 ) 2 】

直线 Ax + By + C = 0 与圆 ( x ? a ) + ( y ? b) = r 的位置关系有三种( d =
2 2 2

Aa + Bb + C A2 + B 2
):

圆心到直线距离为 d ,由直线和圆联立方程组消去 x (或 y )后,所得一元二次方程的判别式为 ? .

d > r ? 相离 ? ? < 0 ; d = r ? 相切 ? ? = 0 ; d < r ? 相交 ? ? > 0 .
14.两圆位置关系:设两圆圆心分别为 O1 ,O2 ,半径分别为 r1 , r2 , O1O2 = d .两圆位置关系:

d > r1 + r2 ? 外离 ? 4条公切线 ; d < r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线 ; d = r1 + r2 ? 外切 ? 3条公切线 ; d = r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线 ; r1 ? r2 < d < r1 + r2 ? 相交 ? 2条公切线 .

2 2 2 2 15.圆系方程: x + y + Dx + Ey + F = 0( D + E ? 4 F > 0) .圆系方程: (1)过点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) 的圆系方程:

( x ? x1 )( x ? x2 ) + ( y ? y1 )( y ? y2 ) + λ[( x ? x1 )( y1 ? y2 ) ? ( y ? y1 )( x1 ? x2 )] = 0 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) + ( y ? y1 )( y ? y2 ) + λ (ax + by + c) = 0 ,其中 ax + by + c = 0 是直线 AB 的方程.
(2)过直线 l:Ax + By + C = 0 与圆 C : x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 的交点的圆系方程:

x 2 + y 2 + Dx + Ey + F + λ ( Ax + By + C ) = 0 ,λ是待定的系数.
(3)过圆 C1 : x 2 + y 2 + D1 x + E1 y + F1 = 0 与圆 C2 : x 2 + y 2 + D2 x + E 2 y + F2 = 0 的交点的圆系方程:

x 2 + y 2 + D1 x + E1 y + F1 + λ ( x 2 + y 2 + D2 x + E 2 y + F2 ) = 0 ,λ是待定的系数.
特别地,当 λ = ?1 时, x + y + D1 x + E1 y + F1 + λ ( x + y + D2 x + E2 y + F2 ) = 0 就是
2 2 2 2

( D1 ? D2 ) x + ( E1 ? E2 ) y + ( F1 ? F2 ) = 0 表示两圆的公共弦所在的直线方程,即过两圆交点的直线.
16.圆的切线方程: .圆的切线方程: (1)过圆 x 2 + y 2 = r 2 上的点 P ( x 0 , y 0 ) 的切线方程为: x 0 x + y 0 y = r .
2

(2) 过圆 ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 上的点 P ( x 0 , y 0 ) 的切线方程为: ( x ? a )( x0 ? a ) + ( y ? b)( y 0 ? b) = r 2 . (3)过圆 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 上的点 P ( x 0 , y 0 ) 的切线方程为:

D( x0 + x) E ( y0 + y ) + + F = 0. 2 2 (4) 若 P( x0 , y0 )是圆 x 2 + y 2 = r 2 外一点,由 P( x0 , y0 )向圆引两条切线, 切点分别为 A,B x0 x + y0 y +
则直线 AB 的方程为 xx0 + yy0 = r
2

(5) 若 P( x0 , y0 )是圆 ( x ? a ) 2 + ( y ? b) 2 = r 2 外一点, 由 P( x0 , y0 )向圆引两条切线, 切点分别为 A,B 则直线 AB 的方程为 ( x0 ? a )( x ? a ) + ( y0 ? b)( y ? b) = r
2

(6)当点 P ( x 0 , y 0 ) 在圆外时,可设切方程为 y ? y 0 = k ( x ? x 0 ) ,利用圆心到直线距离等于半径, 即d = r , 求出 k ; 或利用 ? = 0 , 求出 k . 若求得 k 只有一值, 则还有一条斜率不存在的直线 x = x 0 . 17.把两圆 x 2 + y 2 + D1 x + E1 y + F1 = 0 与 x 2 + y 2 + D2 x + E 2 y + F2 = 0 方程相减 . 即得相交弦所在直线方程: ( D1 ? D2 ) x + ( E1 ? E 2 ) y + ( F1 ? F2 ) = 0 . 18.空间两点间的距离公式: .空间两点间的距离公式: 若 A ( x1 , y1 , z1 ) , B ( x2 , y2 , z2 ) ,则 AB = ( x2 ? x1 ) + ( y2 ? y1 ) + ( z2 ? z1 )
2 2 2

19.对称问题: .对称问题: (1)中心对称:

① 点关于点对称:点 A( x1 , y1 ) 关于 M ( x0 , y 0 ) 的对称点 A( 2 x 0 ? x1 ,2 y 0 ? y1 ) . ② 直线关于点对称: 法 1:在直线上取两点,利用中点公式求出两点关于已知点对称的两点坐标,由两点式求直线方程. 法 2:求出一个对称点,在利用 l1 // l 2 由点斜式得出直线方程. (2)轴对称: ① 点关于直线对称:点与对称点连线斜率是已知直线斜率的负倒数,点与对称点的中点在直线上. 点 A、A′ 关于直线 l 对称 ? ?

k ?k AA′· l = ?1 ? AA′⊥ l ?? . AA′ 中点坐标满足l 方程 ? AA′ 中点在 l上 ? ② 直线关于直线对称: (设 a, b 关于 l 对称) 法 1:若 a, b 相交,求出交点坐标,并在直线 a 上任取一点,求该点关于直线 l 的对称点. 若 a // l ,则 b // l ,且 a, b 与 l 的距离相等. 法 2:求出 a 上两个点 A, B 关于 l 的对称点,在由两点式求出直线的方程.

(3)点(a, b)关于 x 轴对称:(a,- b)、关于 y 轴对称:(-a, b)、关于原点对称:(-a,- b)、 点(a, b)关于直线 y=x 对称:(b, a)、关于 y=- x 对称:(-b,- a)、 关于 y = x +m 对称:(b -m、a +m)、关于 y=-x+m 对称:(-b+m、- a+m) . 20.若 A( x1 , y1 ),B ( x 2 , y 2 ),C ( x 3 , y 3 ) ,则△ABC 的重心 G 的坐标是 ? . 21.各种角的范围: .各种角的范围: (1)两个向量的夹角 0° ≤ α ≤ 180° (2)直线的倾斜角 0° ≤ α < 180 ° (3)两条异面线所成的角 0° < α ≤ 90° 斜线与平面所成的角 0° < α < 90 ° 一、选择题 1.(文)(2010·山东潍坊)若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆 的标准方程是( )

? x1 + x 2 + x3 y1 + y 2 + y 3 ? , ?. 3 3 ? ?

两条相交直线的夹角 0° < α ≤ 90 ° 直线与平面所成的角 0° ≤ α ≤ 90 ° 二面角 0° ≤ α ≤ 180°

7 A.(x-3)2+?y-3?2=1 ? ? B.(x-2)2+(y-1)2=1 C.(x-1)2+(y-3 )2=1 3 D.?x-2?2+(y-1)2=1 ? ? x2 y2 (理)(2010·厦门三中阶段训练)以双曲线 - =1 的右焦点为圆心且与双曲线的渐近线相切的圆的方程是 6 3 ( ) B.(x-3)2+y2=9 D.(x-3)2+y2=3

A.x2+y2-2 3x+2=0 C.x2+y2+2 3x+2=0

2.已知两点 A(-1,0),B(0,2),点 P 是圆(x-1)2+y2=1 上任意一点,则△PAB 面积的最大值与最小值分 别是( ) 1 1 B. (4+ 5), (4- 5) 2 2 1 1 D. ( 5+2), ( 5-2) 2 2

1 A.2, (4- 5) 2 C. 5,4- 5

3.(文)(2010·延边州质检)已知圆(x+1)2+(y-1)2=1 上一点 P 到直线 3x-4y-3=0 距离为 d,则 d 的最 小值为( A.1 2 C. 5 ) 4 B. 5 D.2

(理)(2010·安徽合肥六中)已知圆 C 的方程为 x2+y2+2x-2y+1=0,当圆心 C 到直线 kx+y+4=0 的距 离最大时,k 的值为( 1 A. 3 1 C.- 3 ) 1 B. 5 1 D.- 5 )

4.方程 x2+y2+4mx-2y+5m=0 表示的圆的充要条件是( 1 A. <m<1 4 1 C.m< 4 B.m>1 1 D.m< 或 m>1 4

5.(2010·北京海淀区)已知动圆 C 经过点 F(0,1),并且与直线 y=-1 相切,若直线 3x-4y+20=0 与圆 C 有公共点,则圆 C 的面积( A.有最大值 π C.有最大值 4π ) B.有最小值 π D.有最小值 4π

π π 6.(文)已知 a≠b,且 a2sinθ+acosθ- =0,b2sinθ+bcosθ- =0,则连结(a,a2),(b,b2)两点的直线与单 4 4 位圆的位置关系是( A.相交 C.相离 ) B.相切 D.不能确定

7. (2010·吉林省质检)圆 x2+y2-2x+6y+5a=0 关于直线 y=x+2b 成轴对称图形, a-b 的取值范围是 则 ( ) B.(-∞,0) D.(4,+∞)

A.(-∞,4) C.(-4,+∞)

?x≥0 ? 9.(文)已知不等式组?y≥0 表示的平面区域恰好被面积最小的圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2 及其内 ?x+2y-4≤0 ?
部所覆盖,则圆 C 的方程为( A.(x-1)2+(y-2)2=5 C.(x-4)2+(y -1)2=6 ) B.(x-2)2+(y-1)2=8 D.(x-2)2+(y-1)2=5

x2 y2 10.(文)(2010·烟台诊断)已知圆 C 的圆心为 C(m,0),m<3,半径为 5,圆 C 与椭圆 E: + =1(a>b>0) a2 b2 有一个公共点 A(3,1),F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点. (1)求圆 C 的标准方程; (2)若点 P 的坐标为(4,4),试探究斜率为 k 的直线 PF1 与圆 C 能否相切,若能,求出椭圆 E 和直线 PF1 的 方程; 若不能 ,请说明理由.

11.(文)设 O 点为坐标原点,曲线 x2+y2+2x-6y+1=0 上有两点 P、Q 关于直线 x+my+4=0 对称, → → 且OP·OQ=0. (1)求 m 的值; (2)求直线 PQ 的方程.


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