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一道高考数学题的求解启示


一道高考数学题的求解启示
现在的学生,经济条件稍好点的,平时练习都有手机帮助,找答案易如翻掌,拍个照, 搜一搜作业帮,答案立刻出现,但是解题过程简洁,对于不同程度的学生来说,一是不 一定理解解题的思路,二是不一定能找出自己解不出题的问题所在。下列这道题就是在 辅导孩子学习时候遇到的,我想加以展开分析一下:
2 x2 ? y ? 1(a ? b ? 0) 1、(2014 年江苏高考)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F1、F2 分别是椭圆 2 a b2

的左、右焦点,顶点 B 的坐标为(0,b),连结 BF2 交椭圆于点 A,过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于 另一点 C,连结 F1C. (1) 若点 C 的坐标为 ( ,) , 且 BF2 = 求椭圆的方程; (2) 若 F1C⊥AB,求椭圆离心率 e 的值。 F1 O F2 A x , y B C

下面是作业帮搜索到的题目的答案:
1、 (1)∵BF2 = ,
2 x2 ? y ? 1(a ? b ? 0) 2 b2 )代入椭圆 a ,

将点 C( ,



16 ? 1 ? 1(a ? b ? 0) , 9a 2 9b2

且 c?+b?=a?

∴a=

,b=1,

x2 ? y 2 ? 1 ∴椭圆方程为 2
2 x2 ? y ? 1(a ? b ? 0) 2 b2 x+b,与椭圆 a 联立得

(2)直线 BA 方程为 y=

x?

x=0. ∴点 A(



) ,∴点 C(





F1(



直线 CF1 斜率 k=

,又∵F1C⊥AB ,∴

·

=



=1,∴e=

第 1 问比较简单,主要是第 2 问: 需要按直线和椭圆的方程式,联立方程求解,这里涉及到代数式通分,化简,很容易出 错,特别是题目要求椭圆离心率 e: 椭圆的离心率:e=c/a(0,1)(c,半焦距;a,长半轴(椭圆)/半实轴(双曲线) ),需要根据 F1C⊥AB 这个已知条件, 把这两条直线的方程式表示出来, 再根据他们斜率想乘的积= -1, 列出新的式子,化简为包含 c/a 的一个多项式方程,并求解。 所以这道题不仅要对解析几何本身的知识理解并运用,还要有初中的代数式变换的扎实 基础。否则,往往在解题的过程中出现这样那样的错误,使得化简不能实现,卡在半道 上。 再一个难点就是在从已知条件推导同时,要考虑到所求是一个 c/a 的比值,需要用已知 条件构造出包含这个比值的多项式,这个思路清楚的话,在求解过程中,如果由于粗心 大意出点小错,使得代数式变的繁杂,那么自己应该有所警觉,并重新计算。这样在实 际的考试当中可以节省时间,取得主动。 结合上述分析,再来看网上答案的步骤是比较精简的,对于基础比较差的学生来讲,还 必须书写的更加详细,重而在分析该题目所考核知识点的同时,发现学生欠缺的能力在

哪里? 在此,还可以深入一步,要求学生理解解析几何的特点,对于解决实际问题,也就是解 题来讲,什么时候用解析几何,什么时候用普通几何定理解决问题,需要根据实际情况 来判定。利用解析几何解题,坐标系的设定很关键。这应该是属于扩展思考,举一反三 的事情了。


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