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苏州大学2016届高考考前指导卷2


苏州大学 2016 届高考考前指导卷(2)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要写出解答过程,请把答案直接 填在答题卡相应位置上 . ........ 1.设集合 A ? {x | x ? 2} , B ? {x | x ? 4} ,则 A ? B ? 2.已知 z ? ▲ .

4 (i是虚数单位),则复数z的实部为 ▲ . 1? i
2

3.抛物线 y ? x 的焦点坐标为

▲ . ▲ .

π 4.函数y=2sin?2x-6?与y轴最近的对称轴方程是

?

?

5.一个盒子里装有标号为 1,2,3,4,5 的 5 张标签,随机地抽取了 3 张 标签,则取出的 3 张标签的标号的平均数是 3 的概率为 6.根据如图所示的伪代码,最后输出的i的值为 ▲ . ▲ . ▲ .

7.已知等差数列{an}的公差为 2,且a1,a2,a5 成等比数列,则a2= 8.如图,三棱锥 A ? BCD 中, E 是 AC 中点, F 在 AD 上,且 2 AF ? FD , 若三棱锥 A ? BEF 的体积是 2,则四棱锥 B ? ECDF 的体积为 → → → → → → F分别满足AE=2ED,DF=FC,则AF·BE= ▲ .

T←1 i←3 While T <10 T←T +i i←i+2 End While Print i
A F E

9.平行四边形ABCD中,已知AB=4,AD=3,∠BAD=60°,点E, ▲ .
x?2

10.在平面直角坐标系中,过原点O的直线 l 与曲线 y ? e

B

D

交于不
C

同的两点A,B,分别过A,B作x轴的垂线,与曲线 y ? ln x 分别交于 点C,D,则直线CD的斜率为 11.已知椭圆 ▲ .

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0) 的左焦点 F1 和右焦点 F2 ,上顶点为 A , AF2 的中垂线交椭圆于 a 2 b2
▲ . ▲ .

点 B ,若左焦点 F1 在线段 AB 上,则椭圆离心率为

12.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c, A ? 2C ,c ? 2 ,a 2 ? 4b ? 4 ,则 a =

? ? a ? x +1 , x ≤1, 函数 g ( x) ? 2 ? f ( x) ,若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 恰有 4 个零 13.已知函数 f ( x) ? ? 2 ? ?( x ? a) , x ? 1,
点,则实数 a 的取值范围是 ▲ . 14.数列 {an } 中,若 ai ? k 2 ( 2k ≤ i ? 2k ?1 , i ? N* , k ? N ) ,则满足 ai ? a2i ≥ 100 的 i 的最小值 为 ▲ .

1

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内 作答,解答时应写出必要的文 ........ 字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分)

3 已知向量 a= (sin x, ) ,b=(cos x,-1). 4
(1)当 a∥b 时,求 cos2x-sin 2x 的值;

? 3 ? (2)设函数 f(x)=2(a+b)·b,已知 f ( ) ? , ? ? ( , ?) ,求 sin ? 的值. 2 4 2

(本小题满分 14 分) 16. 如图, 在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,?ABC ? 90?,AB ? BC ? BB1 , 点 D, E 分别为 BC , CC1 的 中点. (1)求证: B1 D ? 平面 ABE ; (2)若点 P 是线段 B1 D 上一点且满足

B1 P PD

?

1 2

,求证: A1 P ∥平面 ADE .
A1 C1

B1 P E

A D B

C

2

17. (本小题满分 14 分)
已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 4 与 x 轴负半轴的交点为 A,点 P 在直线 l: 3 x ? y ? a ? 0 上,过点 P 作圆 O 的切线,切点为 T. (1)若 a=8,切点 T ( 3, ?1) ,求直线 AP 的方程; (2)若 PA=2PT,求实数 a 的取值范围.

(本小题满分 16 分) 18. 中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体,给人于美的享受.如图(1)为一花窗;图(2) 所示是一扇窗中的一格,呈长方形,长 30 cm,宽 26 cm,其内部窗芯(不含长方形边框)用一种 条形木料做成, 由两个菱形和六根支条构成, 整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称. 设 菱形的两条对角线长分别为 x cm 和 y cm,窗芯所需条形木料的长度之和为 L. (1)试用 x,y 表示 L; (2)如果要求六根支条的长度均不小于 2 cm,每个菱形的面积为 130 cm2,那么做这样一个 窗芯至少需要多长的条形木料(不计榫卯及其它损耗)?

26cm

x

y

30cm
图1 图2

3

19. (本小题满分 16 分)
已知函数 f ( x) ? ( x ? k ? 1)e x (e 为自然对数的底数,e ? 2.71828? , k ? R ) .? (1)当 x ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间和极值; (2)①若对于任意 x ? [1, 2] ,都有 f ( x) ? 4 x 成立,求 k 的取值范围; ②若 x1 ? x2 ,且 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,证明: x1 ? x2 ? 2k .

(本小题满分 16 分)? 20. 已知数列 ?an ? , ?bn ? 分别满足 a1 ? 1, an ?1 ? an ? 2 ,且 b1 ? ?1, 列 ?an ? , ?bn ? 的前 n 项和分别为 S n , Tn . (1)若数列 ?an ? , ?bn ? 都为递增数列,求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)若数列 ?cn ? 满足:存在唯一的正整数 k ( k ≥ 2 ),使得 ck ? ck ?1 ,称数列 ?cn ? 为“ k 坠点数列”. ①若数列 ?an ? 为“5 坠点数列”,求 S n ; ②若数列 ?an ? 为“ p 坠点数列”,数列 ?bn ? 为“ q 坠点数列”,是否存在正整数 m ,使得

bn ?1 ? 2 ,其中 n ? N* ,设数 bn

Sm?1 ? Tm ?若存在,求 m 的最大值;若不存在,说明理由.

4

苏州大学 2016 届高考考前指导卷(2)参考答案
1. (2, 4) . 9.-6. 解答与提示 1. A ? B ? (2, 4) . 2.由题意 z = 2.2. 10.1.

1 3. (0, ) . 4
11.

4. x ? ?

? . 6

5.

1 . 5

6.9.

7.3.

8.10.

3 . 3

12. 2 3 .

13. 2 ? a ≤3 .

14.128.

p 1 4 ? 2 ? 2i ,所以其实部为 2. 3. 2 p ? 1 , ? ,所以抛物 1? i 2 4 ? ? k? ? ? k ? ? ( k ? Z )时, x ? ? ;因此,当 k ? ?1 时, 6 2 2 3
5.从 1,2,3,4,5 这五个数中任取 3 个数,用列举法可

线的焦点坐标为 (0, ) .4.由 2 x ? 直线 x ? ?

1 4

?
6

是与 y 轴最近的对称轴.

知,共有 10 种情况,而其中三个数的平均数是 3 的只有 1,3,5 和 2,3,4 两种情况,所以所求 概率为 p ?

2 1 ? . 6.T ? 1, i ? 3; T ? 4, i ? 5; T ? 9, i ? 7; T ? 16, i ? 9. 则最后输出的 i 的值 10 5
2 2

为 9. 7.由 a2 ? a1a5 可知 (a1 ? 2) ? a1 (a1 ? 8) ,解得 a1 ? 1 ,即 a2 ? 3 . 8.因为

1 S S
AEF ACD

? 2 1 2

AE ? AF ? sin A ? AC ? AD ? sin A

1 6

, V总 = 6VA? BEF ? 12 ,则四棱锥 B ? ECDF 的体积为 10. 9 .因为

???

AE ?

? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 ??? ??? ??? ??? 2 ??? ? ??? 2 ??? AD , AF ? AD ? DF ? AD ? AB ; BE ? BA ? AE ? AD ? AB ,那么 3 2 3
? 1 ??? ? ? 2 ??? ? ??? ? 2 ??? ? 2 1 ??? 2 2 ??? ??? ? ? ??? AB ? ? ? AD ? AB ? ? AD ? AB ? AB ? AD ? 6 ? 8 ? 4 ? ?6 . 10 . 设 2 3 2 ? ? ?3 ? 3
2

??? ? ???

AF ? BE ? ? AD ?
1

A( x1 , e x ? 2 ) , B ( x2 , e x ? 2 ) ,则由点 O , A , B 共线可知
ln

e x ?2
1

x1

?

e x ?2
2

x2

,可化为 e

x1 ? x2

?

x1 x2

,得到

x1

x1 ? x2 ? ln

ln x1 ? ln x2 x1 x2 ? ,故有 kCD ? ? 1 . 11.由题意知 AB ? BF2 ,设 BF1 ? x ,则 x2 x1 ? x2 x1 ? x2

9c 2 b 2 a 3c b ? 1, x ? x ? a ? 2a , 所以 x ? , 故 AF1 ? 2 F1 B , 易求得 B ( ? , ? ) , 代入椭圆方程得 42 ? 4 2 2 2 a b2
解得

c2 1 3 ? ,所以 e ? . 12 . 在 △ ABC 中 , 由 余 弦 定 理 4b ? 4 ? 4 ? b 2 ? 4b cos 2C , 即 2 3 a 3
2 b ?1 2 ,即 ? sin 2C sin C

b 2 ? 4b(1 ? cos 2C ) ? 8 ? 0 , 故 b 2 ? 8b cos 2 C ? 8 ? 0 , 由 正 弦 定 理 得
5

cos C ?

b ?1 b(b ? 1) ,所以 b 2 ? ? 8 ? 0 ,解得 b ? 4 ,所以 a 2 ? 4b ? 4 ? 12 , a ? 2 3 . 2 2

即方程 f ( x ) ? 1 有 4 个解. 又由函数 y ? a ? x ? 1 13. 由题意当 y ? f ( x) ? g ( x) ? 2 ? f ( x ) ? 1? ? 0 时, 与函数 y ? ( x ? a ) 的大致形状可知,直线 y ? 1 与函
2

?a ? x +1 , x ≤1, ? 数 f ( x) ? ? 的左右两支曲线 都 有 两个 2 ? ?( x ? a) , x ? 1,

?(1 ? a ) 2 ? 1, ? 交点,如下图示. 那么,有 ? f ( ?1) ? 1, ? f (1) ≤1, ? ? a ? 2或a ? 0, ? 即 ? a ? 1, 解 得 2 ? a ≤ 3 . 14 . 由 2k ≤ i ? 2k ?1 , 得 2k ?1 ≤ 2i ? 2k ? 2 , ai ? k 2 , 则 ? a ? 2 ≤1, ?
a2i ? (k ? 1) 2 ,所以又 ai ? a2i ≥ 100 可得 k 2 ? (k ? 1)2 ≥100 ,解得 k 的最小值是 7,即 i≥ 27 ? 128 .

cos x-2sin xcos x 3 3 15. (1)因为a∥b,所以4cos x+sin x=0,所以tan x=-4.故cos2x-sin 2x= = sin2x+cos2x 1-2tan x 8 3 = . (2) f ( x) ? 2(a ? b) ? b ? 2a ? b ? 2b 2 ? 2sin x cos x ? ? 2(cos 2 x ? 1) 1+tan2x 5 2

2

? sin 2 x ? cos 2 x ?

3 ? 3 ? 3 ? 2 sin(2 x ? ) ? .因为 f ( ) ? ,所以 4 2 2 2 4

? 3 2 ? ? 3 3 f ( ) ? 2 sin(? ? ) ? ? ,即 sin(? ? ) ? ? , 4 8 2 4 2 4 ? 3? ? ?? ? 3 2 2 46 ?? ? ? ) ?? 又 ? ? ( , ?) ,所以 ,故 cos(? ? ) ? ? 1 ? ( , 4 4 4 2 4 8 8
? ? 2 ? ? 所以 sin ? ? sin[(? ? ) ? ] ? (sin(? ? ) ? cos(? ? )) 4 4 2 4 4 ? 2 3 2 46 ?3 ? 23 . (? ? )? 2 8 8 8
G F A D B C A1 C1

B1 E

P

16 . ( 1 ) 在 直 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , BB1 ? 面ABC ,

AB ? 面ABC ,所以 BB1 ? AB ,因为 ?ABC ? 90? ,所以 BC ? AB ,
又 BC ? BB1 =B ,所以 AB ? 面BCC1 B1 ,因为 DB1 ? 面BCC1 B1 ,所 因为在平面 BCC1 B1 中, BC ? BB1 , 所以四边形 BCC1 B1 以 AB ? DB1 ,

为正方形,因为点 D, E 分别为 BC , CC1 的中点,所以 ?BCE ∽ ?B1 BD ,所以 ?CBE ? ?BB1 D ,
6

所以 ?CBE +?B1 DB =

? 2

,即 B1 D ? BE ,又因为 BA ? BE =B ,所以 B1 D ? 面ABE .? (2)连接 PC

交 DE 于点 F ,连接 A1C 交 AE 于点 G ,连接 FG ,在正方形 BCC1 B1 中利用 知识可得 中,

B1 P PD

?

1 2

及平面几何

PF FC
?

? 2, 在正方形 ACC1 A1 中利用 CE ∥ AA1 且 CE =

1 2

AA1 可得

A1G GC

? 2, 所以在 ?CA1 P
平面

A1G GC

PF FC

=2 ,所以 A1 P GF ,又 A1 P ? 平面 ADE , GF ? 平面 ADE ,所以 A1 P

又切点 T 的坐标为 (4, ?3) , ADE . 17. (1) 由题意, 直线 PT 切于点 T, 则 OT⊥PT, 所以 kOT ? ? 3 ,

k PT ? ?

1 3 ? , 3 kOT
? 3 ? 3x ? y ? 4 ? 0, ( x ? 3) , 即 3x ? y ? 4 ? 0 .联立直线 l 和 PT,? 3 ? ? 3x ? y ? 8 ? 0,

故直线 PT 的方程为 y ? 1 ?

? 2?0 1 3 ?1 ? x ? 2 3, 解得 ? 即 P(2 3, 2) ,所以直线 AP 的斜率为 k ? ,故直线 AP 的方 ? ? 2 2 3?2 3 ?1 ? ? y ? 2,

程为 y ?

3 ?1 ( x ? 2) ,即 ( 3 ? 1) x ? 2 y ? 2( 3 ? 1) ? 0 ,即 x ? ( 3 ? 1) y ? 2 ? 0 .(2)设 P( x, y ) , 2

由 PA=2PT,可得 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 4( x 2 ? y 2 ? 4) ,即 3x 2 ? 3 y 2 ? 4 x ? 20 ? 0 ,即满足 PA=2PT 的点

2 64 P 的 轨 迹 是 一 个 圆 ( x ? )2 ? y 2 ? ,所以问题可转化为直线 9 3 2 64 有公共点,所以 d ? ( x ? )2 ? y 2 ? 3 9 2 3? ?a 3

3x ? y ? a ? 0 与 圆

8 2 3 16 ≤ ,即 | ? a |≤ ,解得 3 3 ( 3) 2 ? 1 3

?16 ? 2 3 16 ? 2 3 30 ? 2 x ≤a≤ . 18. (1)由题意,水平方向每根支条长为 m ? ? 15 ? x cm, 3 3 2
竖直方向每根支条长为 n ?
26 ? y 2 ? 13 ?

x y cm,菱形的边长为 ( ) 2 ? ( ) 2 ? 2 2 2
y

x2 ? y2 2

cm.从而,所

y 需木料的长度之和 L ? 2(15 ? x ) ? 4(13 ? ) ? 8 ? 2 1 260

x2 ? y 2 2

= 82 ? 4 x 2 ? y 2 ? 2( x ? y ) cm. (2)由题意,

?15 ? x ≥ 2, 130 260 2 260 ? ,又由 ? 可得 ≤x≤13 .所以 L ? 82 ? 4 x 2 ? ( xy ? 13 ,即 y ? ) ? 2( x ? ). y 11 x 2 x x 13 ? ≥ 2, ? ? 2
令t ? x ?
260 x

,其导函数 1 ?

260 x
2

? 0在

130 11

≤x≤13 上恒成立,故 t ? x ?

260 x

在[

130 11

,13] 上单调递

7

减,所以可得 t ? [33,

372 11

] .则 L ? 82 ? 2[2 ( x ?

260 x

) 2 ? 520 ? ( x ?

260 x

)]

? 82 ? 2[ t 2 ? 520 ? t 2 ? 520 ? t ] = 82 ? 2[ t 2 ? 520 ?

?520 t 2 ? 520 ? t
372 11

].

因 为 函 数 y ? t 2 ? 520 和 y ?
L ? 82 ? 2[ t 2 ? 520 ? ?520 t ? 520 ? t
2

?520 t ? 520 ? t
2

在 t ? [33,

] 上 均 为 增 函 数 , 所 以

] 在 t ? [33,

372 11

] 上为增函数,故当 t ? 33 ,即 x ? 13, y ? 20 时 L 有

最小值 16 ? 4 569 .答:做这样一个窗芯至少需要 16 ? 4 569 cm 长的条形木料. 19 . (1) ∵ f ?( x) ? ( x ? k )e x , x ? 0 . (i)当 k ≤ 0 时, f ?( x) ? 0恒成立 ,∴ f ( x) 的递增区间是 (0, +?) ,无递

减区间;无极值. (ii)当 k ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得, x ? k ;由 f ?( x) ? 0 得, 0 ? x ? k ;∴ f ( x) 的 递减区间是 (0, k ) ,递増区间是 (k , +?) , f ( x) 的极小值为 f (k ) ? ?ek ,无极大值. ( 2 )①由

f ( x) ? 4 x ,可得 ( x ? k ? 1)e x ? 4 x ? 0 ,因为 e x ? 0 ,所以 x ? k ? 1 ? x ? [1, 2] 恒成立,记 g ( x) ? x ? 1 ?

4x 4x ,即 k ? x ? 1 ? x 对任意 x e e

4x 4(1 ? x) e x ? 4( x ? 1) ? ( ) 1 g x ,则 ,因为 x ? [1, 2] ,所以 ? ? ? ex ex ex 8 e2 ? 8 ? 2 .所以实数 k 的取值 e2 e

g ?( x) ? 0 ,即 g ( x) 在 x ? [1, 2] 上单调递增,故 g ( x) max ? g (2) ? 1 ?
范围为 (

e2 ? 8 , ??) .②由已知 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ( x1 ? x2 ) ,结合(1)可知, k ? 0 , f ( x) 在 (??, k ) 上单 e2

调递减,在 (k , +?) 上单调递增,又 f (k ? 1) ? 0 , x ? k ? 1 时, f ( x) ? 0 .不妨设 x1 ? k ? x2 ? k ? 1 , 此时 x2 ? k , 2k ? x1 ? k ,故要证 x1 ? x2 ? 2k ,只要证 2k ? x1 ? x2 ,只要证 f (2k ? x1 ) ? f ( x2 ) , 因 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,即证 f (2k ? x1 ) ? f ( x1 ) .设 h( x) ? f (2k ? x) ? f ( x) ?
h?( x) ?

(? x ? k ? 1)e 2 k ? ( x ? k ? 1)e x ( x ? k ) , ex

( x ? k )(e 2 k ? e2 x ) ( x ? k ) e2k ? ( x ? k )e x ? , x e ex

∴ 当 x ? k 时 , h?( x) ? 0 , h( x) 在 (??, k ) 上 单 调 递 减 , ∴ x ? (??, k ) 时 ,
h( x) ? h(k ) ? ?e k ? e k ? 0 , 故 当 x ? k 时 , f (2k ? x) ? ( f x) , 即 f (2k ? x1 ) ? ( f x1) 成 立 ,

∴ x1 ? x2 ? 2k .20.(1)数列 ?an ? , ?bn ? 都为递增数列,∴ an ?1 ? an ? 2 , b2 ? ?2b1 ,

? ?1, n ? 1, (2)①∵数列 ?an ? 满足:存在 bn ? 2 ? 2bn ?1 , n ? N ? ,∴ an ? 2n ? 1 , bn ? ? n ?1 ? 2 , n≥ 2.
唯一的正整数 k =5 ,使得 ak ? ak ?1 ,且 an ?1 ? an ? 2 ,∴数列 ?an ? 必为 1,3, 5, 7, 5, 7, 9,11, ??? ,即
8

前 4 项为首项为 1,公差为 2 的等差数列,从第 5 项开始为首项 5,公差为 2 的等差数列, 故 Sn ? ?
2 ? n ≤ 4, ?n , 2 ? ? n ? 4n ? 15, n≥ 5.

2 2 ② ∵ bn | bn |? 2 n ?1 . 而数列 ?bn ? 为“ q 坠点数列”且 b1 ? ?1 , ?1 ? 4bn ,即 bn ?1 ? ?2bn ,?

∴数列 ?bn ? 中有且只有两个负项.假设存在正整数 m ,使得 Sm +1 ? Tm ,显然 m ? 1,且 Tm 为 奇数,而 ?an ? 中各项均为奇数,∴ m 必为偶数. Sm?1 ? 1 ? 3 ? ??? ? ? 2m ? 1? ? (m ? 1)
i.当 q ? m 时, Tm ? ?1 ? 21 ? ??? ? 2 m ? 2 ? 2 m ?1 ? 2 m ? 3.
2

.

当 m≥ 6 时, 2 ? 3 ? ( m ? 1) ,故不存在 m ,使得 Sm ?1 ? Tm 成立.
m

2

ii.当 q ? m 时, Tm ? ?1 ? 21 ? ??? ? 2 m ? 2 ? 2 m ?1 ? ?3 ? 0 ,

显然不存在 m ,使得 Sm ?1 ? Tm 成立.
iii.当 q ? m 时, Tm ≥ ? 1 ? 21 ? ??? ? +2 m ?3 ? ?2 m ? 2 ? 2 m ?1 ? 2 m ?1 ? 3 ,

?

? ?

?

当2

m ?1

? 3≤ (m ? 1) 2 时,才存在 m ,使得 Sm?1 ? Tm 成立,所以 m ≤ 6 .

当 m ? 6 时, q ? 6 ,构造: ?an ? 为 1,3,1,3,5, 7,9, ??? , ?bn ? 为 ?1, 2, 4,8, ?16, 32, ??? 此时 p ? 3 , q ? 5 ,所以 m 的最大值为 6 .

9


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