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2015届高考数学总复习第七章 推理与证明第3课时 数学归纳法课时训练


第七章 推理与证明第 3 课时 数学归纳法(理科专用) 1 1 1 1. 用数学归纳法证明 1+ + +?+ n <n(n∈N*,n>1)时,第一步应验证不等式 2 3 2 -1 ________. 1 1 答案:1+ + <2 2 3 1 1 解析:∵ n∈N*,n>1,∴ n 取的第一个自然数为 2,左端分母最大的项为 2 = , 2 -1 3 1 1 故填 1+ + <2. 2 3 2. 凸 n 边形有 f(n)条对角线,则凸 n+1 边形对角线的条数 f(n+1)为________. 答案:f(n)+n-1 解析:增加一个顶点,就增加 n+1-3 条对角线,另外原来的一边也变成了对角线,故 f(n+1)=f(n)+1+n+1-3=f(n)+n-1. 3. 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=n2an(n≥2),而 a1=1,通过计算 a2、a3、a4,猜想 an= ________. 2 答案: n(n+1) 解析:由 Sn=n2an 知 Sn+1=(n+1)2an+1, ∴ Sn+1-Sn=(n+1)2an+1-n2an, ∴ an+1=(n+1)2an+1-n2an, n ∴ an+1= a (n≥2). n+2 n 当 n=2 时,S2=4a2. 又 S2=a1+a2, a1 1 2 1 3 1 ∴ a2= = ,a3= a2= ,a4= a3= . 3 3 4 6 5 10 1 1 1 2 由 a1=1,a2= ,a3= ,a4= ,猜想 an= . 3 6 10 n(n+1) 1 1 1 4. 用数学归纳法证明“1+ + +?+ n <n(n∈N*,n>1)”时,由 n=k(k>1)不等 2 3 2 -1 式成立,推证 n=k+1 时,左边应增加的项数是________. 答案:2k + + 解析:增加的项数为(2k 1-1)-(2k-1)=2k 1-2k=2k. n * 5. 已知 f(n)=(2n+7)3 +9(n∈N ),存在自然数 m,使得对任意 n∈N*,都能使 m 整除 f(n),则最大的 m 的值为________. 答案:36 解析:∵ f(1)=36,f(2)=36×3,f(3)=36×10,∴ f(1),f(2),f(3)能被 36 整除,猜想 f(n)能被 36 整除. 1 3 1 1 5 1 1 1 7 6. 观察下列式子:1+ 2< ,1+ 2+ 2< ,1+ 2+ 2+ 2< ,?,则可归纳出____. 2 2 2 3 3 2 3 4 4 2n+1 1 1 1 答案:1+ 2+ 2+?+ < (n∈N*) 2 3 (n+1)2 n+1 2×1+1 1 3 1 1 1 5 1 1 解析:1+ 2< ,即 1+ < ;1+ 2+ 2< ,即 1+ + 2 2 2 3 3 (1+1)2 1+1 (1+1)2 (2+1)2 2×2+1 < , 2+1 2n+1 1 1 1 归纳出 1+ 2+ 2+?+ < (n∈N*). 2 3 (n+1)2 n+1 第 1 页 共 3 页 1 1 1 7. 设 f(n)= + +?+ (n∈N*),那么 f(n+1)-f(n)=________. 2n n+1 n+2 1 1 答案: - 2n+1 2n+2 解析:f(n+1)-f(n) 1 1 1 1 1 =?(n+1)+1+(n+1)+2+?+2n+ 2n+1+2(n+1)? ? ? 1 1 1 -?n+1+n+2+?+2n? ? ? 1 1 1 1 1 = + - = - . 2n+1 2(n+1) n+1

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