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【高优指导】2017版高考数学一轮复习 第十二章 推理与证明、算法初步与复数 53 归纳与类比考点规范练 文


考点规范练 53

归纳与类比
考点规范练 A 册第 42 页 基础巩固组

1.下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质; ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是 180°,归纳出所有三角形的内角和都是 180°; ③某次考试张军成绩是 100 分,由此推出全班同学成绩都是 100 分; ④三角形的内角和是 180°,四边形的内角和是 360°,五边形的内角和是 540°,由此得出 n 边形的 内角和是(n-2)·180°. A.①② B.①③ C.①②④ D.②④ 答案:C 解析:①是类比推理,②④是归纳推理,③是非合情推理. 2.“因为对数函数 y=logax 是增函数(大前提),而 y=lox 是对数函数(小前提),所以 y=lox 是增函数 (结论)”,以上推理的错误是( ) A.大前提错误导致结论错误 B.小前提错误导致结论错误 C.推理形式错误导致结论错误 D.大前提和小前提均错误导致结论错误 答案:A 解析:当 a>1 时,函数 y=logax 是增函数; 当 0<a<1 时,函数 y=logax 是减函数.故大前提错误导致结论错误. 2 4 3 3.(2015 山东临沂模拟)观察(x )'=2x,(x )'=4x ,(cos x)'=-sin x,由归纳推理得:若定义在 R 上的 函数 f(x)满足 f(-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)=( ) A.f(x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) 答案:D 解析:由已知得偶函数的导函数为奇函数,故 g(-x)=-g(x). 2 2 3 3 4 4 5 5 10 10 4.观察下列各式:a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,a +b =11,?,则 a +b 等于( ) A.28 B.76 C.123 D.199 答案:C 解析:从给出的式子特点观察可推知,等式右端的值,从第三项开始,后一个式子的右端值等于它前 10 10 面两个式子右端值的和,照此规律,则 a +b =123. 5.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,a1=-,满足 Sn++2=an(n≥2),则 S2 015=( ) A.B.C.D.-?导学号 32470543? 答案:D 解析:利用归纳推理求解. 由 Sn++2=an=Sn-Sn-1, 得=-Sn-1-2(n≥2). 又 S1=a1=-, 所以 S2=-,S3=-,S4=-. 由归纳推理可得 S2 015=-. 6.(2015 浙江,文 8)设实数 a,b,t 满足|a+1|=|sin b|=t.( ) 2 A.若 t 确定,则 b 唯一确定 2 B.若 t 确定,则 a +2a 唯一确定 C.若 t 确定,则 sin 唯一确定 1

D.若 t 确定,则 a +a 唯一确定 答案:B 2 解析:当 t=0 时,sin b=0,即 b=kπ ,k∈Z,所以 b 不确定,故 A 错; sin=sin=0 或 1 或-1,故 C 错; 2 2 当 t=2 时,|a+1|=2,解得 a=1 或 a=-3,所以 a +a=2 或 a +a=6,故 D 错; 2 2 2 2 因为|a+1|=t,所以 a +2a=t -1;当 t 确定时,t -1 唯一确定,即 a +2a 唯一确定,故 B 正确. 7.(2015 郑州模拟)从 1 开始的自然数按如图所示的规则排列,现有一个三角形框架在图中上下或左 右移动,使每次恰有九个数在此三角形内,则这九个数的和可以为( )

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A.2 011 B.2 012 C.2 013 D.2 014?导学号 32470544? 答案:B 解析:根据题干图所示的规则排列,设第一层的一个数为 a,则第二层的三个数为 a+7,a+8,a+9,第三 层的五个数为 a+14,a+15,a+16,a+17,a+18,这 9 个数之和为 a+3a+24+5a+80=9a+104. 由 9a+104=2 012,得 a=212,是自然数.故选 B. 8.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 答案:A 解析:由丙的说法“三人去过同一城市”知乙至少去过一个城市,而甲说去过的城市比乙多,且没去 过 B 城市,因此甲一定去过 A 城市和 C 城市.又乙没去过 C 城市,所以三人共同去过的城市必为 A,故 乙去过的城市就是 A. 9.在平面几何中有如下结论:正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1,外接圆面积为 S2,则,推广到空间可 以得到类似结论:已知正四面体 P-ABC 的内切球体积为 V1,外接球体积为 V2,则= . 答案: 10.若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系: ①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4 有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数 是 .?导学号 32470545? 答案:6 解析:根据题意可分四种情况: (1)若①正确,则 a=1,b=1,c≠2,d=4,符合条件的有序数组有 0 个; (2)若②正确,则 a≠1,b≠1,c≠2,d=4,符合条件的有序数组为(2,3,1,4)和(3,2,1,4); (3)若③正确,则 a≠1,b=1,c=2,d=4,符合条件的有序数组为(3,1,2,4); (4)若④正确,则 a≠1,b=1,c≠2,d≠4,符合条件的有序数组为 (2,1,4,3),(4,1,3,2),(3,1,4,2). 所以共有 6 个. 故答案为 6. 11.用三段论的形式写出下列演绎推理. (1)若两角是对顶角,则此两角相等,∠1 和∠2 是对顶角,则∠1=∠2; (2)矩形的对角线相等,正方形是矩形,所以正方形的对角线相等. 解:(1)若两角是对顶角,则此两角相等,(大前提) ∠1 和∠2 是对顶角,(小前提) ∠1=∠2.(结论) (2)矩形的对角线相等,(大前提) 正方形是矩形,(小前提) 正方形的对角线相等.(结论) 12.在锐角三角形 ABC 中,求证:sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C. 2

证明:∵△ABC 为锐角三角形, ∴A+B>,∴A>-B, ∵y=sin x 在上是增函数, ∴sin A>sin=cos B, 同理可得 sin B>cos C,sin C>cos A, ∴sin A+sin B+sin C>cos A+cos B+cos C. 能力提升组 13.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的 语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”. 如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的 两位学生,那么这组学生最多有( ) A.2 人 B.3 人 C.4 人 D.5 人?导学号 32470546? 答案:B 解析:用 A,B,C 分别表示优秀、及格和不及格.显然,语文成绩得 A 的学生最多只有一人,语文成绩 得 B 的也最多只有 1 人,得 C 的也最多只有 1 人,所以这组学生的成绩为(AC),(BB),(CA)满足条件, 故学生最多为 3 人. x -x x -x 14.类比“两角和与差的正弦公式”的形式,对于给定的两个函数:S(x)=a -a ,C(x)=a +a ,其中 a>0, 且 a≠1,下面正确的运算公式是( ) ①S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y); ②S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y); ③2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y); ④2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y). A.①② B.③④ C.①④ D.②③?导学号 32470547? 答案:B 解析:经验证易知①②错误.依题意,注意到 x+y -x-y 2S(x+y)=2(a -a ),S(x)C(y)+C(x)S(y) =2(ax+y-a-x-y), 因此有 2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y); 同理有 2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y). 15.已知 f(x)=,x≥0,若 f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+,则 f2 014(x)的表达式为 . 答案:f2 014(x)= 解析:由 f1(x)=? f2(x)=f;又可得 f3(x)=f(f2(x))=, 故可猜想 f2 014(x)=. 16.观察下列等式: 2 2 2 3 +4 =5 , 2 2 2 2 2 10 +11 +12 =13 +14 , 2 2 2 2 2 2 2 21 +22 +23 +24 =25 +26 +27 , 2 2 2 2 2 2 2 2 2 36 +37 +38 +39 +40 =41 +42 +43 +44 , ?? 由此得到第 n(n∈N+)个等式为 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 答案:(2n +n) +(2n +n+1) +?+(2n +n+n) =(2n +n+n+1) +(2n +n+n+2) +?+(2n +n+2n) 解析:第一式的第一个数为 1×3;第二式的第一个数为 2×5;第三式的第一个数为 3×7,故第 n 式的 第一个数为 n×(2n+1),每一式有(2n+1)个数,且等号右边 n 个,等号左边(n+1)个,故满足条件的第 n 个等式为(2n2+n)2+(2n2+n+1)2+?+(2n2+n+n)2=(2n2+n+n+1)2+(2n2+n+n+2)2+?+(2n2+n+2n)2. 3 2 17.对于三次函数 f(x)=ax +bx +cx+d(a≠0),给出定义:设 f'(x)是函数 y=f(x)的导数,f″(x)是 f'(x)的导数,若方程 f″(x)=0 有实数解 x0,则称点(x0,f(x0))为函数 y=f(x)的“拐点”.某同学经 过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对 3 2 称中心.若 f(x)=x -x +3x-,请你根据这一发现, 3 2 (1)求函数 f(x)=x -x +3x-的对称中心; (2)计算 f+f+f+f+?+f. 3

解:(1)f'(x)=x -x+3,f″(x)=2x-1, 由 f″(x)=0,即 2x-1=0, 解得 x=. f+3×=1. 3 2 由题中给出的结论,可知函数 f(x)=x -x +3x-的对称中心为. 3 2 (2)由(1),知函数 f(x)=x -x +3x-的对称中心为, 所以 f+f=2, 即 f(x)+f(1-x)=2. 故 f+f=2, f+f=2, f+f=2, ?? f+f=2. 所以 f+f+f+f+?+f×2×2 014=2 014.

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