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高中数学选修4-5知识点(最全版)

高中数学选修 4-5 知识点 1.不等式的基本性质

1.实数大小的比较 (1)数轴上的点与实数之间具有一一对应关系. (2)设 a、b 是两个实数,它们在数轴上所对应的点分别是 A、B. 当点 A 在点 B 的左边时,a<b;当点 A 在点 B 的右边时,a>b. (3)两个实数的大小与这两个实数差的符号的关系 (不等式的意 义)

a>b?a-b>0 ? ? ?a=b?a-b=0 ? ?a<b?a-b<0
(4)两个实数比较大小的步骤 ①作差;②变形;③判断差的符号;④结论. 2.不等关系与不等式 (1)不等号有≠,>,<,≥,≤共 5 个. (2)相等关系和不等关系 任意给定两个实数,它们之间要么相等,要么不相等.现实生活 中的两个量从严格意义上说相等是特殊的、相对的,不等是普遍的、 绝对的,因此绝大多数的量都是以不等关系存在的. (3)不等式的定义:用不等号连接起来的式子叫做不等式. (4)不等关系的表示:用不等式或不等式组表示不等关系. 3.不等式的基本性质

(1)对称性:a>b?b<a; (2)传递性:a>b,b>c?a>c; (3)可加性:a>b,c∈R?a+c>b+c; (4)加法法则:a>b,c>d?a+c>b+d; (5)可乘性:a>b,c>0?ac>bc;a>b,c<0?ac<bc; (6)乘法法则:a>b>0,c>d>0?ac>bd; (7)乘方法则:a>b>0,n∈N 且 n≥2?an>bn; (8)开方法则:a>b>0,n∈N 且 n≥2? a> b. 1 1 (9)倒数法则,即 a>b>0? < .

n

n

a b

2.基本不等式 1.重要不等式 定理 1:如果 a,b∈R,那么 a2+b2≥2ab,当且仅当 a=b 时, 等号成立. 2.基本不等式 (1)定理 2:如果 a,b>0,那么 a ? b ? 2 ab ( 仅当 a=b 时,等号成立. (2)定理 2 的应用:对两个正实数 x,y, ①如果它们的和 S 是定值,则当且仅当 x=y 时,它们的积 P 取 得最大值,最大值为 . 4 ②如果它们的积 P 是定值,则当且仅当 x=y 时,它们的和 S 取 a+b ≥ ab),当且 2

S2

得最小值,最小值为 2 P. 3.基本不等式 ab≤

a+b
2

的几何解释

如图,AB 是⊙O 的直径,C 是 AB 上任意一点,DE 是过 C 点垂直

AB 的弦.若 AC=a,BC=b,则 AB=a+b,⊙O 的半径 R=

a+b
2

,Rt ,

△ACD∽Rt△DCB, CD2=AC·BC=ab, CD= ab, CD≤R? ab≤ 当且仅当 C 点与 O 点重合时,CD=R= 4.几个常用的重要不等式 (1)如果 a∈R,那么 a2≥0,当且仅当 a=0 时取等号;

a+b
2

AB
2

,即 ab=

a+b
2

.

(a+b)2 (2)如果 a,b>0,那么 ab≤ ,当且仅当 a=b 时等号成 4 立. 1 (3)如果 a>0,那么 a+ ≥2,当且仅当 a=1 时等号成立.

a

(4)如果 ab>0,那么 + ≥2,当且仅当 a=b 时等号成立.

a b b a

3.三个正数的算术?几何平均不等式 1.如果 a、b、c∈R+,那么 a3+b3+c3≥3abc,当且仅当 a=b =c 时,等号成立.

2. (定理 3)如果 a、 b、c∈R+,那么 a ? b ? c ? 3 3 abc 3

(

a+b+c
3



abc),当且仅当 a=b=c 时,等号成立.即三个正数的算术平均不

小于它们的几何平均. 3.如果 a1,a2,?,an∈R+,那么

a1+a2+?+an n ≥ a1a2?an, n

当且仅当 a1=a2=?=an 时, 等号成立. 即对于 n 个正数 a1, a2,?,

an,它们的算术平均不小于它们的几何平均.
二 绝对值不等式

1.绝对值三角不等式

1.绝对值及其几何意义
? ?a(a≥0) (1)绝对值定义:|a|=? ? ?-a(a<0)

(2)绝对值几何意义:实数 a 的绝对值|a|表示数轴上坐标为 a 的点 A 到原点 O 的距离|OA|. (3)数轴上两点间的距离公式: 设数轴上任意两点 A, B 分别对应 实数 x1,x2,则|AB|=|x1-x2|. 2.绝对值三角不等式 (1)定理 1:如果 a,b 是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当

ab≥0 时,等号成立.
推论 1:如果 a,b 是实数,那么|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|. 推论 2:如果 a,b 是实数,那么|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.

(2)定理 2:如果 a,b,c 是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-

c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0 时,等号成立.

2.绝对值不等式的解法

1.|x|<a 与|x|>a 型不等式的解法 设 a>0,则(1)|x|<a?-a<x<a; (2)|x|≤a?-a≤x≤a; (3)|x|>a?x<-a 或 x>a; (4)|x|≥a?x≤-a 或 x≥a. 2.|ax+b|≤c(c>0)与|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 (1)|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c; (2)|ax+b|≥c?ax+b≤-c 或 ax+b≥c. 3.|x-a|+|x-b|≤c 与|x-a|+|x-b|≥c 型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想,理 解绝对值的几何意义,给绝对值不等式以准确的几何解释. (2)以绝对值的零点为分界点,将数轴分为几个区间,利用“零 点分段法”求解, 体现分类讨论的思想. 确定各个绝对值号内多项式 的正、负号,进而去掉绝对值号. (3)通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的 思想.正确求出函数的零点并画出函数图象(有时需要考察函数的增 减性)是关键.

注:绝对值的几何意义 (1)|x|的几何意义是数轴上点 x 与原点 O 的距离; (2)|x-a|+|x-b|的几何意义是数轴上点 x 到点 a 和点 b 的距 离之和; (3)|x-a|-|x-b|的几何意义是数轴上点 x 到点 a 和点 b 的距 离之差. 2.绝对值不等式的几何意义 (1)|x|≤a(a>0)的几何意义是以点 a 和-a 为端点的线段,|x| ≤a 的解集是[-a,a]. (2)|x|>a(a>0)的几何意义是数轴除去以点 a 和-a 为端点的线 段后剩下的两条射线,|x|>a 的解集是(-∞,-a)∪(a,+∞). 3.解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值变形为不含绝对值的 不等式(组)求解. 例题:例如:分类讨论法:即通过合理分类去绝对值后再求解。 例 1: 解不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 5 。 分析:由 x ? 1 ? 0 , x ? 2 ? 0 ,得 x ? 1 和 x ? 2 。 ? 2 和1 把实数集 合分成三个区间,即 x ? ?2 , ? 2 ? x ? 1 , x ? 1 ,按这三个区间可去 绝对值,故可按这三个区间讨论。 解:当 x<-2 时,得 ?
? x ? ?2 , ??( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 5 ??2 ? x ? 1, , ??( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 5

解得: ? 3 ? x ? ?2

当-2≤x≤1 时,得 ?

解得: ? 2 ? x ? 1

当 x ? 1 时,得 ?

? x ? 1, ?( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 5.



解得:1 ? x ? 2

综上,原不等式的解集为 ?x ? 3 ? x ? 2?。

例 2:解不等式|2x-4|-|3x+9|<1. 解:①当 x>2 时,原不等式可化为
? ?x>2, ? ? ?(2x-4)-(3x+9)<1,

解得 x>2. ②当-3≤x≤2 时,原不等式可化为
?-3≤x≤2, ? ? ? ?-(2x-4)-(3x+9)<1,

6 解得- <x≤2. 5 ③当 x<-3 时,原不等式可化为
? ?x<-3, ? ?-(2x-4)+(3x+9)<1, ?

解得 x<-12. 6 综上所述,原不等式的解集为 {x|x<-12 或 x>- }. 5 第二讲 证明不等式的基本方法 一 比较法主要有 1.作差比较法 1.作差比较法(简称比差法) (1)作差比较法的证明依据是:a>b?a-b>0;a=b?a-b=0; 比较法 2.作商比较法

a<b?a-b<0.
(2)基本步骤是:①作差;②变形;③判号;④结论. 2.作商比较法(简称比商法) (1)作商比较法的证明依据是:当 b>0 时, >1?a>b; =1?a =b; <1?a<b. (2)基本步骤是: ①作商; ②变形; ③比较与 1 的大小; ④结论. 注意:对作差比较法的理解 (1)在证明不等式的各种方法中,作差比较法是最基本、最重要 的方法. 作差比较法是通过确定不等式两边的差的符号来证明不等式 的,因而其应用非常广泛. (2)不等式差的符号是正是负,一般必须利用不等式的性质经过 变形才能判断, 其中变形的目的在于判断差的符号, 而不必考虑差的 值是多少.变形的方法主要有配方法、通分法、因式分解法等. (3)作差比较法,主要适用于不等式两边是整式或分式型的有理 不等式的证明. (4)在判定不等式两边的式子同号的条件下,如果直接作差不易 变形,可以借助不等式性质作平方差或立方差,进行证明. 2.对作商比较法的理解 (1)使用作商法证明不等式 a>b 时,一定要注意 b>0 这个前提条 件.若 b<0, <1?a>b, =1?a=b, >1?a<b. (2)当欲证明的不等式的两边是乘积形式、指数幂形式,不同底

a b

a b

a b

a b

a b

a b

的对数式形式时,常用作商法证明. 二 综合法与分析法 1.综合法 一般地,从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经 过一系列的推理、 论证而得出命题成立, 这种证明方法叫做综合法. 综 合法又叫顺推证法或由因导果法. 2.分析法 证明命题时, 从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件, 直到所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证 明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做 分析法.这是一种执果索因的思考和证明方法. 注意: 1.用综合法证明不等式的逻辑关系

A?B1?B2???Bn?B
由已知逐步推演不等式成立的必要条件,从而得结论. 2.用分析法证明不等式的逻辑关系

A?B1?B2???Bn?B
由结论步步寻求不等式成立的充分条件,从而到已知. 3.综合法和分析法的比较 (1)相同点:都是直接证明. (2)不同点:综合法:由因导果,形式简洁,易于表达;分析法: 执果索因,利于思考,易于探索.

4.证明不等式的通常做法 常用分析法找证题切入点,用综合法写证题过程. 三 反证法与放缩法 1.反证法 证明不等式时,首先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结 合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得 到和命题的条件(或已证明的定理、 性质、 明显成立的事实等)矛盾的 结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立.我们把它称之为反 证法. 2.放缩法 证明不等式时, 通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小, 简 化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法. 3.换元法 将所证的不等式的字母作适当的代换, 以达到简化证题过程的目 的,这种方法称为换元法. 注意: 1.关于反证法 (1)反证法的原理是否定之否定等于肯定. 即 第一次否定 — 在假设中,否定了结论 ↓ 第二次否定 — 通过推理论证,又否定了假设 (2)反证法的使用范围

一般以下几种情况适宜使用反证法: ①结论本身是以否定形式出现的一类命题; ②有关结论是以“至多?”或“至少?”的形式出现的一类命 题; ③关于唯一性、存在性的命题; ④结论的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题. (3)使用反证法的主要步骤

(4)准确地作出反设是反证法证题的前提,下面是常用词语的反 设

原结论 是

反设 不是

原结论 至少有一

反设 一个也没有

个 至少有一 都是 个不是 大于 小于 小于等于 个 大于等于 至多有 n 个 至少有(n+1) 个 至少有 n 至多有(n-1) 至多有一 至少有两个

个 对所有 x 成立 对任何 x 不成立 至少有一

个 非 p 且非 q

p或q
个 x 不成立 至少有一

p且q
个 x 成立 (5)运用反证法的五点说明

非 p 或非 q

①反设时一定不能把“假设”写成“设”. ②当结论的反面有多种可能时, 必须全部列出, 否则证明是不完 整的. ③必须从结论的否定出发进行推理, 就是一定把结论的否定作为 推理的条件,只要推理中没有用到“假设”就不是反证法. ④最后导出的矛盾是多样的,可能与已知矛盾、与假设矛盾、与 定义、 定理、 公式矛盾、 与已知的事实矛盾等, 但矛盾必须是明显的. ⑤反证法是一种间接证明的方法. 2.关于放缩法 (1)放缩法证明不等式的理论依据有: ①不等式的传递性; ②等量加不等量为不等量. 其中减去一个正 数值变小(缩), 加上一个正数值变大(放); ③同分子(分母)异分母(分 子)的两个分式大小的比较;④基本不等式与绝对值三角不等式;⑤ 三角函数的有界性等. (2)运用放缩法证题的关键是: 放大或缩小要适当,千万不能放(缩)过头,否则问题无法获证.

(3)使用放缩法的常用变形 放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一, 放缩必须有目标, 而且要恰到好处, 目标往往从要证明的结论考虑. 常用的放缩法有增 项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、
? 1? 2 3 ? 1? 2 1 利 用 函 数 的 性 质 等 进 行 放 缩 . 比 如 : ?a+ ? + > ?a+ ? ; 2 2? 2? 4 ? n ?

<

1 1 1 1 2 (n∈N 且 n≥2); 2> (n∈N*); < n(n-1) n n(n+1) n n+ n-1 1

(n∈N 且 n≥2), 等. 第三讲

n

>

2

n+ n+1

; 当 a>b>0, m>0 时, <

b b+m a a+m ,> a a+m b b+m

柯西不等式与排序不等式

1.二维形式的柯西不等式 若 a,b,c,d 都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且 仅当 ad=bc 时,等号成立. 2.柯西不等式的向量形式 设 α ,β 是两个向量,则|α ·β |≤|α ||β |,当且仅当 β 是 零向量,或存在实数 k,使 α =kβ 时,等号成立. 3.二维形式的三角不等式 设 x1 , y 1 , x2 , y2 ∈ R , 那 么 (x1-x2)2+(y1-y2)2. 注意: 1.二维柯西不等式的三种形式及其关系 定理 1 是柯西不等式的代数形式, 定理 2 是柯西不等式的向量形
2 x2 1+y1 + 2 x2 2+y2 ≥

式,定理 3 是柯西不等式的三角形式. 根据向量的意义及其坐标表示不难发现二维形式的柯西不等式 及二维形式的三角不等式均可看作是柯西不等式的向量形式的坐标 表示. 2.理解并记忆三种形式取“=”的条件 (1)代数形式中当且仅当 ad=bc 时取等号. (2)向量形式中当存在实数 k,α =kβ 或 β =0 时取等号. (3)三角形式中当 P1,P2,O 三点共线且 P1,P2 在原点 O 两旁时取 等号. 3.掌握二维柯西不等式的常用变式 (1) (2) (3)

a2+b2· c2+d2≥|ac+bd|. a2+b2· c2+d2≥|ac|+|bd|.

a2+b2· c2+d2≥ac+bd.

(4)(a+b)(c+d)≥( ac+ bd)2. 4.基本不等式与二维柯西不等式的对比 (1)基本不等式是两个正数之间形成的不等关系.二维柯西不等 式是四个实数之间形成的不等关系, 从这个意义上讲, 二维柯西不等 式是比基本不等式高一级的不等式. (2)基本不等式具有放缩功能,利用它可以比较大小,证明不等 式,当和(或积)为定值时,可求积(或和)的最值,同样二维形式的柯 西不等式也有这些功能, 利用二维形式的柯西不等式求某些特殊函数 的最值非常有效.



一般形式的柯西不等式

1.三维形式的柯西不等式
2 2 2 2 2 设 a1,a2,a3,b1,b2,b3 是实数,则(a1 +a2 +a2 3)(b1+b2+b3)≥

(a1b1+a2b2+a3b3)2,当且仅当 bi=0(i=1,2,3)或存在一个数 k,使 得 ai=kbi(i=1,2,3)时,等号成立. 2.一般形式的柯西不等式
2 设 a1,a2,a3,?,an,b1,b2,b3,?,bn 是实数,则(a1 +a2 2+? 2 2 2 2 +a2 当且仅当 bi=0(i= n)(b1+b2+?+bn)≥(a1b1+a2b2+?+anbn) ,

1,2,?,n)或存在一个数 k,使得 ai=kbi(i=1,2,?,n)时,等 号成立. 注意: 1.对柯西不等式一般形式的说明: 一般形式的柯西不等式是二维形式 、三维形式、四维形式的柯 西不等式的归纳与推广, 其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结, 左边是平方和的积, 右边是积的和的平方. 运用时的关键是构造出符 合柯西不等式的结构形式. 2.关于柯西不等式的证明: 对于函数 f(x)=(a1x-b1)2+(a2x-b2)2 +?+(anx-bn)2,显然

f(x)≥0 时 x∈R 恒成立,
2 2 2 2 即 f(x)=(a1 +a 2 2+?+an )x -2(a1b1+a2b2+?+anbn)x+(b1 + 2 b2 2+?+bn)≥0 对 x∈R 恒成立, 2 2 2 2 ∴Δ = 4(a1b1+a2b2+?+anbn)2-4(a2 1+a2+?+an)(b1+b2+?

+b2 n)≤0,
2 2 2 2 2 除以 4 得(a1 +a2 2+?+an)·(b1+b2+?+bn)≥ (a1b1+a2b2+?

+anbn)2. 3.一般形式柯西不等式成立的条件: 由柯西不等式的证明过程可知Δ =0?f(x)min=0?a1x-b1=a2x -b2=?=anx-bn=0?b1=b2=?=bn=0,或 = =?= . 4.柯西不等式的几种常见变形:
2 2 2 2 2 (1) 设 a2 1 + a 2 +?+ a n = b 1 + b 2 +?+ b n = 1 ,则-1≤a1b1 + a2b2

a1 a2 b1 b2

an bn

+?+anbn≤1; (2) 设 ai ∈ R(i = 1 , 2 , 3 , ? , n) , 则
2 2 a2 1+a2+?+an ; n 2 a1 a2 a2 2 n (3)设 ai∈R ,bi>0(i =1 ,2, 3,?,n) ,则 + +?+ ≥ b1 b2 bn

a1+a2+?+an ≤ n

(a1+a2+?+an)2 ; b1+b2+?+bn (4) 设 aibi>0(i = 1 , 2 , 3 , ? , n) , 则 (a1+a2+?+an)2 . a1b1+a2b2+?+anbn 三 排序不等式

a1 a2 an + +?+ ≥ b1 b2 bn

1.乱序和、反序和、顺序和 设 a1≤a2≤?≤an,b1≤b2≤?≤bn 为两组实数,c1,c2,?,cn

为 b1, b2, ?, bn 的任一排列, 称 a1c1+a2c2+a3c3+?+ancn 为乱序和,

a1bn+a2bn - 1+a3bn - 2+?+anb1 为反序和,a1b1+a2b2 +a3b3+?+anbn
为顺序和. 2.排序不等式(又称排序原理) 设 a1≤a2≤?≤an,b1≤b2≤?≤bn 为两组实数,c1,c2,?,cn 是 b1,b2,?,bn 的任一排列,那么 a1bn+a2bn-1+?+anb1≤a1c1+a2c2 +?+ancn≤a1b1+a2b2+?+anbn, 当且仅当 a1=a2=?=an 或 b1=b2=?=bn 时,反序和等于顺序 和. 3.排序原理的简记 反序和≤乱序和≤顺序和. 第四讲 用数学归纳法证明不等式 一 1.数学归纳法的定义 一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数 n0 的所有正整 数 n 都成立时,可以用以下两个步骤: (1)证明当 n=n0 时命题成立. (2)假设当 n=k(k∈N+且 k≥n0)时命题成立, 证明当 n=k+1 时 命题也成立. 在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于 n0 的所有 正整数都成立,这种证明方法称为数学归纳法. 2.数学归纳法的适用范围 数学归纳法

适用于证明一个与无限多个正整数有关的命题. 3.数学归纳法的步骤 (1)(归纳奠基)验证当 n=n0(n0 为命题成立的起始自然数)时命 题成立; (2)(归纳递推)假设当 n=k(k∈N+,且 k≥n0)时命题成立,推导

n=k+1 时命题也成立.
(3)结论:由(1)(2)可知,命题对一切 n≥n0 的自然数都成立. 注意: 用数学归纳法证明, 关键在于两个步骤要做到“递推基础 不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉”,因此必须注意以下三 点: (1)验证是基础.数学归纳法的原理表明:第一个步骤是要找一 个数 n0,这个 n0 就是我们要证明的命题对象的最小自然数,这个自 然数并不一定就是“1”,因此“找准起点,奠基要稳”是正确运用 数学归纳法要注意的第一个问题. (2)递推是关键. 数学归纳法的实质在于递推, 所以从“k”到 “k +1”的过程,必须把归纳假设“n=k”时命题成立作为条件来导出 “n=k+1”时命题成立,在推导过程中,要把归纳假设用上一次或 几次,没有用上归纳假设的证明不是数学归纳法. (3)正确寻求递推关系. 数学归纳法的第二步递推是至关重要的, 那么如何寻找递推关系呢?①在第一步验证时, 不妨多计算几项, 并 正确写出来, 这样对发现递推关系是有帮助的; ②探求数列的通项公 式时,要善于观察式子或命题的变化规律,观察 n 处在哪个位置;③

在书写 f(k+1)时,一定要把包含 f(k)的式子写出来,尤其是 f(k) 中的最后一项.除此之外,多了哪些项,少了哪些项都要分析清楚. 二 用数学归纳法证明不等式举例

1.数学归纳法证明不等式 (1)用数学归纳法证明一个与正整数有关的不等式的步骤. ①证明:当 n 取第一个值 n0 时结论成立; ②假设当 n=k(k∈N+,且 k≥n0)时结论成立,证明当 n=k+1 时结论也成立. 由①②可知命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立. (2)用数学归纳法证明不等式的重点. 用数学归纳法证明不等式的重点在第二步(同时也是难点所在), 即假设 f(k)>g(k)成立,证明 f(k+1)>g(k+1)成立. 2.贝努利不等式 (1)定义: 如果 x 是实数, 且 x > -1 , x≠0, n 为大于 1 的自然数, 那么有(1+x)n>1+nx. (2)作用:在数学研究中经常用贝努利不等式把二项式的乘方(1 +x)n 缩小为简单的 1+nx 的形式,这在数值估计和放缩法证明不等 式中有重要应用.例如:当 x 是实数,且 x>-1,x≠0 时,由贝努利 不等式不难得到不等式?1-
? ?

x ?n nx ? >1- 对一切不小于 2 的正整数 1+x? 1+x

n 成立.
(3)贝努利不等式的一般形式. (1)当 α 是实数,并且满足 α >1 或 α <0 时,有(1+x)α ≥1+

α x(x>-1); (2)当 α 是实数,并且满足 0<α <1 时,有(1+x)α ≤1+α x(x> -1). 3.归纳—猜想—证明的思想方法 数学归纳法作为一种重要的证明方法, 常常体现在“归纳—猜想 —证明”这一基本思想方法中. 一方面可用数学归纳法证明已有的与 自然数有关的结论; 更重要的是, 要用不完全归纳法去发现某些结论、 规律并用数学归纳法证明其正确性, 形成“观察—归纳—猜想—证明” 的思想方法. 1.关于用数学归纳法证明不等式的四点注意 (1)在从 n=k 到 n=k+1 的过程中,应分析清楚不等式两端(一 般是左端)项数的变化,也就是要认清不等式的结构特征. (2)瞄准当 n=k+1 时的递推目标, 从中分离出 n=k 时的相应式 子,借助不等式性质用上归纳假设. (3)明确用上归纳假设后要证明的不等式应是怎样的,然后通过 运用放缩法、分析法、比较法、综合法等方法进行证明. (4)有些不等式先用分析法转化为另一个较为简单的不等式然后 再用数学归纳法证明. 2.关于贝努利不等式 (1)(1+x)n>1+nx 成立的两个条件:①n∈N+且 n≥2;②x 的取 值范围是 x>-1 且 x≠0. 于是有命题:当 n∈N+且 n≥2 时不等式(1+x)n>1+nx 对一切

x∈(-1,0)∪(0,+∞)恒成立.
(2)常用特例:①当 x>-1 且 x≠0 时,(1+x)2>1+2x; ②当 x>-1 且 x≠0 时,(1+x)3>1+3x. 3.重要结论 (1)当 n≥5 时,n2<2n. (2)当 n∈N+时,|sin nθ |≤n|sin θ |.


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