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高三模拟题 河南顶级名校联考2015年12月


河南省顶级名校 2016 届高三上学期期中考试 数学(理科)
说明:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 满分 150 分.考试 时间 120 分钟. 2.将试题卷中题目的答案填(涂)在答题卷 (答题卡)的相应位置.

第Ⅰ卷

(选择题

共 60 分)

一. 选择题: 本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知集合 A ? ?1,2, ? , B ? y | y ? x , x ? A ,则 A ? B = (
2

? ?

1? 2?

?

?



A. ? ? 2.在复平面内,复数 A. 第一象限

?1 ? ?2?

B.

?2?

1 C. ??

D. ?

2?i ( i 是虚数单位)对应的点位于( 1? i
B. 第二象限 C. 第三象限



D. 第四象限 )

3. 设 a ? R ,则“ a ? ?1 ”是“直线 ax ? y ? 1 ? 0 与直线 x ? ay ? 5 ? 0 平行”的( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4. 在△ ABC 中, D 为 BC 边的中点,若 BC ? (2,0) , AC ? (1, 4) ,则 AD ? ( A. (?2, ?4) B. (0, ?4) C. (2, 4) D. (0, 4)

??? ?

??? ?

????



5. 将函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 的图象向左平移

所得的函数关于 y 轴对称,则 ? 的一个可能取值为( A.

? 个单位, 8
) D. ?

4

3

3? 4

B.

? 4

C .0

?
4
科&网 Z&X&X&K]

5 正视图 3 俯视图 侧视图

6. 若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何 体的体积等于( ) A. 10 cm3 B. 20 cm3 C. 30 cm3 D. 40 cm3

1

7. 如图所示的茎叶图为高三某班 50 名学生的化学考试成绩, 算法框图中输入的 ai 为茎叶图 中的学生成绩,则输出的 m, n 分别是( ) A. m ? 38, n ? 12 B. m ? 26, n ? 12 C. m ? 12, n ? 12 D. m ? 24, n ? 10

开始

m ? 0, n ? 0, i ? 1
输入 a1 , a2 ,?, a50 是

ai ? 80



4 5 6 7 8 9

3 0 0 0 0 0

6 1 0 1 0 1

7 2 1 2 2 6

8 3 3 2 4 8

3 4 4 4

6 4 5 5

8 6 6 6

否 n ? n ?1 9 6 7 8 8 9 m ? m ?1 6 6 7 8 8 9 9 9

ai ? 60



i ? i ?1


i ? 50
是 输出 m, n 结束

8.如图,周长为 1 的圆的圆心 C 在 y 轴上,顶点 A (0, 1),一动点 M 从 A 开始逆时针绕圆 运动一周,记走过的弧长 ? ,则函数 t ? f ( x) 的 AM ? x ,直线 AM 与 x 轴交于点 N(t,0) 图像大致为( )

?1? ?1? 9.设方程 log2 x ? ? ? ? 0 与 log 1 x ? ? ? ? 0 的根分别为 x1 , x 2 ,则( ?4? ?2? 4
A. 0 ? x1 x2 ? 1
2

x

x



B. x1 x2 ? 1

C. 1 ? x1 x2 ? 2

D. x1 x2 ? 2

10. 已知点 A 是抛物线 x ? 4 y 的对称轴与准线的交点,点 B 为 抛物线的焦点, P 在抛物 线上且满足 PA ? m PB ,当 m 取最大值时,点 P 恰好在以 A, B 为焦点的双曲线上,则双 曲线的离心率为( )

2

2 ?1 C. 2 ? 1 D. 5 ? 1 2 3 11. 设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 ? a4 ? 1? ? 2016 ? a4 ? 1? ? 1 ,
A.

5 ?1 2
3

B.

? a2013 ? 1?

? 2016 ? a2013 ? 1? ? ?1 ,则下列结论正确的是(



A. S2016 ? ?2016 , a2013 ? a4 C. S2016 ? ?2016 , a2013 ? a4

B. S2016 ? 2016 , a2013 ? a4 D. S2016 ? 2016 , a2013 ? a4

12. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数

?1, x为有理数; 称为狄利克雷函数,则关于函数 f ( x ) 有以下四个命题: f ( x) ? ? ?0, x为无理数,
① f ( f ( x)) ? 1 ; ②函数 f ( x ) 是偶函数;

③任意一个非零有理数 T , f ( x ? T ) ? f ( x) 对任意 x ? R 恒成立; ④存在三个点 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )), C( x3 , f ( x3 )) ,使得 ?ABC 为等边三角形. 其中真命题的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1

第Ⅱ卷

(非选择题

共 90 分)

二. 填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分.
1? ? 13.已知等比数列 {an } 的第 5 项是二项式 ? x ? ? 展开式中的常数项,则 a3 ? a7 ? x? ?
4

.

14. 冬季供暖就要开始,现分配出 5 名水暖工去 3 个不同的居民小区检查暖气管道, 每名 水暖工只去一个小区, 且每个小区都要有人去检查, 那么分配的方案共有 种.

?x ? y ? 2 ? 0 ? 15. 若不等式组 ? x ? 5 y ? 10 ? 0 所表示的平面区域存在点 ( x0 , y0 ) ,使 x0 ? ay0 ? 2 ? 0 成 ?x ? y ? 8 ? 0 ?
立,则实数 a 的取值范围是 .

16. 如图所示,由直线 x ? a, x ? a ?1? a ? 0? , y ? x 及 x 轴围成的曲边梯形的面积介于相
2

应小矩形与大矩形的面积之间,即 a ?
2

?

a ?1

a

x 2dx ? (a ? 1)2 . 类 比 之 , ?n ? N* ,
.
O

y

1 1 1 1 1 1 恒成立,则实数 A ? ? ?? ? ? A? ? ??? n ?1 n ? 2 2n n n ?1 2n ? 1

a a+1

x

3

三. 解答题:本大题共 6 小题. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A, B, C 对应的三边长分别为 a, b, c,且满足 c(acosB? (Ⅰ)求角 A; (Ⅱ)若 a= 3 ,求 b ? c 的取值范围.
1 b)=a2?b2. 2

18. (本小题满分 12 分) 为增强市民的节能环保意识, 郑州市面向全市征召义务宣传志愿者. 从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区是 :

?20,25?, ?25,30?, ?30,35?, ?35,40?, ?40,45? .
(Ⅰ)求图中 x 的值,并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 ?35,40? 岁的人 数; (Ⅱ)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 10 名参加中心广场的宣传 活动, 再从这 10 名志愿者中选取 3 名担任主要负责人. 记这 3 名志愿者中“年龄低于 35 岁” 的人数为 X ,求 X 的分布列及数学期望. 频率/组距 0.07 x

0.04 0.02 0.01
*网]

O

20

35 25 30 第 18 题图

40

45

年龄/岁

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD, ? DAB 为直角,AB//CD, AD=CD=2AB=2,E,F 分别为 PC,CD 的中点. (Ⅰ)证明:AB ? 平面 BEF; (Ⅱ)若 PA ?

2 5 ,求二面角 E-BD-C. 5

4

20.(本小题满分 12 分) 椭圆 H :

x2 3 ? y 2 ? 1(a ? 1) , 原点 O 到直线 MN 的距离为 , 其中: 点 M (0, ?1) , 点 2 a 2

N (a,0) .
(Ⅰ)求该椭圆 H 的离心率 e ; (Ⅱ)经过椭圆右焦点 F2 的直线 l 和该椭圆交于 A, B 两点,点 C 在椭圆上, O 为原点, 若 OC ?

????

? ? 1 ??? 3 ??? OA ? OB ,求直线 l 的方程. 2 2

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 g ( x ) ? f ( x ) ?

1 2 x ? bx,函数 f ( x) ? x ? a ln x 在 x ? 1 处的切线 l 与直线 2

x+2 y ? 0 垂直.
(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) 存在单调递减区间,求实 数 b 的取值范围; (Ⅲ)设 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 g ( x) 的两个极值点,若 b ?

7 ,求 g ( x1 ) ? g ( x2 ) 的最小值. 2

请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,在答题卷上将所选题号涂黑,如果多做, 则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 ?ABC中,AB ? AC , D为?ABC 外接圆劣弧 ? , AC 上的点(不与点 A 、 C 重合) 延长 BD 至 E , 延长 AD 交 BC 的延长线于 F . (Ⅰ)求证: ?CDF ? ?EDF ; (Ⅱ)求证: AB ? AC ? DF ? AD ? FC ? FB .

第 22 题图

5

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程 已知曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 2 ? 5 cos ? ( ? 为参数),以直角坐标系原点为极点, ? y ? 1 ? 5 sin ? ?

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线 C 的极坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 的极坐标方程为 ? (sinθ+cosθ)=1,求直线 l 被曲线 C 截得的弦长.

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ,不等式 f ( x) ? 3 的解集为 ? ?1,5? . (Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m 对 一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围.

6

数学(理科)参考答案
第Ⅰ卷 (选择题,共 60 分) 一.选择题: 本大题共 12 小题,每小题 5 分. 题号 答案 1 C 2 D 3 A 4 D 5 B 6 B 7 B 8 D 9 A 10 C
[*网

11 D

12 A

第Ⅱ卷 ( 非选择题,共 90 分) 二.填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 36 14.150 15. a ? ?1 16. ln2 三.解答题: 本大题共 6 小题. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.解析: (Ⅰ)? c (a cos B ?

1 b) ? a 2 ? b 2 2 ? a2 ? c2 ? b2 ? bc ? 2a2 ? 2b2 , a2 ? b2 ? c2 ? bc ............2 分 1 A? ? a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? c o s ............4 分 2 ? ?A? ...........6 分 3
.网]

(Ⅱ)解法 1: 由正弦定理得

a b c ? ? ?2, sin A sin B sin C
...........8 分

∴ b=2sinB,c=2sinC.

∴ b+c=2sinB+2sinC=2sinB+2sin(A+B) =2sinB+2sinAcosB+2cosAsinB=3sinB+ 3 cosB= 2 3 sin( B ? ) ...........10 分 6 ∵ B∈(0,

?

? ?1 ? 2? ? ? 5? ),∴ B ? ? ( , ) , sin( B ? ) ? ? ,1? , 3 6 6 6 6 ?2 ?
............12 分

所以 b+c ? ( 3, 2 3] 解法 2:

? a ? 3 ? a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A,3 ? b2 ? c2 ? bc ? (b ? c)2 ? 3bc ...........8 分

?b?c? ? bc ? ? ? ? 2 ?

2

?b?c? 3 ? ?b ? c ? ? 3? ? ,...........10 分 ? 2 ?
2

2

?b ? c ?

2

? 12 ,即 b ? c ? 2 3 ?b ? c ? a ? 3

? b+c ? ( 3, 2 3] .............12 分

18. 解: (Ⅰ)∵小矩形的面积等于频率,∴除 ?35,40? 外的频率和为 0.70,

1 ? 0.70 ? 0.06 ............2 分 5 500 名志愿者中,年龄在 ?35,40? 岁的人数为 0.06 ? 5 ? 500 ? 150 (人 ). ............4 分 ?x ?
(Ⅱ)用分层抽样的方法,从中选取 10 名,则其中年龄“低于 3 5 岁”的人有 6 名, “年龄不低于 35 岁”的人有 4 名. 故 X 的可能取值为 0,1,2,3, ............5 分

7

P ? X ? 0? ? P ? X ? 2? ?

3 C4 1 ? , 3 C10 30 2 1 C6 C4 1 ? , 3 C10 2

P ? X ? 1? ? P ? X ? 3? ?

1 2 C6 C4 3 ? , 3 C10 10

3 C6 1 ? , 3 C10 6

............9 分

故 X 的分布列为

X P
............10 分

0

1

2

3

1 30

3 10

1 2

1 6

1 3 1 1 9 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? ............12 分 30 10 2 6 5 19 .解: (Ⅰ )证:由已知 DF∥AB 且 ? DAB 为直角,故 ABFD 是矩形, 从而 AB ? BF. 又 PA ? 底面 ABCD, ∴平面 PAD ? 平面 ABCD, ∵AB ? AD,故 AB ? 平面 PAD,∴AB ? PD, 在 ΔPCD 内,E、F 分别是 PC、CD 的中点,EF//PD, ∴ AB ? EF.
所以 EX ? 0 ?

由此得 AB ? 平面 BEF .............6 分 (Ⅱ)以 A 为原点,以 AB,AD,AP 为 x 轴,y 轴,z 轴正向建立空间直角坐标系, 则 BD ? (?1, 2, 0), BE ? (0,1,

??? ?

??? ?

5 ) 5

设平面 CDB 的法向量为 n1 ? (0,0,1) ,平面 EDB 的法向量为 n2 ? ( x, y, z) ,



? ?n 2 ? BD ? 0 ? ? ? n 2 ? BE ? 0

?? x ? 2 y ? 0 ?? ? ? 可取 n2 ? 2,1, ? 5 ? 5z ?0 ?y ? 5 ?

z

?

?

P

E

设二面 角 E?BD?C 的大小为 ? ,则

5 2 | n ?n | , cos? ?| cos ? n1, n2 ?|? 1 2 = ? 2 | n1 | ? | n2 | 1? 10
所以, ? ?

D

y F

C

?
4

A

B

x

............12 分

20.解: (Ⅰ )设直线 MN : x ? ay ? a ? 0 且

a 1? a
2

?

3 ?a?3 2

所以离心率 e ?

2 6 . ? 3 3

............3 分

(Ⅱ)椭圆 H 方程为

x2 ? y 2 ? 1,设 A( x1 , y1 ) B( x2 , y2 ) C ( x3 , y3 ) 3

①当直线 l 斜率为 0 时,其方程为 y ? 0 ,

8

此时 A( 3,0) , B(? 3,0) ,不满足 x1 x2 ? 3 y1 y2 ? 0 ,不符合题意,舍去............4 分 ②当直线 l 斜率不为 0 时设直线 l 方程为 x ? my ? 2 ,

? x ? my ? 2 ? 由题: ? x 2 ? y2 ? 1 ? ? 3

2 2 消 x 得 m ? 3 y ? 2 2my ? 1 ? 0 ,............5 分

?

?

? ??0 ? ? ?2 2 ? 所以 ? y1 ? y2 ? 2 m ?3 ? ?1 ? y1 y2 ? 2 ? m ?3 ?
因为 OC ?

............7 分

????

? ? 1 ??? 3 ??? 1 3 1 3 OA ? OB ,所以 x3 ? x1 + x2 , y3 ? y1 + y2 2 2 2 2 2 2
2 2

因为点 C 在椭圆上,

x2 1? 1 3 ? ?1 3 ? 2 所以 3 ? y3 ? ? x1 + x ? y + y2 ? ? ? 2 1 ? ?2 ? 3 3? 2 2 2 ? ? ? ?

? 3 ? x2 1 ? x2 3 ?1 ? 2? ? ? 1 ? y12 ? ? ? 2 ? y2 ?? ? x1 x2 ? y1 y2 ? 4? 3 ? ? 4? 3 ? 2 ?3

?

1 3 3 ?1 ? ? ? ? x1 x2 ? y1 y2 ? ? 1 4 4 2 ?3 ?
............9 分

所以 x1 x2 ? 3 y1 y2 ? 0

? x1 x2 ? my1 ? 2 my2 ? 2 ? m2 y1 y2 ? 2m( y1 ? y2 ) ? 2
? ? m 2 ? 3? ?
2

?

??

?

?1 ?2 2 ? 2m ? 2 ?2?0 2 m ?3 m ?3
直线 l 为 x ? ? y ? 2 ............11 分
]

化简得 m ? 1 ? 0 ,得 m ? ?1

综上,直线 l 为 x ? y ? 2 ? 0, x ? y ? 2 ? 0

............12 分

21. 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? x ? a ln x ,∴ f ?( x ) ? 1 ?

a . x ∵与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,∴ k ? y? x?1 ? 1 ? a ? 2 ,∴ a ? 1 . ..........2 分

9

x 2 ? ? b ? 1? x ? 1 1 2 1 ? (Ⅱ)? g ? x ? ? ln x ? x ? ? b ? 1? x,? g ? x ? ? ? x ? ? b ? 1? ? 2 x x
由题知 g? ? x ? ? 0 在 ? 0, ?? ? 上有解,

? x ? 0 设 u ? x ? ? x2 ? ?b ?1? x ? 1 ,则 u ? 0? ? 1 ? 0 ,所以只需

b ?1 ? ?0 b ?1 ? ? 2 ?? 故 b 的取值范围是 ? 3, ?? ? . ..........6 分 ? b ? 3 或 b<-1 2 ? ?? ? ? b ? 1? ? 4 ? 0 ?
(Ⅲ) ? g ( x) ?
'

1 x 2 ? (b ? 1) x ? 1 ? x ? (b ? 1) ? x x

令 g ' ( x) ? 0

得 x2 ? (b ?1) x ? 1 ? 0

由题 x1 ? x2 ? b ? 1, x1 x2 ? 1

1 1 2 ? ? ? ? g ( x1 ) ? g ( x1 ) ? ?ln x1 ? x12 ? (b ? 1) x1 ? ? ?ln x2 ? x2 ? (b ? 1) x2 ? 2 2 ? ? ? ? ? ln x1 1 2 2 ? ( x1 ? x2 ) ? (b ? 1)( x1 ? x2 ) x2 2 x1 1 2 2 ? ( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) x2 2
2 x1 1 x12 ? x2 x 1? x x ? ? ? ln 1 ? ? 1 ? 2 ? x2 2 x1 x2 x2 2 ? x2 x1 ?

? ln

? ln

t?

1 1 x1 ,则 g ( x1 ) ? g ( x1 ) ? h(t ) ? ln t ? (t ? ) 2 t x2

.........8 分

? 0 ? x1 ? x2 ,所以令 t ?

x1 ? (0,1) , x2
2

? x1 ? x2 ? ? t ? 1 ? 2 ? 25 7 5 2 2 又 b ? ,所以 b ? 1 ? , 所以 ? b ? 1? ? ? x1 ? x2 ? ? 2 2 x1 x2 t 4
整理有 4t ? 17t ? 4 ? 0 ,解得 ?
2

1 1 ?t? 4 4

? 1? ? t ? ? 0, ? ? 4?

........10 分

10

1 1? 1 ? (t ? 1)2 ? 1? h' (t ) ? ? ?1 ? 2 ? ? ? ? 0 ,所以 h(t ) 在 ? 0, ? 单调递减 2 t 2? t ? 2t ? 4?
? 1 ? 15 h ? t ? ? h ? ? ? ? 2ln 2 ?4? 8
故 g ( x1 ) ? g ( x1 ) 的最小值是

15 ? 2 ln 2 8

..........12 分

22. 解析:(Ⅰ)证明:? A 、 B 、 C 、 D 四点共圆

? ?CDF ? ?ABC .
? AB ? AC ??ABC ? ?ACB
且 ?ADB ? ?ACB ,

?EDF ? ?ADB ? ?ACB ? ?ABC ,

? ?CDF ? ?EDF ...........5 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得 ?ADB ? ?ABF ,又? ?BAD ? ?FAB , 所以 ?BAD 与 ?FAB 相似,

?

AB AD ? ? AB 2 ? AD ? AF , AF AB
? A B ? A C? A D ? ,? A AB F ? AC ? DF ? AD ? AF ? DF

又? AB ? AC ,

根据割线定理得 DF ? AF ? FC ? FB ,

AB ? AC ? DF ? AD ? FC ? FB ...........10 分
23.(1)∵曲线 C 的参数方程为 ?

? ? x ? 2 ? 5 cos ? (α 为参数) ? y ? 1 ? 5 sin ? ?
2 2

∴曲线 C 的普通方程为 ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 5 将?

? x ? ? cos ? 代入并化简得: ? ? 4cos ? ? 2sin ? ? y ? ? sin ?

即曲线 c 的极坐标方程为 ? ? 4cos ? ? 2sin ? ..........5 分 (2)∵ l 的直角坐标方程为 x ? y ? 1 ? 0 ∴圆心 C 到直线 l 的距离为 d= 24.(1)∵ | x ? a |? 3

2 2

= 2 ∴弦长为 2 5 ? 2 =2 3

..........10 分

∴a ?3? x ? a ?3

11

∵ f ( x) ? 3 的解集为[-1,5]

∴?

a ? 3 ? ?1 a?3?5

∴a=2 .......5 分

(2)∵ f ( x) ? f ( x ? 5) ?| x ? 2 | ? | x ? 3|?| ( x ? 2) ? ( x ? 3) |? 5 又 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m 恒成立 ∴m≤5 ...............10 分

12


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