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均值不等式失效时的解法


均值不等式求最值“失效”时的对策
浙江 曾安雄

利用均值不等式求最值是高中数学中常用方法之一,应注意“一正 二 定 三 相 等 ” 在 解 题 的 过 程 中 ,有 时 往 往 出 现“ 凑 出 了 ‘ 常 数 ’ 却 取 不 . 到‘等号’ 的失效现象,下面浅析此时的应付对策,供同学们参考. ” 一、平衡系数 实施均拆 这 是 最 常 用 的 一 种 技 巧 ,常 有 均 拆 整 式 、均 拆 分 式 、均 拆 幂 指 数 等 . 例 1 求 函 数 y = 3x + 错解:Qx > 0
1 ( x > 0) 的 最 小 值 . x2

∴ y = 3x +

1 1 1 = x + 2 x + 2 ≥ 33 x ? 2 x ? 2 = 33 2 2 x x x

∴ y min = 33 2

剖 析 :此 类 错 误 出 现 较 多 ,而 且 错 误 是 不 知 不 觉 的 ,实 际 是 忽 视 了 等 号 成 立 的 条 件 ,即 x = 2 x = 法可实施均拆法. 正 解 : (均 拆 整 式 )
Qx > 0

1 必 须 成 立 ,而 实 际 上 是 不 可 能 的 ,解 决 方 x2

∴ y = 3x +

1 3x 3x 1 3x 3x 1 3 3 = + + 2 ≥ 33 ? ? = 18 2 2 2 x 2 2 2 2 x 2 3x 1 = 2 ,即 x = 3 时取等号. 2 3 x

上式当且仅当
∴ y min = 33 18 2

2 例 2 求 函 数 y= x +

16 ( x> 0) 的 最 小 值 . x

解 : (均 拆 分 式 ) 均
第 1 页

∵ x> 0, ∴ y= x +
2

8 8 8 8 + ≥ 3 3 x 2 ? ? = 12 . x x x x
2

当且仅当 x =

8 , 即 x= 2 时 , 等 号 成 立 . x 1 2 , 求 函 数 y = x (1 - 3x) 的 最 大 值 . 3

故 y 的 最 小 值 为 12 . 例 3 若 0< x<

解 : (均 拆 幂 指 数 ) ∵ 0< x<
2

1 , ∴ 1 - 3x > 0 . 3

y = x (1 - 3x) = x?x?(1 - 3x)



4 3x 3x ? ? (1 ? 3 x) 9 2 2
3

3x 3x 4 ? + + 1 ? 3x ? ? 2 ? = 4 . ≤ 2 243 ? 9? 3 ? ?

当且仅当

3x 2 4 = 1 ? 3x , 即 x = 时 , 等 号 成 立 , 即 y 的 最 小 值 为 . 2 9 243

二、引入参数 巧渡难关 例 4 用 总 长 14.8m 的 钢 条 制 作 一 个 长 方 体 容 器 的 框 架 ,如 果 所 制 作 容 器 的 底 面 的 一 边 比 另 一 边 长 0.5m ,那 么 高 为 多 少 时 容 器 的 容 积 最 大 ? 并求出它的最大容积. 错 解 :设 容 器 底 面 短 边 长 xm ,则 另 一 边 长 为 ( x + 0.5) m ,并 设 容 积 为
ym 3 , 则 高 为 14.8 ? 4 x ? 4( x + 0.5) = 3 .2 ? 2 x 4

从 而 y = x( x + 0.5)(3.2 ? 2 x)
y = x( x + 0.5)(3.2 ? 2 x) ≤ (

( 0 < x < 1 .6 )

x + x + 0 .5 + 3 .2 ? 2 x 3 37 ) = ( )3 3 30

当 且 仅 当 x + 0.5 = 3.2 ? 2 x , 即 x = 0.9 时 , 高 为 1.4 .
第 2 页

所 以 , 容 器 的 高 为 1.4m 时 容 积 最 大 , 最 大 容 积 为 (

37 3 3 ) m . 30

剖 析 :上 式 中 等 号 成 立 的 前 提 是 x = x + 0.5 = 3.2 ? 2 x ,此 时 的 x 显 然 不 存在,即此时等号取不到.而用均拆法,也似乎无能为力,此时可引入 参数,借助待定系数法,从而使问题得以解决.当然学了高三《导数》 后,还可利用导数法求最值. ( 正解: 建模过程同前)
Q y = x( x + 0.5)(3.2 ? 2 x) =
1 ? ax(bx + 0.5b)(3.2 ? 2 x) , 其 中 a, b 是 待 定 的 正 ab

常数,满足 ?a + b = 2 ? ?ax = b( x + 0.5) = 3.2 ? 2 x

?a = 1.2 ? 解 得 ?b = 0.8 ?x = 1 ?
此时 y ≤
1 ax + bx + 0.5b + 3.2 ? 2 x 3 1 ) = ?( × 1 .2 3 = 1 .8 ab 3 1 .2 × 0 .8

上 式 中 , 当 x = 1 时 等 号 成 立 , 因 此 当 x = 1 时 , y 取 到 最 大 值 为 1.8 , 这 时 高 为 3 .2 ? 2 = 1 .2 . 所 以 , 容 器 的 高 为 1.2m 时 容 积 最 大 , 最 大 容 积 为 1.8 m 3 . 三、单调处理 简捷迅速 例 5 求函数 y =
x2 + 5 x2 + 4 ( x ∈ R) 的 最 小 值 .

错 解 : Q x2 + 4 > 0
∴y = ∴ y min

x2 + 5 x +4 =2
2

=

x2 + 4 +1 x +4
2

= x2 + 4 +

1 x +4
2

≥2

剖析:本题似乎无懈可击,其实令

x2 + 4 =

1 x +4
2

, 则 有 x 2 = ?3 ,

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即无实数解,也就是等号取不到,因而找不到最小值. 正 解 1: 由 y = x 2 + 4 +

1 x +4
2

, 令 t = x2 + 4 ≥ 2

1 易 证 y = f (t ) = t + (t ≥ 2) 为 增 函 数 . t 1 5 ∴ y min = f (2) = 2 + = 2 2

所以当

x2 + 4 = 2 ,
5 . 2
2

即 x = 0 时 , y min =
2

? 1 ? 正 解 2 : 设 t = x + 4 ≥ 2 , 则 y = f (t ) = ? t ? ? + 2. t? ? 设 g(t)= t ?
1



t

易 得 g ( t ) 在 t∈ [2 ,+ ∞ ) 是 单 调 递 增 且 大 于 0 ,故 f ( t ) 在 t∈ [2 ,+ ∞ ) 也是单调递增.

1 ? 5 ? ∴ ymax= ? 2 ? ? +2= 2 , 2? ?
在 t= 2 , 即 x= 0 时 取 等 号 . 四、分项拆项 观察等号 对 于 函 数 f ( x) = px + q ( p、q ∈ R + , x ∈ (0 , c]) 的 最 值 , 当 直 接 使 用 均 值 不 x

2

等式失效时,除用单调性外,还可用“分项拆项法” 再用均值不等式, , 同时要注意等号. 例 6

π 2 已 知 x ∈ [0, ] , 求 函 数 y = 1 ? sin x + 的最小值. 2 1 ? sin x π
2

解:由 0 ≤ x ≤

, 得 0 ≤ sin x ≤ 1 ,0 ≤ 1 ? sin x ≤ 1 , 则

y = 1 ? sin x + ∴ ymin = 3

1 1 1 1 + ≥ 2 (1 ? sin x) ? + 1 ? sin x 1 ? sin x 1 ? sin x 1 ? sin x

≥ 2 + 1 = 3 (sin x = 0 时 时时 时 )

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例 7 设 a> 0, b> 0, 且 a+ b= 1, 求 证 (a+ 错 解 1 : (a + 错 解 2 : (a +

1 1 25 )(b + ) 的 最 小 值 . a b 4

1 1 1 1 )(b + ) ≥ 2 a ? ? 2 b ? = 4 , 故 最 小 值 为 4 . a b a b
1 1 1 a b )(b + ) = ab + + + ≥ 2+ 2= 4, 故 最 小 值 为 4. a b ab b a

剖 析 : 上 述 错 解 因 为 等 号 成 立 的 条 件 与 a+ b= 1 不 能 同 时 成 立 , 故 取 不 到 最 小 值 4. 本 题 可 利 用 等 号 成 立 的 条 件 来 配 凑 , 观 察 最 小 值 恰 好 在 a= b=
1 1 时 取 到 , 故 可 以 合 理 配 凑 出 等 号 恰 好 在 “ a= b= ” 取 得 . 2 2 1 1 1 a b + + 正 解 1: (a + )(b + ) = ab + a b ab b a 1 15 ≥ ab + + +2 16ab 16ab

≥ 2 ab ? =

1 15 + +2 16ab 16ab

5 15 5 15 25 + ≥ + = . 2 16ab 2 4 4 1 当 且 仅 当 a= b= 时 取 等 号 . 2 1 1 25 所以 (a + )(b + ) 的 最 小 值 . a b 4

正 解 2: (a +

1 1 1 1 1 1 ?? 1 1 1 1 ? ? )(b + ) = ? a + + + + + + + ? ?? b + a b 4a 4a 4a 4a ?? 4b 4b 4b 4b ? ?

≥ 5? 5

1 1 1 1 ? 5 ? 5 8 3 = 25 ? 5 16 3 3 ( 由 0 < ab ≤ ) 3 4 2 a 2 b 2 ab
8 5

≥ 25?

1 25 = . 10 4 2

1 时取等号. 2 1 1 25 所 以 (a + )(b + ) 的 最 小 值 . a b 4

当 且 仅 当 a= b=

五、三角代换 有界求解
2 2 2 2 例 8 实 数 m , n , x , y 满 足 m + n = a , x + y = b , 且 a ≠ b , 求 mx

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+ ny 的 最 大 值 . 错 解 : ∵ mx≤
1 2 2 (m + x ), 2 1 2 2 ny≤ ( n + y ) . 2 1 1 ∴ mx+ ny≤ ( m 2 + x 2 + n 2 + y 2 ) = ( a+ b ) . 2 2 1 故 mx+ ny 的 最 大 值 为 ( a+ b ) . 2 1 ( a+ b ) . 但 考 虑 到 已 知 条 件 的 结 构 可 借 助 三 角 代 换 , 2

剖 析 :在 上 面 的 求 解 过 程 中 ,等 号 成 立 的 条 件 是 a= b,而 已 知 a≠ b, 故取不到最大值为

运用有界性来解决. 正 解 : 设 m= 则 mx+ ny= a sin α , n= a cos α , x= b sin β , y= b cos β . ab cos( α - β ) .

ab (sin α sin β + cos α cos β ) =

∵ cos( α - β ) ∈ [ - 1 , 1] , ∴ mx+ ny 的 最 大 值 为 ab .

六、整体代换 减少放缩环节 多次运用均值不等式,往往导致等号取不到.而用整体代换,可避 免多次放缩,从而使问题获解.

例 9 若 x, y 这 正 整 数 , 满 足

4 16 + = 1 , 求 x+ y 的 最 小 值 . x y

错 解 : ∵ 1= ∴

4 16 4 16 16 + ≥2 ? = . x y x y xy

xy ≥ 16 .

又 ∵ x+ y≥ 2 xy ≥ 32 . 故 x+ y 的 最 小 值 为 32 .

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剖析:在求解过程中,利用两次放缩,在

xy ≥ 16 中 y= 4x 时 等 号

成 立 .而 在 x+ y≥ 2 xy 中 ,x= y 时 等 号 成 立 ,但 这 两 次 等 号 不 能 同 时 成 立 ,故 最 小 值 32 取 不 到 .若 采 用 整 体 代 换 ,即 可 避 免 多 次 放 缩 ,从 而 使 问题获解. 正 解 : x+ y= 1?(x+ y)= ( 4 16 4 y 16 x + )(x+ y)= 20+ ( + ) x y x y

≥ 20+ 2

4 y 16 x ? = 36 . x y

∴ x + y 的 最 小 值 为 36 , 当 x = 12 , y = 24 时 等 号 成 立 .

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