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江苏省南通中学2015-2016学年高一上学期10月月考数学试题

高一数学练习 2015/10/8
班级___________ 置上. ) 1.设 A ? ?x | ?1 ? x ? 2?, B ? ?x | 0 ? x ? 3? ,则 A ? B =__________________(—1,3) 2.设集合 U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={2,3,4},则(?uA)∩B = 3.已知函数 f ? x ? ? x2 ? 2x, x ??1,2, ?3? ,则 f ? x ? 的值域是 4.已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? 1 ,且 f (?2) =3,则 f (2) = ▲ -1 {3,4} . ?3,8? 姓名__________ 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答卷纸相应的位

5.某班共 50 人,其中 21 人喜爱篮球运动,18 人喜爱乒乓球运动,20 人对这两项运动都不 喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为 6.若 f ? 2x ? ? 4x2 ? 1 ,则 f ? x ? 的解析式为 ▲ 12 . f ( x) ? x 2 ? 1 ▲ .D

7.下列各图中,可表示函数 y=f(x)的图象的只可能是

8.定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 的值域为,则 y ? f ( x ? 1) 的值域为
2



9.如果二次函数 y=3x +2(a-1)x+b 在区间 (??,1] 上是减函数,那么 a 的取值范围





.a≤-2

10.已知函数 f ( x) , g ( x) 分别由下表给出

x
f ( x)

1 1

2 3

3 1

x
g ( x)

1 3

2 2

3 1

满足不等式 f [ g ( x)] ? g[ f ( x)] 解集是

{2}

? x 2 -2( x ? 2), 11.设函数 f(x)= ? ,若 f (a) ? a ,则实数 a 的取值范围是 a>2 或 0<a<2 ?2 x( x<2),
( x ? 1)0 x ?x

12.函数 y ?

的定义域是



. x x ? 0且x ? ?1

?

?

13.定义在区间 ? ?2,2? 上的奇函数 f ? x ? ,它在 ? 0,2? 上的图象是一条如图 所示线段(不含点 ? 0,1? ), 则不等式 f ? x ? ? f ? ? x ? ? x 的解集为 ▲ .

[?2, ?1) ? (0,1)
14 . 设函数 f ( x) 的定义域为 D ,若存在非零实数 m 满足对任意
x ? m? D , 且 fx ( m ? )f≥ x( )

,均有

, 则称 f ( x) 为 M 上的 m 高调函数. 如果定义域为 R 的函数 f ( x)

是奇函数,当 x≥0 时, f ( x) ?| x ? a 2 | ?a 2 ,且 f ( x) 为 R 上的 8 高调函数,那么实数 a 的取值 范围是 ▲ .

2 2 ? ?| x ? a | ?a , x ? 0 分析:根据题意, f ( x) ? ? 2 , 2 ? ?a ? | x ? a |, x ? 0

当 x ? 0 时,因为 f ( x ? 8) ? f ( x) ,所以 | x ? 8 ? a2 | ?a2 ?| x ? a2 | ?a2 , 得 2 x ? 8 ? 2a 2 ? 0 ,即 a 2 ? x ? 4 恒成立 故 ?2 ? a ? 2 当 x ? ?8 时, a2 ? | x ? 8 ? a2 |? a2 ? | x ? a2 | ,即 | x ? 8 ? a2 |?| x ? a 2 | 得 2 x ? 8 ? 2a 2 ? 0 ,即 a 2 ? ? x ? 4 恒成立 故 ?2 ? a ? 2 当 ?8 ? x ? 0 时, | x ? 8 ? a2 | ?a2 ? a2 ? | x ? a2 | ,即 | x ? 8 ? a2 | ? | x ? a 2 |? 2a 2 得 | a2 ? 8 ? a2 |? 2a2 ,解之, ? 2 ? a ? 2 , 答案: [? 2, 2] 二、解答题: (本大题共 6 小题,共计 90 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
2 15.已知集合 A={x| x ? 6 x ? 5 ? 0 },B={x|?1≤x<1},

(1)求 A ? B ; (2)若全集U= x x ? 5 ,求 CU ( A ? B) ; (3)若 C ? x x ? a ,且 B ? C ? B ,求 a 的取值范围.

?

?

?

?



A ? ?x ? 5 ? x ? ?1? 案:
(1) A ? B = ? ;

(2) ? U ( A ? B) = x 1 ? x ? 5 ;

?

?

(3) a 的取值范围为 a ? 1

16.已知集合 A={a-2,2a2+5a,10},且-3∈A,求实数 a 的值 解析:∵-3∈A ∴a-2= -3 或 2a2+5a= -3 当 a-2= -3 时,a= -1,此时 2a2+5a = -3,与集合的互异性矛盾,舍去 当 2a2+5a= -3 时,a= -1(舍去)或 a= ? 综上可知 a = -

3 3 7 a= ? 时 a-2= ? ,满足条件 2 2 2

3 2

17.求函数 y ? 2 x ? 3 ? 13 ? 4 x 的值域。

(??, 4]

18.某公司以每吨 10 万元的价格销售某种化工产品,每年可售出该产品 1000 吨,若将 该产品每吨的价格上涨 x %,则每年的销售数量将减少 mx %,其中 m 为正常数.

1 时,该产品每吨的价格上涨百分之几,可使销售的总金额最大? 2 (2)如果涨价能使销售总金额增加,求 m 的取值范围.
(1)当 m ? 解析:(1)由题设,当价格上涨 x%时,销售总金额为:

y ? 10 ? 1000? (1 ? x%) ? (1 ? mx%) (万元)即 y ? ?mx2 ? 100(1 ? m) x ? 1000。
当m ?

1 1 时, y ? [?( x ? 50) 2 ? 22500 ], 2 2

当 x=50 时, y max ? 11250万元.即该吨产品每吨的价格上涨 50%时,销售总最大. (2)由(1) y ? ?mx 2 ? 100 (1 ? m) x ? 10 000 , (0 ? x ?

100 ) m

如果上涨价格能使销假售总金额增加,则有 x ? 0时y ? 10?1 000 即 x>0 时, ? mx2 ? 100(1 ? m) x ? 10 000 ? 10 000∴ ? m x ? 100(1 ? m) ? 0 注意到 m>0∴

100 (1 ? m) ? x, m



100 (1 ? m) ?0 m

∴ 0 ? m ? 1,

∴m 的取值范围是(0,1) 19.已知函数 f ( x) ?

1 . 1 ? x2

(1)求证:函数 f ( x) 在 (??,0? 上是增函数.

1 在 ? ?3,2? 上的最大值与最小值. 1 ? x2 ( x ? x1 )( x2 ? x1 ) 证明: (1)设 x1 ? x2 ? 0 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 2 2 (1 ? x1 )(1 ? x2 )
(2)求函数 f ( x) ?
2 因 x1 ? x2 ? 0 ,有 x1 ? x2 ? 0, x2 ? x1 ? 0 ,又 (1 ? x12 )(1 ? x2 )?0

( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) ? 0 ,得 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 故 f ( x) 为 (??,0? 上的增函数. 2 (1 ? x12 )(1 ? x2 ) (2)因为函数 f ( x) 定义域为 R,且 f (? x) ? f ( x) ,所以函数 f ( x) 为偶函数
所以 又 f ( x) 在 (??,0? 上为增函数,所以 f ( x) 在 ?0, ??) 上为减函数 (不证明可不扣分,用图象说明的也不扣分), 所以函数的最大值为 f (0) ? 1 .

1 1 ,当 x ? 2 时, f (2) ? , 10 5 1 故函数的最小值为 f (?3) ? . 10
又当 x ? ?3 时, f (?3) ? 20.已知二次函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x 且 f (0) ? 1 . (1)求 f ( x) 的解析式; (2)当 x ? [?1,1] 时,不等式: f ( x) ? 2 x ? m 恒成立,求实数 m 的范围. (3)设 g (t ) ? f (2t ? a), t ? ??1,1? ,求 g (t ) 的最大值;

解析:(1)令 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 代入: 得: a( x ? 1)2 ? b( x ? 1) ? c ? (ax2 ? bx ? c) ? 2 x,2ax ? a ? b ? 2x 恒成立

? a ?1 ? ∴ ? b ? ?1 ? c ?1 ?
1 1 ,] (2) 当 x ? [?

∴ f ( x) ? x 2 ? x ? 1

时, f ( x) ? 2 x ? m 恒成立即:x 2 ? 3x ? 1 ? m 恒成立;

令 g ( x) ? x2 ? 3x ? 1 ? ( x ? )2 ? 的右边,

3 2

5 3 , x ? [?1,1] ,则对称轴:x ? 在区间 ? ?1,1? 2 4

g ( x)min ? g (1) ? ?1 ∴ m ? ?1 .
(3) g (t ) ? f (2t ? a) ? 4t 2 ? (4a ? 2)t ? a2 ? a ? 1, t ???1,1?

对称轴为: t ? ① 当

1 ? 2a 4

1 ? 2a 1 ? 0 时,即: a ? ;如图 1: 4 2

g (t )max ? g (?1) ? 4 ? (4a ? 2) ? a2 ? a ? 1 ? a2 ? 5a ? 7
②当

1 ? 2a 1 ? 0 时,即: a ? ;如图 2: 4 2

g (t )max ? g (1) ? 4 ? (4a ? 2) ? a2 ? a ? 1 ? a2 ? 3a ? 3
1 a? ?a 2 ? 5a ? 7 2 ?? 2 1 a ? 3 a ? 3 ? a? 2

综上所述: g (t ) max


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