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2013年高考试题汇编.解析几何


(2013 湖南)21. (本小题满分 13 分)
过抛物线 E : x ? 2 py ( p ? 0) 的焦点 F 作斜率分别为 k1 , k 2 的两条不同的直线 l1 , l2 ,且
2

k1 ? k2 ? 2 , l1与E 相交于点 A,B, l2与E 相交于点 C,D。以 AB,CD 为直径的圆 M,圆 N
(M,N 为圆心)的公共弦所在的直线记为 l 。 (I)若 k1 ? 0, k2 ? 0 ,证明; FM ?FN ? 2 P ;
2

???? ???? ?

(II)若点 M 到直线 l 的距离的最小值为

7 5 ,求抛物线 E 的方程。 5

(2012 湖南)21.(本小题满分 13 分) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的点均在 C2: (x-5)2+y2=9 外,且对 C1 上任意一点 M,M 到直线 x=﹣2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值。 (Ⅰ)求曲线 C1 的方程 (Ⅱ)设 P(x0,y0)(y0≠±3)为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别于曲线 C1 相交 于点 A,B 和 C,D。证明:当 P 在直线 x=﹣4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为 定值。

(2011 湖南)21(本小题满分 13 分) 如图 7,椭圆 C1 :

x2 y 2 3 x 2 , 轴被曲线 C2 : y ? x ? b 截 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

得的线段长等于 C1 的长半轴长。 (Ⅰ)求 C1 , C2 的方程; (Ⅱ)设 C2 与 y 轴的交点为 M,过坐标原点 O 的直线 l 与 C2 相交于点 A,B,直线 MA,MB 分 别与 C1 相交与 D,E. (i)证明: MD ? ME ; (ii)记△MAB,△MDE 的面积分别是 S1 , S 2 .问:是否存在直线 l ,使得 请说明理由。

S1 17 = ? S 2 32

(2013 山东) (22) (本小题满分 13 分) 椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的左、右焦点分别是 F1、F2,离心率为 a 2 b2

3 ,过 F1 且 2

垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 l. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点,连接 PF1、PF2,设∠F1PF2 的角平分线 PM 交 C 的长轴于点 M(m,0) ,求 m 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点 p 作斜率为 k 的直线 l,使得 l 与椭圆 C 有且只有一个 公共点, 设直线 PF1,PF2 的斜率分别为 k1,k2,若 k≠0,试证明 这个定值.

1 1 为定值,并求出 ? kk1 kk2

(2013 陕西)20. (本小题满分 13 分) 已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 已知点 B(-1,0), 设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x 轴是
?PBQ 的角平分线, 证明直线 l 过定点.

(2013 重庆)21、如题(21)图,椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴上,离心率 e ? 过左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于 A, A? 两点, AA? ? 4 。 (1)求该椭圆的标准方程;

2 , 2

(2)取垂直于 x 轴的直线与椭圆相交于不同的两点 P, P? ,过 P, P? 作圆心为 Q 的圆,使椭 圆上的其余点均在圆 Q 外。若 PQ ? P?Q ,求圆 Q 的标准方程。

(2013 上海)20. 分+8 分)甲厂以 x 千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要 (6 求 1 ? x ? 10 ) ,每小时可获得利润是 100(5 x ? 1 ? ) 元. (1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3000 元,求 x 的取值范围; (2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求最大 利润.

3 x

(2013 上海)22. 分+5 分+8 分)如图,已知曲线 C1 : (3

x2 ? y2 ? 1, 2

曲线 C2 :| y |?| x | ?1 ,P 是平面上一点,若存在过点 P 的直线与 C1 , C2 都 有公共点,则称 P 为“C1—C2 型点” . (1)在正确证明 C1 的左焦点是“C1—C2 型点”时,要使用一条过该焦点的 直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证) ; (2)设直线 y ? kx 与 C2 有公共点,求证 | k |? 1 ,进而证明原点不是“C1—C2 型点” ; (3)求证:圆 x 2 ? y 2 ?

1 内的点都不是“C1—C2 型点” . 2

(2013 安徽) (18) (本小题满分 12 分) 设椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1的焦点在 x 轴上 a2 1 ? a2

(Ⅰ)若椭圆 E 的焦距为 1,求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 F1 , F2 分别是椭圆的左、右焦点,P 为椭圆 E 上的第一象限内的点,直线 F2 P 交 y 轴与点 Q ,并且 F1 P ? F1Q ,证明:当 a 变化时,点 p 在某定直线上。

(2013 辽宁)20. (本小题满分 12 分)

如图,抛物线 C1 : x 2 ? 4 y, C2 : x 2 ? ?2 py ? p ? 0 ? .点M ? x0 , y0 ? 在抛物线C2上,
过M 作C1 的切线,切点为A, B ? M 为原点O时,A, B重合于O ? .当x0 ? 1 ? 2时,

1 切线MA的斜率为- . 2

(I) 求P的值 ; (II) 当M 在C2上运动时,求线段AB中点N的轨迹方程

? A, B重合于O时,中点为O ? .


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