当前位置:首页 >> 数学 >>

广东省佛山市高明区高中数学 第一章 计数原理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质(1)学案(无

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质(1)
【学习目标】 1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系,培养学 生的观察力和归纳推理能力;2.理解和掌握二项式系数的性质,并会简单应用;3.理解和 初步掌握赋值法. 【能力目标】 能识别和计算两个系数,并会利用不等式求最大值. 【重点难点】 体会用函数知识研究问题的方法,理解二项式系数的性质,结合函数图象,理解增减性与最 大值时,根据 n 的奇偶性确定相应的分界点;利用赋值法证明二项式系数的性质 【学法指导】 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数,它有三条性质,要理解和掌握好,同时 要注意“系数”与“二项式系数”的区别,不能混淆,只有二项式系数最大的才是中间项, 而系数最大的不一定是中间项,尤其要理解和掌握“取特值”法,它是解决有关二项展开式 系数的问题的重要手段. 【学习过程】 一.【课前预习】 阅读教材 P32-P35, 二.【课堂学习与研讨】

二项定理:一般地,对于 n ? N* 有

(a ? b)n ? Cn0an ? Cn1an?1b ? Cn2a b n?2 2 ? ? Cnr an?rbr ? ? Cnn?1abn?1 ? Cnnbn
二项展开式中的二项式系数指的是那些?共有多少个? 下面我们来研究二项式系数有些什么性质?我们先通过杨辉三角观察 n 为特殊值时,二项式 系数有什么特点? 杨辉三角 1.“杨辉三角”的来历及规律
(a ? b)n 展开式中的二项式系数,如下表所示:

(a ? b)1

11

C10C11

教学资料最新版本

(a ? b)2

121

C20C21C22

(a ? b)3

13 31

C30C31C32C33

(a ? b)4

14 6 41

C40C41C42C43C44

(a ? b)5 1 5 10 10 5 1

C50C51C52C53C54C55

(a ? b)6 1 6 15 20 15 6 1 C60C61C62C63C64C65C66

…………

……

……

(a ? b)n ………………………………
二项式系数的性质:

Cn0Cn1Cn2 Cnr Cnn?1Cnn

(a ? b)n 展开式的二项式系数依次是 Cn0 , Cn1, Cn2 , , Cnr , , Cnn?1, Cnn

从函数角度看, Cnr 可看成是以 r 为自变量的函数 f (r) ,其定义域

是:{0,1, 2, , n}

当 n ? 6 时,其图象是右图中的 7 个孤立点

(1)对称性

与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等;

这一性质可直接由公式 Cnm

?

Cnn?m 得到,图象的对称轴 r

?

n 2

(2)增减性与最大值

由于: Cnk

?

n(n ?1)(n ? 2) (n ? k k(k ?1)!

?1)

?

Cnk ?1 ?

n?k k

?1 ,

所以

Cnk

相对于

C k ?1 n

的增减情况由

n

?k k

?1

决定。

由 n ? k ?1 ? 1 ? k ? n ?1 知,当 k ? n ?1 时,二项式系数是逐渐增大的,由对称性可知

k

2

2

它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值。

n
因此,当 n 为偶数时,中间一项的二项式系数 Cn2 取得最大值;当 n 为奇数时,中间两项的

n ?1

n ?1

二项式系数 Cn 2 , Cn 2 相等,且同时取得最大值;

(3)各二项式系数的和

2
教学资料最新版本

在二项式定理中,令 a ? b ? 1,则: Cn0 ? Cn1 ? Cn2 ? ? Cnn ? 2n ,这就是说, (a ? b)n 的

展 开 式 的 各 二 项 式 系 数 的 和 等 于 2n 。 同 时 由 于 Cn0 , 上 式 还 可 以 写 成 :

Cn1 ? Cn2 ? ? Cnn ? 2n ?1,这是组合总数公式。

一般地, (a ? b)n 展开式的二项式系数 Cn0 , Cn1, Cn2 , , Cnn 有如下性质:

Cnm

? Cnn?m , Cnm

? Cnm?1

?

Cm n ?1

,当

r

?

n

? 2

1

时,

Cnr

? Cnr?1 ,当 r

?

n

? 2

1

时,

Cnr

?

Cnr?1 ,

Cn0 ? Cn1 ? Cn2 ?

? Cnn

?

2n

, Cmm

?

Cm m?1

? Cmm?2

?

? Cmm?r

?

C m?1 m?r



例.在 (3x ? 2y)20 中,求:

(1)二项式系数最大的项;

(2)系数绝对值最大的项;

解:

(1)二项式系数最大的项是第11项,为 T11

?

C11 20

? 310

? (?2)10

x10

y10

? ?

C11 20

610 x10 y10 .

(2)设系数绝对值最大的项是第 k ?1 项,

又 Tk?1 ? C2k0 (3x)20?k (?2 y)k ? C2k0 320?k (?2)k x20?k yk ,依题意得

于是

???CC22kk00

320?k 320?k

2k 2k

?

C 3 k ?1 19?k 20

2k ?1

?

C 3 k ?1 21?k 20

2k ?1

化简得

?3(k ?1) ?

? ?

2(21

?

k

)

2(20 ? 3k

?

k

)



解得 7 2 ? k ? 8 2 .

5

5

因为 k 为整数,所以 k ? 8 ,

即 T9 ? C280 31228 x12 y8 是系数绝对值最大的项.

三.【课堂检测】

1.已知 C155

?

a , C195

?

b

,那么

C10 16

?

。(用 a , b 表示)

解:

C10 16

?

C166

?

C165

? C155

?

b? a

2. (a ? b)9 的展开式中,二项式系数的最大值是



n ?1

n ?1

解:当 n 为奇数时,中间两项的二项式系数 Cn 2 ,Cn 2 相等,且同时取得最大值,所以 C94 , C95

相等且最大,是 126.

3
教学资料最新版本

3.若 (a ? b)n 得展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大,则 n ?



解:即

C

9 n

,

Cn10

相等且最大,则

n

?

19

.

4. (x ? y)7 的展开式中,系数绝对值最大的项是(D)

A 第 4 项 B 第 4、5 项

C 第 5 项 D 第 3、4 项

5.若 (x3 ? 1 )n 展开式中第 6 项的系数最大,则不含 x 的项等于(A) x2

A210

B120

C461

D416

四.【课堂小结】 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数,它有三条性质,要理解和掌握好,同时 要注意“系数”与“二项式系数”的区别,不能混淆,只有二项式系数最大的才是中间项, 而系数最大的不一定是中间项,尤其要理解和掌握“取特值”法,它是解决有关二项展开式 系数的问题的重要手段.

【课外作业】 1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列. ( ) (2)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项是相同的. ( )

(3)二项展开式的二项式系数和为 Cn1 ? Cn2 ? ? Cnr ? ? Cnn . ( )
解: (1)对,由杨辉三角观察可知结论正确. (2)错,二项式展开式中系数与二项式系数是不同的两个概念,所以最大项也不相同.

(3)错,二项展开式的二项式系数和为 Cn0 ? Cn1 ? Cn2 ? ? Cnr ? ? Cnn .

(1)√(2)×(3)×
2.关于 (a ? b)10 的说法,错误的是

()

A.展开式中的二项式系数之和为 1 024 B.展开式中第 6 项的二项式系数最大 C.展开式中第 5 项或第 7 项的二项式系数最大 D.展开式中第 6 项的系数最小 解:根据二项式系数的性质进行判断,由二项式系数的性质知:二项式系数之和为 2n,故 A

4
教学资料最新版本

正确;当 n 为偶数时,二项式系数最大的项是中间一项,故 B 正确,C 错误;D 也是正确的,

因为展开式中第 6 项的系数是负数,所以是系数中最小的.

C

3. (1? x)13 的展开式中系数最小的项为 ( )

A.第九项 B.第八项

C.第七项

D.第六项

解:展开式中共有 14 项,中间两项(第七、八项)的二项式系数最大.由于二项展开式中二

项式的系数和项的系数满足:奇数项相等,偶数项互为相反数.故系数最小的项为第八项,

系数最大的项为第七项.

B

4.在 (1? x)n (n ? N*) 的二项展开式中,若只有 x5 的系数最大,则 n ?

A.8

B.9

C.10

D.11

()

解:由题意 (1 ? x)n 展开式中, x5 的系数就是第 6 项的二项式系数,因为只有它是二项式系

数中最大的,所以 n ?10 . 5. (2x ?1)6 展开式中各项系数的和为________;各项的二项式系数和为________.

解:令展开式左、右两边 x ?1 ,得各项系数和为1;各二项式系数之和为: 26 ? 64 . 1 64
6. ①P37 页第 4 题

② (1? 2x)n 的展开式中第六项与第七项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系

数最大的项.

解: T6 ? Cn5 (2x)5 , T7 ? Cn6 (2x)6 ,依题意有 Cn5 25 ? Cn6 26 ,解得 n ? 8 . 所以 (1? 2x)n 的展开式中,二项式系数最大的项为T5 ? C84 (2x)4 ? 1120x4 .

设第

k+1

项系数最大,则有

???CC88kk

2k 2k

? ?

C8k ?1 2k ?1 C8k ?1 2k ?1



解得 5 ? k ? 6 .

又因为 k ?{0,1, 2, ,8} .

所以 k ? 5 或 k ? 6 . 所以系数最大的项为T6 ? 1792x5 ,T7 ? 1792x6 .

5
教学资料最新版本