当前位置:首页 >> 高三数学 >>

高中数学知识点总结


高中数学第六章-不等式
考试内容: 不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式. 考试要求: (1)理解不等式的性质及其证明. (2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会 简单的应用. (3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式. (4)掌握简单不等式的解法. (5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ §06. 不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 (1) 不等(等)号的定义: a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . (2) 不等式的分类:绝对不等式;条件不等式;矛盾不等式. (3) 同向不等式与异向不等式. (4) 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 (1) a ? b ? b ? a (对称性) (2) a ? b , b ? c ? a ? c (传递性) (3) a ? b ? a ? c ? b ? c (加法单调性) (4) a ? b , c ? d ? a ? c ? b ? d (同向不等式相加) (5) a ? b , c ? d ? a ? c ? b ? d (异向不等式相减) (6) a . ? b , c ? 0 ? ac ? bc (7) a ? b , c ? 0 ? ac ? bc (乘法单调性) (8) a ? b ? 0 , c ? d ? 0 ? ac ? bd (同向不等式相乘)
(9 ) a ? b ? 0, 0 ? c ? d ? a c ? b d

(异向不等式相除)

(1 0 ) a ? b , a b ? 0 ?

1 a

?

1 b

(倒数关系)
n

(11) a (12) a

? b ? 0? a
? b ? 0?
n

n

? b ( n ? Z , 且 n ? 1)
n

(平方法则)

a ?

b ( n ? Z , 且 n ? 1)

(开方法则)

3.几个重要不等式 (1) 若 a ? R , 则 | a |? 0 , a (2) 若 a 、 b ? R ? , 则 a 2
2

? 0

?b

2

? 2 ab ( 或 a

2

?b

2

? 2 | ab |? 2 ab ) (当仅当

a=b 时取等号)

(3)如果 a,b 都是正数,那么 极值定理:若 x , y ? R ? , x ?

ab ?

a?b 2

. (当仅当

a=b 时取等号)

y ? S , xy ? P ,

则:

1 ○如果 P 是定值, 那么当 x=y 时,S 的值最小; 2 ○如果 S 是定值, 那么当 x=y 时,P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件: 一正、二定、三相等.
( 4 ) 若 a、 b、 c ? R , 则
?

a?b?c 3

?

3

abc

(当仅当 a=b=c 时取等号)

( 5 ) 若 a b ? 0, 则

b a

?

a b

? 2
2

(当仅当 a=b 时取等号)
2

(6) a ? 0时 , x |? a ? x ? a ? x ? ? a 或 x ? a ; |

| x |? a ? x ? a ? ? a ? x ? a
2 2

(7) 若 a 、 b ? R , 则 || a | ? | b || ? | a ? b |? | a | ? | b | 4.几个著名不等式 (1)平均不等式: 如果 a,b 都是正数,那么
1 a 2 ? 1 b ? ab ? a?b 2 ? a ?b
2 2

(当仅当 a=b 时
.

2

取等号)即:平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均(a、b 为正数):
2 2 2 2 特别地, a b ? ( a ? b ) 2 ? a ? b (当 a = b 时, ( a ? b ) 2 ? a ? b ? a b )

2
a
2

2
2

2

2

?b

2

?c

2

3

? a ? ?b ? c ? ? ? ? ( a , b , c ? R , a ? b ? c 时取等 ) 3 ? ?
2 2 2

? 幂平均不等式: a 1 ? a 2 ? ... ? a n ?
2 2 2 2

1 n
2

( a 1 ? a 2 ? ... ? a n )

2

注:例如: ( ac ? bd ) ? ( a ? b )( c ? d ) . 常用不等式的放缩法:① ?
n 1 1 n ?1 ? 1 n ( n ? 1) ? 1 n
2

?

1 n ( n ? 1)

?

1 n ?1

?

1 n

(n ? 2)

② n ?1 ?

n ?

1 n ? n ?1

?

1 2 n

?

1 n ? n ?1

?

n ?

n ? 1 ( n ? 1)

(2)柯西不等式:

若 a 1 , a 2 , a 3 , ? , a n ? R , b1 , b 2 , b 3 ? , b n ? R ; 则 ( a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 ? ? ? a n b n ) ? ( a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n )( b1 ? b 2 ? b 3 ? ? b n ) a3 an a1 a 当且仅当 ? 2 ? ?? ? 时取等号 b1 b2 b3 bn
2 2 2 2 2 2 2 2 2

(3)琴生不等式(特例)与凸函数、凹函数 若定义在某区间上的函数 f(x),对于定义域中任意两点 x1 , x 2 ( x1
f( x1 ? x 2 2 )? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2 或 f( x1 ? x 2 2 )? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 2 .

? x 2 ), 有

则称 f(x)为凸(或凹)函数. 5.不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6.不等式的解法 (1)整式不等式的解法(根轴法). 步骤:正化,求根,标轴,穿线(偶重根打结),定解. 特例① 一元一次不等式 ax>b 解的讨论; 2 ②一元二次不等式 ax +bx+c>0(a≠0)解的讨论. (2)分式不等式的解法:先移项通分标准化,则
f (x) g (x) ? 0 ? f ( x ) g ( x ) ? 0; ? f (x)g (x) ? 0 ?0? ? g (x) ? g (x) ? 0 f (x)

(3)无理不等式:转化为有理不等式求解

1 ○

f (x) ?

? f (x) ? 0? ? ? ? 定义域 g (x) ? ? g (x) ? 0 ? ? ? f (x) ? g (x)

2 ○

? f (x) ? 0 ? ? f (x) ? 0 f (x) ? g (x) ? ? g (x) ? 0 或? 2 ? g (x) ? 0 ? f ( x ) ? [ g ( x )] ?

3 ○

? f (x) ? 0 ? f (x) ? g (x) ? ? g (x) ? 0 ? f ( x ) ? [ g ( x )] 2 ?

(4).指数不等式:转化为代数不等式
a a
f (x)

? a

g (x)

( a ? 1) ? f ( x ) ? g ( x );

a

f (x)

? a

g (x)

(0 ? a ? 1) ? f ( x ) ? g ( x )

f (x)

? b ( a ? 0, b ? 0 ) ? f ( x ) ? lg a ? lg b

(5)对数不等式:转化为代数不等式
lo g a ? f (x) ? 0 ? f ( x ) ? lo g a g ( x )( a ? 1) ? ? g ( x ) ? 0 ; ? f (x) ? g (x) ? l og a ? f (x) ? 0 ? f ( x ) ? lo g a g ( x )(0 ? a ? 1) ? ? g ( x ) ? 0 ? f (x) ? g (x) ?

(6)含绝对值不等式 1 ○应用分类讨论思想去绝对值; 3 ○应用化归思想等价转化

2 ○应用数形思想;

? g (x) ? 0 | f ( x ) |? g ( x ) ? ? ?? g ( x) ? f ( x) ? g ( x)

? g (x) ? 0 | f ( x ) | ? g ( x ) ? g ( x ) ? 0 ( f ( x ), g ( x ) 不同时为 0 ) 或 ? ? f ( x ) ? ? g ( x )或 f ( x ) ? g ( x )

注:常用不等式的解法举例(x 为正数): ① x (1 ? x ) 2 ?
1 2
2 2

? 2 x (1 ? x )(1 ? x ) ?

1 2 3 4 ( ) ? 2 3 27
2

② y ? x (1 ? x 2 ) ? y 2 ?
2

2 x (1 ? x )(1 ? x ) 2
2

?

1 2 3 4 2 3 ( ) ? ? y? 2 3 27 9
1 x |? | x | ? | 1 x | ( x与 1 x 同号,故取等) ? 2

类似于 y ? sin x co s x ? sin x (1 ? sin x ) ,③ | x ?


赞助商链接
相关文章:
高中数学知识点总结超全
高中数学知识点总结超全 - 高中数学 必修 1 知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无...
高中数学知识点总结(最全版)
高中数学知识点总结(最全版) - 数学知识点总结 引言 1.课程内容: 必修课程由 5 个模块组成: 必修 1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数) 必修 2...
2017年新人教版高中数学知识点总结
2017年新人教版高中数学知识点总结 - 2015 年新人教版高中数学知识点总结 高中数学必修 1 知识点 第一章集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合...
整理全面《高中数学知识点归纳总结》
整理全面《高中数学知识点归纳总结》_数学_高中教育_教育专区。高中一线教师精心整理高中数学全部知识点 教师版高中数学必修+选修知识点归纳引言 1.课程内容:必修课程...
高中数学知识点总结(珍藏版)
高中数学知识点总结(珍藏版) - 高中数学知识点总结 引言 1.课程内容: 必修课程由 5 个模块组成: 必修 1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数) 必修...
高中数学知识点总结(最全版)
高中数学知识点总结(最全版) - 数学知识点总结 引言 1.课程内容: 必修课程由 5 个模块组成: 必修 1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数) 必修 2...
高中数学知识点总结(最全版)
高中数学知识点总结(最全版) - 高中新课标理科数学 (必修+选修) 所有知识点总结 引言 1.课程内容: 必修课程由 5 个模块组成: 必修 1:集合、函数概念...
2018年高考数学总复习:高中数学知识点总结(精品推荐)
2018年高考数学总复习:高中数学知识点总结(精品推荐) - 高中数学知识点总结 引言 1.课程内容: 必修课程由 5 个模块组成: 必修 1:集合、函数概念与基本初等函数...
2017年高中数学知识点总结(最全版)
2017年高中数学知识点总结(最全版) - 引言 1.课程内容: 必修课程由 5 个模块组成: 必修 1:集合、函数概念与基本初等函数(指、对、幂函数) 必修 2:立体几何...
人教版高中数学知识点总结2018
人教版高中数学知识点总结2018 - 高中数学 必修 1 知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互...
更多相关标签: