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2.1离散型随机变量及其分布列(2)


第一章 计数原理

2.1离散型随机变量及其 分布列(2)

北师大(珠海)附中

第一章 计数原理 在抛骰子的随机试验中,我们能预知试验结果吗? 不能! 但我们可以研究各试验结果出现的概率。

表中指出了随机变量ξ可能取的值,以及ξ取这些值 的概率.称为随机变量ξ的概率分布.
1 1 1 ? ? ? 如P(ξ<3)= P(ξ=1)+ P(ξ=2) 6 6 31 2 3 ; P(ξ为偶数)= 2 P(ξ≥3)=

利用此表可以求出能用ξ表示的事件的概率.



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一、离散型随机变量的分布列的意义 一般地,设离散型随机变量ξ可能取的值为x1, x2, …, xi, …,ξ取每一个值xi(i=1,2,……)的概率 P(ξ=xi)=Pi,则称下表为随机变量ξ的概率分布,简 称为ξ的分布列.

有时为了表达简单,也用等式 P(ξ= xi)= pi ,i=1, 2, 3, … , n 来表示的ξ分布列.

例如,在抛骰子的试验中,点数ξ的分布列可表示为
P(ξ=k)= 总结:随机变量ξ 的分布列主要包括两方面的内容:一 是“ξ 可能取的值” ,二是“ ξ取这些值的概率”
1 , k=1, 2, 3, 4, 5, 6 6

第一章 计数原理

二、离散型随机变量的分布列的性质

根据概率的性质,随机变量的分布列具有如下性质: (1)0≤pi≤1,i=1,2,……; (2)p1+p2+…+pi+ …=1.

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第一章 计数原理 三、写离散型随机变量的分布列 1,针尖向上 例1:在掷一枚图钉的随机试验中,令 X= 0,针尖向下 如果针尖向上的概率为p,试写出随机变量X的分布列。 解:由针尖针尖向上的概率为p 知,针尖下的概率为1-p, 于是,随机变量X的分步列为

X

0

P 1-p

1 p

像上面这样的分布列称为两点分步列。 两点分布列的应用非常广泛. 如抽取的彩票是否中 奖;买回一件产品是否为正品;新生婴儿的性别;投篮 是否命中等,都可以用两点分布列来研究。
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例 2:一袋中装有 6个同样大小的小球,编号为1、2、3、 第一章 计数原理 4、5、6,现从中随机取出3个小球,求取出球的最大 号码的分布列. 解:设ξ为取出球的最大号码, 则ξ可取3、4、5、6.
1 2 C1 C k ?1 P(? ? k ) ? 3 , k ? 3, 4, 5, 6 C6 1 2 C1 C3 3 C11C22 1 ? P(? ? 3) ? 3 ? , P(? ? 4) ? 3 ? , C6 20 C6 20
1 2 1 2 C1 C4 6 C , P (? ? 6) ? 1 C5 ? 1 . P (? ? 5) ? 3 ? 3 C6 20 C6 20

∴随机变量 ξ的分布列为

?

3
1 20

4
3 20

5
6 20

6
10 20

P

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第一章 计数原理

方法归纳: (1)求离散型随机变量的分布列的步骤:
第一步,设随机变量,并找出其所有可能的取值; 第二步,对随机变量的每一个取值,求其概率; (可以依次对每一个特殊的值求概率,也可以 先讨论一般情形,然后计算具体的值) 第三步,列表得分布列 . (2)求分布列离不开排列、组合、概率的知识。

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第一章 计数原理 例3:从一批有7个合格品与3个次品的产品中,抽取5件 产品,设各个产品被抽到的可能性相同. (1)求抽出次品的件数 ξ 的分布列; (2)求至少取得一件次品的概率; (1)ξ 的所有取值为: 0、1、2、3. 解: 2 3 3 2 1 4 5 C3 C7 C3 C7 C3 C7 C7 P(ξ=0)= 5 , P(ξ=1)= 5 , P(ξ=2)= 5 , P(ξ=3)= 5 C10 C10 C10 C10 故ξ 的分布列为 0 1 2 3 ξ P
21 252 105 252 105 252 21 252

(2) P(ξ ≥1)=

1-P(ξ =0)

21 231 ? 1? ? 252 252 北师大(珠海)附中

第一章 计数原理 二、典例精析

例1. 已知随机变量ξ的分布列如下,求常数a。
2 3 a 2 a p 0.16 0.3 5 解:由离散型随机变量的分布列的性质有 ξ -1 0 a 10 1

a a 2 0.16 ? ? a ? ? 0.3 ? 1 10 5 3 9 解得 a ? (舍 ) ,或 a ? ? 5 10
点评:注意离散型随机变量的分布列的性质的作用.
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第一章 计数原理

变式练习1 1、设随机变量ξ 的分布列如下,则 p =
ξ P 1 1 6 2 1 3 3 1 6 4 p

1 3



?1? 2、设随机变量ξ 的分布列为p (ξ = i )= a ? ? , i=1, 2, 3 ? 3? 27

i

则 a = 13



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第一章 计数原理 例3:将一枚骰子掷2次,求下列随机变量的概率分布. (1)两次掷出的最大点数ξ; (2)第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差η. 解:(1) ξ 的可能取值有 1, 2, 3, 4, 5, 6 ξ =k包括两种情况:“两次均为k点”,或“一个k点, 另一个小于k点” ∴随机变量ξ的分布列为 ξ 1
1 36

1 1 2k ? 1 1 1 k ?1 (k=1, 2, 3, 4, 5, 6) ? ∴P(ξ = k)= ? ? C 2 ? ? 6 6 36 6 6

2
1 12

3
5 36

4
7 36

5
1 4

6
11 36

P

点评: 求P(ξ=xi)时, 可以一个个求, 也可直接求一般式子 . 北师大(珠海)附中

第一章 计数原理 例3:将一枚骰子掷2次,求下列随机变量的概率分布. (1)两次掷出的最大点数ξ; (2)第一次掷出的点数减去第二次掷出的点数之差η. 解:(2) η 的可能取值有 -5, -4, -3, … 4, 5 P(η =k)=
1 36
6? | k | 6?6

(k=-5, -4, -3, … 4, 5) 1
5 36

η -5 -4 -3 -2 -1 0 P
2 36 3 4 36 36 5 36

2
4 36

3

4

5

6 36

3 2 1 36 36 36

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变式练习 2 第一章 计数原理 1:将一枚骰子掷2次,求下列随机变量的概率分布. (1) 两次掷出的最小点数ξ; (2)两次掷出的点数之和η. 1、(1)P(ξ =k)= ξ P 1
11 36

1 1 1 6 ? k 13 ? 2k 1 ? ? C2 ? ? ? 6 6 6 6 36

, k=1, 2, 3, 4 ,5, 6. 5
1 12

2
1 4

3
7 36

4
5 36

6
1 36

(2) 分布列为 η
2
1 36

3

4

5
4 36

6

7

8
5 36

9
4 36

10
3 36

11 12
2 36 1 36

p

2 3 36 36

5 6 36 36

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第一章 计数原理

例1:某一射手射击所得环数ξ的分布列如下,

求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率. 分析:“射击一次命中环数≥7”是指互斥事 件“ξ=7”,“ξ=8”,“ξ=9”,“ξ=10”的 和,根据互斥事件的概率加法公式,可以求 得此射手“射击一次命中环数≥7”的概率.
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